Li v geometrijskem napredovanju. Geometrijsko napredovanje. Izčrpni vodnik s primeri (2020). Znesek članov geometrijskega napredovanja

Geometrijsko napredovanje - To je nova vrsta Številsko zaporedje, s katero moramo izpolniti. Za uspešno poznavanje ne preprečuje vsaj vedeti in razumeti. Potem ne bo težav z geometrijskim napredkom.)

Kaj je geometrijska napredovanje? Koncept geometrijskega napredovanja.

Začnemo izlet, kot običajno, od osnovnega. Pišem nedokončano zaporedje številk:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Ali lahko ujamete vzorec in reči, katere številke bodo šle še dlje? Pepper je jasen, nato pa so številke 100.000, 10.000.000 in tako naprej. Tudi brez veliko duševne napetosti je vse jasno, resnično zato, ker?)

V redu. Drug primer. Pišem to zaporedje:

1, 2, 4, 8, 16, …

Bo lahko povedal, katere številke bodo šle še dlje, po številki 16 in klic osmi Član zaporedja? Če ste spoznali, da bo to številka 128, je zelo dobro. Torej, polovica v razumevanju pomen in ključni trenutki Geometrijski napredek je že opravljen. Lahko rastejo.)

In zdaj spet gremo iz občutkov na strogo matematiko.

Ključne točke geometrijske napredovanja.

KLJUČNA TOČKA ŠTEVILKA 1.

Geometrijsko napredovanje je zaporedje številk. Kot napredovanje. Nič zmelje. Samo to zaporedje je urejeno drugače.Zato, naravno, in drugo ime, da ...

KLJUČNA TOČKA ŠTEVILKA 2.

Z drugo ključno točko, bo vprašanje strilmimiming. Pojdimo nazaj malo nazaj in se spomnite ključne lastnine aritmetičnega napredovanja. Tukaj je: vsak član se razlikuje od prejšnjega na isti velikosti.

Ali je mogoče oblikovati podobno ključno lastnino za geometrijsko napredovanje? Pomislite malo ... Oglejte si primere. Ugibate? Da! V geometrijskem napredovanju (vse!) Vsak je drugačen od prejšnjega na enakem številu.Nenehno!

V prvem primeru je to ducat. Kaj član zaporedja ne vzame več kot prejšnji desetkrat.

V drugem primeru je to dvakrat: vsak član več kot prejšnji dvakrat.

To je ta ključ do geometrijskega napredovanja in se razlikuje od aritmetika. V aritmetičnem napredovanju je pridobljen vsak naslednji član dodajanje Enake velikosti prejšnjega člana. In tukaj - pomnoževanje Prejšnji član za isto velikost. To je celotna razlika.)

KLJUČNA TOČKA ŠTEVILKA 3.

Ta ključna točka je popolnoma enaka za aritmetično napredovanje. Namreč: vsak član geometrijskega napredovanja je na svojem mestu.Vse točno v točki kot v aritmetičnem napredovanju in komentarjih, mislim, da je nepotrebno. Obstaja prvi član, obstaja sto prvi, itd. Prerazporeditev vsaj dveh članov - Pravilnost (in skupaj z IT in geometrijskim napredovanjem) bo izginila. Obstaja samo zaporedje številk brez logike.

To je vse. To je celotna točka geometrijskega napredovanja.

Pogoji in označbe.

Toda zdaj, ki so se razumeli s pomenom in ključnimi trenutki geometrijskega napredovanja, je mogoče nadaljevati s teorijo. In sicer, katera teorija brez razumevanja pomena je resnična?

Kako označiti geometrijsko napredovanje?

Kako se geometrijski napredek posnetek general.? Ni problema! Vsak član napredovanja je napisan tudi v obliki pisma. Samo za aritmetično napredovanje, običajno uporabljeno pismo "Ampak"Za geometrijo - kljun "B". Številka člana, kot ponavadi, je označen indeks na spodnji strani. Člani napredovanja sami preprosto navajajo skozi vejico ali točko z vejico.

Všečkaj to:

b 1,b. 2 , b. 3 , b. 4 , b. 5 , b. 6 , …

Na kratko, ta napredovanje je prikazano takole: (b N.) .

Ali pa za končne napredek:

B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6.

B 1, B 2, ..., B 29, B 30.

Ali, v kratkem zapisu:

(b N.), n.=30 .

Tukaj, v resnici, vsi simboli. Vseeno, samo pismo je drugačno, da.) In zdaj gremo neposredno na definicijo.

Določitev geometrijskega napredovanja.

Geometrijsko napredovanje je numerično zaporedje, katerega prvi mandat se razlikuje od nič, in vsak naslednji član je enak prejšnjemu članu, pomnožene z isto številko, ki ni nič.

To je vse definicija. Večina besed in besednih zvez je razumljiva in znana. Če seveda razumete pomen geometrijskega napredovanja "na prstih" in na splošno. Vendar pa obstaja več novih besednih zvez, za katere bi rad posebno pozornost.

Najprej besede: "Prvi član katerega odtrgan od nič".

Ta omejitev za prvi mandat ni bila uvedena po naključju. Kaj misliš, da se bo zgodilo, če je prvi član b. 1 Se bo izkazalo za nič? Kaj bo drugi član, če je vsak član več kot prejšnji v enakem številu? Recimo trikrat? Poglejmo ... Pomnožimo prvi izraz (t.j. 0) za 3 in dobili ... nič! In tretji kurac? Tudi nič! In četrti kurac je tudi nič! Itd ...

Dobimo samo vrečko odbojev ZEROS zaporedje:

0, 0, 0, 0, …

Seveda, takšno zaporedje ima pravico do življenja, vendar ne predstavlja nobenega praktičnega interesa. Vse je jasno. Kdo je njen kurac nič. Količina poljubnega števila članov je tudi nič ... Kaj lahko storim z njeno zanimivo? Nič ...

Naslednje ključne besede: "Pomnožimo na isto številko, ki ni nič."

To je ista številka preveč nosi vaše posebno ime - geometrijski napredovanje imenovalca. Začnemo poznavanje.)

Geometrijski napredovanje imenovalca.

Vse je lažje kot preprosto.

Imenovalec geometrijskega napredovanja je številka, ki ni nič (ali vrednost), ki prikazujekolikokrat Vsak član napredovanja več kot prejšnji.

Spet, po analogiji z aritmetičnim napredkom, je ključna beseda za bodite pozorni na to opredelitev "Več". To pomeni, da je vsak član geometrijskega napredovanja pridobljen pomnoževanjena tem najbolj imenovalca prejšnji član.

Pojasnem.

Za izračun, recimo drugič Član, morate vzeti najprej Članica I. pomnožite Njegovega imenovalca. Za izračun deseti Član, morate vzeti deveti Članica I. pomnožite Njegovega imenovalca.

Imenovalec geometrijskega napredovanja je lahko hkrati. Kdorkoli! Celotna, frakcijska, pozitivna, negativna, iracionalna - vsak način. Poleg nič. To gre za to in nam pove besedo "ne-nič" v opredelitvi. Zakaj je ta beseda potrebna tukaj - o tem spodaj.

Geometrijski napredovanje imenovalca denotes, najpogosteje, kljun q..

Kako ga najti q. ? Ni problema! Potrebo po vsakem članu napredovanja in deliti. Divizija je ulomek. Zato ime - "imenovalec napredovanja." Imenovalec, ponavadi je v Fraraty seje, da ...) Čeprav, v logiki, velikosti q. imenovati zasebno. geometrijsko napredovanje, po analogiji razlika Za aritmetično napredovanje. Vendar se je strinjal, da pokličete imenovalca.. In tudi ne bomo izumljali kolesa.)

Definiramo, na primer, vrednost q. Za takšno geometrično napredovanje:

2, 6, 18, 54, …

Vse osnovno. Vzemite kdorkoli Število zaporedij. Torej, kar hočemo. Poleg prvega. Na primer, 18. in delite na prejšnjo številko. To je s 6.

Dobimo:

Q. = 18/6 = 3

To je vse. To je pravi odgovor. Za ta geometrijski napredovanje je imenovalec tri.

Poiščite zdaj imenovalca q. Za drugo geometrično napredovanje. Na primer, to je:

1, -2, 4, -8, 16, …

Vse enako. Karkoli so znaki sami, še vedno vzamemo kdorkoli Število zaporedij (na primer 16) in razdelite na prejšnjo številko (i.e. -8).

Dobimo:

d. = 16/(-8) = -2

In vse stvari.) Tokrat je bil imenovalec napredovanja negativen. Minus dva. Zgodi se.)

Vzemi zdaj to je napredovanje:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

In spet, ne glede na vrsto številk, s katerimi se sooča zaporedje (vsaj delno, celo negativno, čeprav iracionalno), vzemite katero koli številko (na primer 1/9) in razdelite prejšnjo številko (1/3). Glede na pravila delovanja z delnicami, seveda.

Dobimo:

In to je vse.) Tukaj je imenovalec izkazal za delno: q. = 1/3.

Toda to je "napredovanje" kot vi?

3, 3, 3, 3, 3, …

Očitno je tukaj q. = 1 . Formalno je to tudi geometrijska napredovanje, samo z enaki člani.) Toda takšni napredovanje za študij in praktično uporabo niso zanimivi. Tako kot napredovanje s trdnimi ničlami. Zato jih bomo obravnavali in ne bodo.

Kot lahko vidite, je lahko imenovalec napredovanja na celotnem, frakcijskem, pozitivnem, negativnem - vsak način! Ne more biti samo nič. Ali ni uganil zakaj?

No, poglejmo, kakšen je določen primer, kaj se bo zgodilo, če vzamete kot imenovalec q. Nolik.) Naj na primer b. 1 = 2 , Ampak q. = 0 . Kakšen bo drugi izraz, potem?

Menimo:

B. 2 = b. 1 · q. \u003d 2 · 0 \u003d 0

In tretji kurac?

B. 3 = b. 2 · q. \u003d 0 · 0 \u003d 0

Vrste in vedenje geometrijskih napredovanja.

Z vsem je bilo bolj ali manj jasno: če je razlika v napredovanju d. Pozitivno, nato napredovanje. Če je razlika negativna, se napredovanje zmanjšuje. Samo dve možnosti. Tretja ni.)

Toda z vedenjem geometrijskega napredovanja bo vse bolj zanimivo in bolj raznoliko!)

Takoj, ko se člani obnašajo tukaj: in povečanje in zmanjšanje, in so neomejen pristop k nič, in celo spremenijo znake, izmenično hiti v "plus", nato v "minus"! In v vseh te sorte, morate biti sposobni dobro razumeti, da ...

Razumemo?) Začnemo iz najpreprostejšega primera.

Imenovalec je pozitiven ( q. >0)

S pozitivnim imenovalcem, prvič, člani geometrijskega napredovanja lahko gredo v plus neskončnost (i.e. povečanje za nedoločen čas) in se lahko nadaljujete minus neskončnosti(i.e., neomejeno zmanjšanje). Za takšno vedenje napredka smo že pobrali.

Na primer:

(b N.): 1, 2, 4, 8, 16, …

Tukaj je vse preprosto. Vsak član napredovanja je pridobljen več kot prejšnji. In vsak član je pridobljen pomnoževanje Prejšnji član pozitivno Številka +2 (tj. q. = 2 ). Obnašanje takšnega napredovanja je očitno: vsi člani napredovanja naraščajo nedoločen čas, v vesolje. V Plus Infinity ...

In zdaj je to napredovanje:

(b N.): -1, -2, -4, -8, -16, …

Tudi tukaj je pridobljen vsak član napredovanja pomnoževanje Prejšnji član pozitivno Številka +2. Toda obnašanje takega napredovanja je že ravno nasprotno: pridobljen je vsak član napredovanja manj kot prejšnji, In vsi njegovi člani bodo neomejeno zmanjšanje, kar je pustilo minus neskončnosti.

In zdaj pa mislimo: Kaj pa ti dve napredovanje? To je prav, imenovalec! Tu in tam q. = +2 . Pozitivno.Dva. In tukaj vedenje Ta dva napredovanja sta bistveno drugačna! Ali ni uganil zakaj? Da! Vse poslovanje B. prvi član!On je, kot pravijo, in naroči glasbo.) Se vidimo sami.

V prvem primeru je prvi mandat napredovanja pozitivno (+1) in, postalo je vse nadaljnje člane, pridobljene z množenjem pozitivnoimenovalca. q. = +2 bo tudi pozitivno.

Toda v drugem primeru, prvi član negativno (-on). Zato so vsi naslednji člani napredovanja, pridobljene z množenjem pozitivno q. = +2 bo dobil tudi negativen. Za "minus" na "plus" vedno daje "minus", da.)

Kot lahko vidite, se lahko v nasprotju z aritmetičnim napredovanjem, geometrijsko napredovanje obnaša popolnoma drugače ne le odvisno iz imenovalcaq.ampak tudi odvisno od prvega mandata, Da.)

Spomnimo se: vedenje geometrijskega napredovanja je edinstveno določena s prvim članom b. 1 in imenovalecq. .

In zdaj smo začeli analizo manj znanega, vendar veliko bolj zanimivih primerov!

Vzemite, na primer, to je zaporedje:

(b N.): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

To zaporedje je tudi geometrijska napredovanje! Pridobljen je tudi vsakega člana tega napredovanja pomnoževanje prejšnji član, na isti številki. Samo številka je - delno: q. = +1/2 . Ali +0,5 . In (pomembno!) male enote:q. = 1/2<1.

Kaj je zanimivo to geometrično napredovanje? Kje iščejo njeni člani? Pa poglejmo:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Kaj je zanimivo tukaj mogoče opaziti? Prvič, takoj preseže zmanjšanje članov napredovanja: vsak njen član manj Prejšnje rivne. 2-krat. Ali, v skladu z opredelitvijo geometrijskega napredovanja, vsak član več.prejšnji ob 1/2-kratKer Napredovanje imenovalca q. = 1/2 . In od množenja na pozitivno število, manjši, rezultat običajno zmanjšuje, da ...

kaj še Ali lahko opazite v obnašanju tega napredovanja? Ali njeni člani zmanjšajo neomejenogreva v minus neskončnosti? Ne! Na poseben način zmanjšujejo. Najprej se hitro zmanjša, in potem je vse počasnejše in počasnejše. In ostati ves čas pozitivno. Naj in zelo, zelo majhna. In zakaj jim je všeč? Si uganil? Da! Prizadevajo za nič!) In bodite pozorni na zelo nič članov našega napredovanja nikoli ne doseže!Samo neskončno blizu njega se približuje. Zelo pomembno je.)

Podobna situacija bo v takšnem napredovanju:

(b N.): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Tukaj b. 1 = -1 , Ampak q. = 1/2 . Vse je enako, tik na nič, zdaj pa se bodo člani približali drugi strani. Ves čas negativno.)

Takšno geometrično napredovanje, katerega člani neomejen pristop nič (ne glede na to, s pozitivno ali negativno stranjo), v matematiki nosi posebno ime - neskončno zmanjševanje geometrijskega napredovanja. Ta napredovanje je tako zanimivo in nenavadno, da bo celo o njej ločena lekcija .)

Torej, pogledali smo vse možno pozitivno Dannels - in velike enote in manjše enote. Ne upoštevamo same enote kot imenovalca iz zgoraj navedenih razlogov (ne pozabite na primer z zaporedjem trojic ...)

Povzetek:

Pozitivno in več enot (q.\u003e 1), nato pa člani napredovanja:

a.) za nedoločen čas (čeb. 1 >0);

b) neomejeno zmanjšanje (čeb. 1 <0).

Če imenovalec geometrijske napredovanja pozitivno in manj (0< q.<1), то члены прогрессии:

a) neskončno blizu nič od zgoraj (čeb. 1 >0);

b) neskončno blizu ničle spodaj (čeb. 1 <0).

Zdaj ostaja razmisliti o primeru negativni imenovalec.

Denominator negativen ( q. <0)

Na primer, ne bomo šli daleč. Kaj, pravzaprav, sramota babica?!) Naj bo na primer prvi mandat napredovanja b. 1 = 1 in imenovalec bo vzel q \u003d -2..

To zaporedje dobimo:

(b N.): 1, -2, 4, -8, 16, …

In tako naprej.) Vsak član napredovanja je pridobljen pomnoževanje Prejšnji član negativno število -2. Hkrati bodo vsi člani, ki stojijo na čudnih mestih (prvi, tretji, peti, itd.) pozitivnoin na celo mesta (drugi, četrti itd.) - negativen. Znaki strogo nadomestni. Plus-minus plus-minus ... Takšno geometrijsko napredovanje se imenuje - vse bolj usklajevanje.

Kje iščejo njeni člani? In nikjer.) Da, v absolutni vrednosti (i.e. modul) Člani našega napredovanja se vse bolj povečujejo (zato ime "narašča"). Hkrati pa je vsak član napredovanja izmenično vržen v toploto, nato pa v mrazu. Potem v "plus", nato v "minus". Naša napredovanje niha ... in obseg nihanj z vsakim korakom hitro narašča, da.) Postalo je, da si prizadeva za člane napredovanja nekje posebej tukaj ne.Niti Plus Infinity, niti na minus Infinity, niti na nič - nikjer.

Zdaj menimo, da je nekaj delno imenovalec med nič in minus.

Na primer, naj bo b. 1 = 1 , Ampak q \u003d -1/2..

Potem dobimo napredovanje:

(b N.): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

In spet imamo izmenjavo znakov! Ampak, za razliko od prejšnjega primera, je že jasna težnja, da se pristopajo članom na nič.) Samo tokrat, naši člani pristop nič ni strogo od zgoraj ali spodaj, ampak spet obotavljanja. Izmenično sprejemanje tega pozitivnega, nato negativne vrednosti. Hkrati pa so module Približajte se in bližje cenjenim jezikom.)

Takšno geometrijsko napredovanje se imenuje neskončno zmanjšanje poravnave.

Kaj so zanimivi ti dve primeri? Tako da se v obeh primerih odvija izmenični znaki! Ta čip je značilen samo za napredek z negativnim imenovalcem, ja.) Postalo je, če boste v določeni nalogi videli geometrijsko napredovanje z alkalnim članom, potem boste trdno znani, da je njegov imenovalec 100% negativen in ne zamenjan v znaku .)

Mimogrede, v primeru negativnega imenovalca, znak prvega člana ne vpliva na obnašanje samega napredovanja. Na kakršen koli način je prvi član napredovanja v vsakem primeru upoštevan prilagajanje poslancev. Celotno vprašanje je samo v katerih krajih (Celo ali liho) bodo postali člani s posebnimi znaki.

Ne pozabite:

Če imenovalec geometrijske napredovanja negativno , potem znaki napredovanja napredovanja nadomestna.

Hkrati so člani sami:

a) nedoločen časz modulom, čeq.<-1;

b) neskončno pristopite na nič, če -1< q.<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

To je vse. Vsi vzorčni primeri so razstavljeni.)

V postopku zavračanja različnih primerov geometrijskih napredovanja, sem občasno uporabil besede: "Prizadeva za nič", "Prizadeva si za Infinity", "Prizadeva si za minus neskončnosti"... vse grozno.) Ti prometni odhodek (in posebni primeri) - samo začetni poznanec vedenje Vrednost numeričnih sekvenc. Na primeru geometrijske napredovanja.

Zakaj moramo na splošno vedeti obnašanje napredovanja? Kakšna je razlika, kjer išče? Za nič, ali, do plus neskončnosti, do minus neskončnosti ... smo nekaj od tega?

Bistvo je, da je že na univerzi, med najvišjo matematiko, boste potrebovali sposobnost dela z najbolj različnimi numeričnimi sekvencami (z vsemi in ne le napredovanjem!) In zmožnosti, da natančno predstavljate to, kako to ali to zaporedje se obnaša - ali povečuje, da je neomejeno, ali se zmanjšuje, ali si prizadeva za določeno število (in ne nujno nič) ali celo ne želijo iti na nič ... Ta tema je celota je v matanaliji. teorija omejitev. Malo natančneje - koncept omejitev številskega zaporedja.Zelo zanimiva tema! Smiselno je, da gremo na Inštitut in se ukvarjajo.)

Nekaterih primerov iz tega oddelka (zaporedja, ki imajo omejitev) in zlasti neskončno zmanjševanje geometrijskega napredovanja Začnite v šolo. Navadi se na.)

Poleg tega bo sposobnost za dobro raziskovanje vedenja sekvenc v prihodnosti igrala roko in zelo koristno Študija funkcij. Raznolikost. Toda veščine kompetentno sodeluje s funkcijami (izračunamo derivate, da jih raziščejo v celotnem programu, gradijo svoje grafe) že ostro povečuje vašo matematično raven! Dvom? Ne. Še vedno se spomnite mojih besed.)

Poglejmo geometrijsko napredovanje v življenju?

V okoliškem življenju z geometričnim napredkom se soočamo zelo in zelo pogosto. Tudi brez sumijo.)

Na primer, različni mikroorganizmi, ki nas obdajajo povsod v velikih količinah in ki jih niti ne vidimo brez mikroskopa, pomnožite natančno v geometrijsko napredovanje.

Recimo, da se ena bakterija pomnoži z delitev na pol, ki daje potomce v 2 bakterijah. Po drugi strani pa je vsaka od njih, pomnožena, je razdeljena na polovico, kar daje splošne potomce v 4 bakterijah. Naslednja generacija že bo dala 8 bakterij, nato 16 bakterij, 32, 64, in tako naprej. Z vsako naslednjo generacijo se število bakterij podvoji. Tipičen primer geometrijskega napredovanja.)

Tudi v geometrijskem napredovanju so nekatere žuželke vzreja, muhe. In kunci včasih tudi mimogrede.)

Še en primer geometrijskega napredovanja, bližje vsakdanjemu življenju, je tako imenovana obrestno obrestovanje. Tak zanimiv pojav se pogosto najde v bančnih depozitih in se imenuje kapitalizacija interesa. Kaj je?

Ti sami, seveda, mladi. V šoli se naučite, se ne pritožite v bankah. Toda vaši starši so že odrasli in neodvisni ljudje. Pojdite na delo, denar na kruh je zaslužen, del denarja, ki je dal v banko, prihranek.)

Recimo, da vaš oče želi pomapoliti določeno količino denarja za družinske počitnice v Turčiji in da na banko 50.000 rubljev, mlajših od 10% na leto, za obdobje treh let z letno kapitalizacijo obresti. In v celotnem obdobju, se nič ne more storiti s prispevkom. Nemogoče je dopolniti prispevek niti zahtevati denarja iz računa. Kakšen dobiček bo dobil skozi ta tri leta?

No, prvič, treba je ugotoviti, kaj je 10% na leto. To pomeni v letu Ob začetnem znesku depozita bo banka porasla 10%. Od česa? Seveda, od znesek začetnega depozita.

Velikost računa obravnavamo v enem letu. Če je bil prvi znesek prispevka 50.000 rubljev (to je 100%), potem pa bo v enem letu, koliko odstotkov bo? Desno, 110%! 50.000 rubljev.

Tukaj upoštevamo 110% 50.000 rubljev:

50000 · 1.1 \u003d 55000 rubljev.

Upam, da boste razumeli, da boste našli 110% vrednosti pomeni pomnoževanje tega zneska po številu 1.1? Če ne razumete, zakaj je to točno, se spomnite petega in šestega razreda. Namreč. - Sporočanje interesov z frakcijami in deli.)

Tako bo povečanje prvega leta 5.000 rubljev.

In koliko denarja bo v računu v dveh letih? 60000 rubljev? Na žalost (ali precej na srečo), vse ni tako preprosto. Celoten odstotek kapitalizacijsko osredotočenost je, da se z vsakim novim interesom, da bo ta večina obresti že obravnavana iz novega zneska!Od tistega, ki že Na računu v tem trenutku.In obresti, ki so nastale v preteklem obdobju, se doda začetni znesek depozita in zato sami sodelujejo pri obračunu novega odstotka! To pomeni, da postanejo polni del skupnega računa. Ali skupno kapital.Zato ime - kapitalizacija interesa.

To je v gospodarstvu. In v matematiki se takšni interes imenujejo kompleksen odstotek.Ali odstotkov odstotkov.) Njihov čip je v tem, da se z doslednim obračunavanjem obresti vsakič, ko se upoštevajo od nove vrednosti.In ne iz začetnega ...

Je postal izračun zneska dve letiMoramo izračunati 110% zneska, ki bo na računu v enem letu. To je že od 55.000 rubljev.

Menimo 110% od 55.000 rubljev:

55000 · 1.1 \u003d 60500 rubljev.

Torej, odstotek dobička za drugo leto bo že 5.500 rubljev, in v dveh letih - 10.500 rubljev.

Zdaj je že mogoče uganiti, da bo po treh letih znesek na računu 110% 60.500 rubljev. To je 110% od prejšnjega (lani)zneski.

Torej mislimo:

60500 · 1.1 \u003d 66550 rubljev.

In zdaj gradimo naše denarne zneske po letu v zaporedju:

50000;

55000 \u003d 50.000 · 1.1;

60500 \u003d 55000 · 1.1 \u003d (50.000 · 1,1) · 1.1;

66550 \u003d 60500 · 1.1 \u003d ((50000 · 1,1) · 1,1) · 1,1

Torej, kako? Kaj ni geometrijska napredovanje? Prvi član b. 1 = 50000 , in imenovalec q. = 1,1 . Vsak član je več kot prejšnji 1,1-krat. Vse je v skladu z opredelitvijo.)

In koliko dodatnih obrestnih bonusov "prisega na vaš oče, medtem ko je bilo 500 rubljev za tri leta na bančnem računu?

Menimo:

66550 - 50000 \u003d 16550 rubljev

Nehuto, seveda. Toda to je, če je začetni znesek depozita majhen. In če je več? Recite, ne 50 in 200 tisoč rubljev? Potem bo povečanje za tri leta že 66.200 rubljev (če izračunavanje). Kaj je že zelo dobro.) In če je prispevek še več? To je tisto, kar je ...

Zaključek: Višji začetni prispevek, bolj donosna kapitalizacija interesa postane. Zato depozite pri kapitalizaciji interesov zagotavljajo banka za dolgo pogoje. Recimo pet let.

Tudi v geometrijskem napredovanju, vse netotrenske bolezni vrste gripe, ošpic in še bolj strašne bolezni (enaka atipične pljučnice v začetku leta 2000 ali kuga v srednjem veku), ki se bodo verjetno razširili. Od tu in takšnih lestvic epidemij, da ...) in vse zaradi dejstva, da geometrijski napredovanje z celoten pozitivni imenovalec (q.>1) - Stvar, ki raste zelo hitro! Ne pozabite na reprodukcijo bakterij: dva iz ene bakterije, od dveh - štiri, od štirih - osem in tako naprej ... z distribucijo katere koli okužbe vse enake.)

Najenostavnejše naloge za geometrijsko napredovanje.

Začnimo, kot vedno, s preprosto nalogo. Zgolj razumevanje pomena.

1. Znano je, da je drugi član geometrijskega napredovanja 6, imenovalec pa -0.5. Poiščite prvi, tretji in četrti člani.

Torej smo podani infinite. geometrijsko napredovanje in znano drugi član To napredovanje:

B 2 \u003d 6

Poleg tega smo še vedno znani napredovanje imenovalca:

Q \u003d -0.5.

In morate najti najprej, tretjein ČetrtičČlani tega napredovanja.

Torej ukrepajte. Zapis zaporedja s pogojem opravila. Prav na splošno, kjer je drugi član šest:

b 1, 6,b. 3 , b. 4 , …

In zdaj nadaljujte z iskanjem. Začnemo, kot vedno, od najpreprostejših. Lahko računate, na primer, tretji kurac b 3.? Lahko! Z vami že vemo (prav v smislu geometrijskega napredovanja), da je tretji kurac (B 3) Več kot drugo (b. 2 ) v "Q" čas!

Pišemo:

b 3 \u003d.b. 2 · q.

Namesto tega nadomestimo šest b 2.in -0,5 namesto q. In verjamem. In ne prezrite minus, seveda ...

b 3 \u003d 6 · (-0,5) \u003d -3

Všečkaj to. Tretji član je bil minus. Ni čudno: naš imenovalec q. - Negativno. In plus pomnožimo z minus, bo znano, minus.)

Zdaj razmislimo o naslednjem, četrtem obdobju napredovanja:

b 4 \u003db. 3 · q.

B 4 \u003d -3 · (-0,5) \u003d 1.5

Četrti kurac - spet s plus. Peti član bo z minus, šestim - s plus in tako naprej. Znaki - nadomestni!

Torej, tretji in četrti člani. Izkazalo se je to zaporedje:

b 1; 6; -3; 1.5; ...

Zdaj ostaja najti prvi član. b 1. Glede na dobro znano drugo. Če želite to narediti, hodite po drugi strani, levo. To pomeni, da v tem primeru drugi član napredovanja ne smemo pomnožiti imenovalca in deliti.

Razdelimo in dobimo:

To je vse.) Odgovor na nalogo bo taka:

-12; 6; -3; 1,5; …

Kot lahko vidite, načelo reševanja enako kot v. Vedeti kaj Članica I. imenovalca. Geometrijski napredovanje - najdemo vse druge članice. Kar hočemo, takšne in stisnjene.) Z edino razliko, da se dodatek / odštevanje nadomesti z razmnoževanjem / delitvijo.

Spomnimo se: če smo znani po vsaj enem članu in imenovalu geometrijskega napredovanja, potem lahko vedno najdemo vse druge člane tega napredovanja.

Naslednja naloga, v skladu s tradicijo, iz Real OGe različice:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

Torej, kako? Tokrat ni prvega člana niti imenovalca q., samo zaporedje številk je nastavljeno ... nekaj znanega je že res? Da! Podobna naloga je že razstavljena v aritmetičnem napredovanju!

Zato se ne bojte. Vse enako. Vklopite glavo in se spomnite osnovnega pomena geometrijskega napredovanja. Ogledamo pozorno na našem zaporedju in menimo, da so parametri geometrijskega napredovanja treh glavnih (prvi člani, imenovalca, članska številka) skriti v njej.

Številke članov? Ni številke članov, da ... ampak obstajajo štiri dosledno številke. Kaj pomeni ta beseda, ni smiselno pojasniti na tej stopnji.) Imate dva v tem zaporedju sosednje znane številke?Tukaj je! To je 6 in 1.2. Tako da lahko najdemo imenovalca napredovanja.Tukaj in vzemite številko 1.2 in razdelite na prejšnjo številko. Šesto.

Dobimo:

Dobimo:

x. \u003d 150 · 0.2 \u003d 30

Odgovor: x. = 30 .

Kot vidite, je vse precej preprosto. Glavna težava je sestavljena le iz izračunov. Še posebej težko se zgodi v primeru negativnih in frakcijskih imenovalcev. Torej tisti, ki imajo težave, ponovite aritmetiko! Kako delati z frakcijami, kako delati z negativnimi številkami in tako naprej ... drugače tukaj se boste neusmiljeno upočasnili.

In zdaj je malo modificirana naloga. Zdaj bo zanimivo! Odstranite v njej zadnjo številko 1.2. Tukaj je taka naloga zdaj z reševanjem:

3. Zapisanih je več zaporednih članov geometrijskega napredovanja:

...; 150; X; 6; ...

Poiščite člana napredovanja, označenega s črko X.

Vse enako, samo dve sosednji slavni Nimamo napredovanja napredovanja. To je glavni problem. Ker je znesek q. Skozi dva sosednjega člana smo tako enostavni ne moremo. Ali imamo priložnost, da se spopadamo z nalogo? Seveda!

Odrežite neznanega člana x."Neposredno v smislu geometrijskega napredovanja! Na splošno.

Da Da! Desno z neznanim imenovalcem!

Po eni strani, za IKSA, lahko posnamemo to razmerje:

X. \u003d 150 ·q.

Po drugi strani pa isti Xe, imamo polno pravico do barve in skozi sledite Član, skozi šest! Delitev šest na imenovalca.

Všečkaj to:

X. = 6/ q.

Očitno lahko zdaj izenačite oba razmerja. Odkar smo izrazili enako velikost (x), vendar dva različne poti.

Dobimo enačbo:

Pomnožitev vsega q.Poenostavitev, rezanje, dobimo enačbo:

q 2 \u003d 1/25

Odločamo se in dobimo:

q \u003d ± 1/5 \u003d ± 0,2

Ups! Imenovalec se je izkazal za dvojno! +0,2 in -0.2. In kateri, ki ga želite izbrati? Slepa ulica?

Trnquity! Da, naloga je res dve rešitvi!Nič ni narobe s tem. To se zgodi.) Niste presenečeni, ko na primer dobili dve korenini, reševanje običajnih? Tukaj je enaka zgodba.)

Za q \u003d +0.2. Dobili bomo:

X \u003d 150 · 0,2 \u003d 30

In za q. = -0,2 bo:

X \u003d 150 · (-0,2) \u003d -30

Dobimo dvojni odgovor: x. = 30; x. = -30.

Kaj pomeni to zanimivo dejstvo? In kaj obstaja dve napredovanjeZadovoljevanje stanja nalog!

Kot ti:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Oba sta primerna.) Kaj misliš, zaradi tega, kar imamo deljeni odziv? Enkrat zaradi odprave določenega člana napredovanja (1.2), ki prihaja po šestih. In spoznavanje le prejšnjega (N-1) -TH in poznejšega (N + 1), ki je član geometrijskega napredovanja, ne moremo več reči ničesar o N-ti mestu, ki stoji med njimi. Možna sta dve možnosti - s plus in z minus.

Ampak ne težav. Praviloma je v nalogah za geometrijsko napredovanje dodatne informacije, ki dajejo nedvoumni odgovor. Recite, besede: "Poravnava napredovanje"ali "Napredovanje s pozitivnim imenovalcem" In tako na ... To je ta beseda in bi morala služiti kot kavelj, kakšen znak, plus ali minus, je treba izbrati, ko je končni odziv. Če takšnih informacij ni, potem, da bo naloga dve rešitvi.)

In zdaj smo se rešili.

4. Ugotovite, ali bo številka 20 članica geometrijskega napredovanja:

4 ; 6; 9; …

5. Objavljeno geometrijsko napredovanje:

…; 5; x. ; 45; …

Poiščite označeno člana napredovanja x. .

6. Poiščite četrti pozitivni član geometrijskega napredovanja:

625; -250; 100; …

7. Drugi član geometrijskega napredovanja je -360, njegov peti član pa je enak 23.04. Poiščite prvi član tega napredovanja.

Odgovori (v primeru motnje): -15; 900; ne; 2.56.

Čestitamo, če se je vse zgodilo!

Nekaj \u200b\u200bni pridružilo? Nekje se je izkazal za odgovor? Previdno smo prebrali stanje nalogi!

Zadnja naloga ne pride ven? Tam ni nič zapletenega.) Delamo neposredno v smislu geometrijskega napredovanja. No, slika je mogoče narisati. Pomaga.)

Kot lahko vidite, je vse osnovno. Če je napredovanje kratko. In če dolgo? Ali je število želenega člana zelo veliko? Želim, po analogiji z aritmetičnim napredkom, nekako dobite priročno formulo, ki vam omogoča enostavno iskanje kaj član vsakega geometrijskega napredovanja njegovo številko. Ne pomnožim veliko, večkrat na q.. Obstaja taka formula!) Podrobnosti - v naslednji lekciji.

Lekcija in predstavitev na temo: »Numerične sekvence. Geometrijsko napredovanje«

Dodatni materiali
Spoštovani uporabniki, ne pozabite pustiti komentarjev, pregledov, želje! Vsi materiali preverjajo protivirusni program.

Priročniki za usposabljanje in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za razred 9
Funkcije in grafike korenin in korenine

Fantje, danes bomo uvedli drugo vrsto napredovanja.
Tema današnje lekcije je geometrijska napredovanje.

Geometrijsko napredovanje

Opredelitev. Numerično zaporedje, v katerem je vsak član, ki se začne od drugega, enak izdelku prejšnjega in določenega stalnega števila, se imenuje geometrijski napredek.
Postavimo našo zaporedje ponavljajočega se: $ B_ (1) \u003d B $, $ b_ (n) \u003d b_ (n - 1) * q $
kjer sta B in Q določene določene številke. Številka Q se imenuje imenovalec napredovanja.

Primer. 1,2,4,8,16 ... geometrijski napredovanje, v katerem je prvi izraz enak enemu, in $ Q \u003d $ 2.

Primer. 8,88,88 ... geometrijski napredek, ki je enak osem,
$ Q \u003d 1 $.

Primer. 3, -3,3, -3,3 ... geometrijski napredek, ki je prvi član enak tri,
$ Q \u003d -1 $.

Geometrijski napredovanje ima monotonske lastnosti.
Če $ B_ (1)\u003e 0 $, $ Q\u003e $ 1,
potem se zaporedje povečuje.
Če $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Zaporedje je bilo označeno v obliki: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Tudi kot v aritmetičnem napredovanju, če je v geometrijskem napredovanju število elementov seveda, se napredovanje imenuje končni geometrijski napredovanje.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n - 2), b_ (n - 1), b_ (n) $.
Opomba Če je zaporedje geometrijski napredovanje, je zaporedje kvadratov članov tudi geometrijski napredovanje. V drugem zaporedju je prvi izraz $ b_ (1) ^ 2 $, in imenovalec je $ Q ^ 2 $.

Formula n-bus člana geometrijskega napredovanja

Geometrijski napredovanje se lahko nastavi v analitični obliki. Poglejmo, kako to storiti:
$ b_ (1) \u003d b_ (1) $.
$ b_ (2) \u003d b_ (1) * q $.
$ b_ (3) \u003d b_ (2) * q \u003d b_ (1) * q * q \u003d b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) \u003d b_ (3) * q \u003d b_ (1) * q ^ $ 3.
$ b_ (5) \u003d b_ (4) * q \u003d b_ (1) * q ^ 4 $.
Z lahkoto opazimo vzorec: $ b_ (n) \u003d b_ (1) * q ^ (n - 1) $.
Naša formula se imenuje "formula N-CO član geometrijskega napredovanja."

Vrnimo se na naše primere.

Primer. 1,2,4,8,16 ... geometrijsko napredovanje, v katerem je prvi izraz enak enega,
$ Q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $.

Primer. 16,84,2,11 / 2 ... geometrijski napredovanje, v katerem je prvi izraz šestnajst, in $ Q \u003d Frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (Frac (1) (2)) ^ (n - 1) $.

Primer. 8,88,88 ... geometrijska napredovanje, v katerem je prvi izraz osem, in $ Q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8.

Primer. 3, -3,3, -3,3 ... geometrijska napredovanje, v katerem je prvi izraz enak tri, in $ Q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.

Primer. Geometrijsko napredovanje $ B_ (1), B_ (2), ..., B_ (N), ... $.
a) Znano je, da $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d $ 3. Poiščite $ B_ (5) $.
b) Znano je, da $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d $ 768. Najdi N.
c) Znano je, da $ Q \u003d -2, B_ (6) \u003d 96 $. Poiščite $ B_ (1) $.
d) Znano je, da $ B_ (1) \u003d - 2, B_ (12) \u003d 4096 $. Poišči Q.

Sklep.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (n - 1) \u003d $ 768.
$ 2 ^ (N-1) \u003d Frac (768) (6) \u003d 128 $, od $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e N - 1 \u003d 7; N \u003d $ 8.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - $ 3.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Primer. Razlika med sedmim in petim članom geometrijskega napredovanja je 192, znesek petega in šestega dela napredovanja pa 192. Poiščite desetin tega napredovanja.

Sklep.
Vemo, da: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ in $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Prav tako vemo: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Nato:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ B_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Prejel sistem enačb:
$ Začetek (primeri) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 konec (primeri) $.
Priprava, naša enačba bo dobila:
$ B_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d Q + 1 $.
$ Q ^ 2-Q-2 \u003d 0 $.
Prejeta dve rešitvi Q: $ Q_ (1) \u003d 2, Q_ (2) \u003d - 1 $.
Nato smo nadomestili drugo enačbo:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ brez rešitev.
Prejeto kot: $ B_ (1) \u003d 4, Q \u003d $ 2.
Najdemo deseti član: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d $ 2048.

Količino končnega geometrijskega napredovanja

Naj imamo končno geometrično napredovanje. Poleg aritmetičnega napredovanja upoštevamo znesek njenih članov.

Naj končno geometrijsko napredovanje poda: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n - 1), b_ (n) $.
Predstavljamo oznako vsote svojih članov: $ S_ (N) \u003d B_ (1) + B_ (2) + ⋯ + B_ (N - 1) + B_ (N) $.
V primeru, ko $ Q \u003d 1 $. Vsi člani geometrijskega napredovanja so enaki prvemu članu, potem pa je očitno, da $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Upoštevajte zdaj v primeru $ Q ≠ $ 1.
Večji znesek pomnožite na Q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Opomba:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d frac (b_ (1) * q ^ (n - 1) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

$ S_ (n) \u003d frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Dobili smo formulo količine končnega geometrijskega napredovanja.

Primer.
Poiščite vsoto prvih sedmih članov geometrijskega napredovanja, v katerem je prvi izraz 4, in imenovalec 3.

Sklep.
$ S_ (7) \u003d frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.

Primer.
Poiščite peti članico geometrijskega napredovanja, ki je znano: $ b_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (N) \u003d - 4095 $.

Sklep.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n - 1) \u003d - $ 3072.
$ Q ^ (n - 1) \u003d 1024 $.
$ Q ^ (n) \u003d 1024Q $.

$ S_ (N) \u003d Frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (Q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365QQ-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d 1364 $.
$ Q \u003d $ 4.
$ B_5 \u003d B_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Značilna lastnost geometrijskega napredovanja

Fantje, glede na geometrijsko napredovanje. Poglejmo tri zaporednega člana: $ B_ (N - 1), B_ (N), B_ (N + 1) $.
Vemo, da:
$ \\ Trac (b_ (n)) (q) \u003d b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q \u003d b_ (n + 1) $.
Nato:
$ \\ Trac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q \u003d b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
Če je napredovanje končni, se ta enakost izvede za vse člane, razen za prvo in zadnje.
Če vnaprej ni znano, kakšno zaporedje, vendar je znano, da: $ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
Potem lahko varno rečete, da je to geometrijska napredovanje.

Številčno zaporedje je geometrični napredek, le ko je kvadrat vsakega člana enak izdelku dveh sosednjih napredovanja z njo. Ne pozabite, da za končno napredovanje ta pogoj ne izvede za prvi in \u200b\u200bzadnji član.

Poglejmo to identiteto: $ SQRT (B_ (N) ^ (2)) \u003d SQRT (B_ (N-1) * B_ (N + 1)) $.
$ | b_ (n) | \u003d sqrt (b_ (n - 1) * b_ (n + 1)) $.
$ SQRT (A * B) $ se imenuje srednje geometrijske številke A in b.

Modul vsakega člana geometrijskega napredovanja je enak povprečnim geometrijskim dvema članama, ki meji nanj.

Primer.
Poiščite takšno x, ki bi bilo $ x + 2; 2x + 2; 3x + 3 $ je bil trije zaporedni član geometrijskega napredovanja.

Sklep.
Uporabljamo značilno lastnino:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ in $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Nadomestite dosledno v izvirnem izrazu, naše rešitve:
Pri $ X \u003d $ 2, je bilo doseženo zaporedje: 4; 6; 9 - geometrijsko napredovanje, v katerem $ Q \u003d 1,5 $ $.
Za $ x \u003d -1 $, prejeto zaporedje: 1; 0; 0.
Odgovor: $ X \u003d 2. $

Naloge za samopomoč

1. Poiščite osmo prvi članico geometrijskega napredovanja 16; -8; 4; -2 ....
2. Poiščite desetin geometrijskega napredovanja 11,22,44 ....
3. Znano je, da $ b_ (1) \u003d 5, Q \u003d $ 3. Poiščite $ B_ (7) $.
4. Znano je, da $ B_ (1) \u003d 8, Q \u003d -2, B_ (N) \u003d 512 $. Najdi N.
5. Poiščite vsoto prvih 11 članov geometrijskega napredovanja 3; 12; 48 ....
6. Poiščite take x, ki $ 3x + 4; 2x + 4; X + 5 $ so trije zaporedni član geometrijskega napredovanja.

Torej, sedite in začnite pisati številke. Na primer:

Lahko napišete številke, in so lahko vsekakor (v našem primeru). Koliko številk nismo napisali, lahko vedno rečemo, katera izmed njih je druga in tako na zadnjem, to je, da jih lahko otrpamo. To je primer numeričnega zaporedja:

Zaporedje številk - To je veliko številk, od katerih je vsaka dodeljena edinstvena številka.

Na primer, za naše zaporedje:

Dodeljena številka je značilna samo za eno število zaporedij. Z drugimi besedami, v zaporedju ni tri sekunde. Druga številka (kot številka) je vedno ena.

Številko s številom člana imenovanja sekvence.

Običajno imenujemo vse zaporedje (na primer), vsak član tega zaporedja pa je isto pismo z indeksom, ki je enak številu tega člana :.

V našem primeru:

Najpogostejše vrste napredovanja je aritmetika in geometrijska. V tej niti bomo govorili o drugi obliki - geometrijsko napredovanje.

Kaj potrebuje geometrijsko napredovanje in njegovo zgodovino pojava.

Tudi v starih časih je bil italijanski matematik Monk Leonardo iz PISA (bolj znan imenovan Fibonacci) ukvarjal z reševanjem praktičnih potreb trgovine. Pred meno je bila naloga, da ugotovimo, s tem, kar lahko najmanjše število uteži tehtamo blago? V njegovih spisih se Fibonacci dokaže, da je tak sistem optimalen: to je ena izmed prvih situacij, v katerih se morajo ljudje soočiti z geometrijskim napredkom, ki ste ga verjetno že slišali in imeli vsaj splošni koncept.. Takoj, ko popolnoma razumete na temo, pomislite, zakaj je tak sistem optimalen?

Trenutno se v življenjski praksi geometrijska napredovanje kaže pri naložbi sredstev na banko, ko se znesek obresti obračuna na znesek, obračun v računu za prejšnje obdobje. Z drugimi besedami, če vložimo denar za nujni prispevek k hranilnici, po enem letu se bo prispevek povečal iz začetnega zneska, tj. Novi znesek bo enak depozitu, pomnoženemu. Leto kasneje se bo ta znesek povečal, tj. Nastali znesek, da se bo čas ponovno pomnožil na in tako naprej. Takšna situacija je opisana v nalogah za izračun tako imenovanega kompleksni interes - Odstotek se vzame vsakič od zneska, ki je na računu pri prejšnjih obrestnih mestih. O teh nalogah bomo govorili malo kasneje.

Še vedno je veliko preprostih primerov, kjer se uporablja geometrijska napredovanje. Na primer, širjenje gripe: ena oseba okužila osebo, nato pa so postale okužene s strani osebe, in s tem drugega vala okužbe - človek, in tisti, ki so postali okuženi ... in tako na ...

Mimogrede, finančna piramida, isti MMM je preprost in suh izračun na lastnosti geometrijskega napredovanja. Zanimivo? Ukvarjajmo se.

Geometrijsko napredovanje.

Recimo, da imamo numerično zaporedje:

Takoj boste odgovorili, da je enostavno in ime takega zaporedja - z razliko njenih članov. In kaj pa to:

Če ste odšteti od naslednjega števila prejšnjega, potem boste videli, da vsakič, ko izkaže novo razliko (itd), vendar zaporedje zagotovo obstaja in je enostavno nositi - vsaka naslednja številka je večja od prejšnji!

Ta vrsta številskega zaporedja se imenuje geometrijsko napredovanje in je označen.

Geometrijsko napredovanje () je numerično zaporedje, katerega prvi mandat se razlikuje od nič, in vsak član, ki se začne od drugega, ki je enaka prejšnji, pomnožena z isto številko. Ta številka se imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.

Omejitve, ki prvi izraz () ni enaka in ne naključna. Recimo, da niso, in prvi izraz je še vedno enak, in Q je enak, HMM .. Naj se izkaže:

Strinjam se, da to ni več napredovalo.

Kot razumete, bomo prejeli enake rezultate, če je katero koli številko, ki ni nič, ampak. V teh primerih napredovanje preprosto ne bo, saj bo celotna numerična serija bodisi vse ničle, ali eno številko, vendar vse druge ničle.

Zdaj pa pogovorimo podrobneje o imenovalca geometrijskega napredovanja, to je.

Ponovitev: - To je številka kolikokrat se spremeni vsak naknadni član geometrijsko napredovanje.

Kaj misliš, da bi lahko bil? Pravica, pozitivna in negativna, vendar ne nič (o tem smo se pogovarjali malo višje).

Recimo, da imamo pozitivno. Naj v našem primeru in. Kaj je drugi član in? Lahko zlahka odgovorite na to:

Tako je. V skladu s tem, če imajo vsi naslednji člani napredovanja enak znak - oni pozitivno.

Kaj pa, če je negativen? Na primer, a. Kaj je drugi član in?

To je povsem drugačna zgodba.

Poskusite izračunati člana tega napredovanja. Koliko si naredil? Imam. Torej, če, znaki članov geometrijske namestni napredek. To je, če vidite napredovanje, z izmeničnimi znaki njenih članov, je njegov imenovalec negativen. To znanje vam lahko pomaga pri reševanju nalog na to temo.

Zdaj se vzamejo malo ugriznejo: poskusite ugotoviti, katere številske sekvence so geometrijski napredek, in katera aritmetika:

Ugotovljeno? Primerjajte naše odgovore:

• Geometrijska napredovanje - 3, 6.
• Aritmetični napredovanje - 2, 4.
• To ni niti aritmetika niti geometrijska napredovanje - 1, 5, 7.

Vrnimo se na naš zadnji napredovanje in poskusili bomo na enak način kot v aritmetiki, da bi našli njen kurac. Ko že ugibate, ga je treba najti dva načina.

Dosledno pomnožite vsakemu članu.

Torej je član opisanega geometrijskega napredovanja enak.

Ko že ugibate, boste zdaj sami prinesli formulo, ki vam bo pomagala najti vsakega člana geometrijskega napredovanja. Ali ste jo že umaknili zase, slikarstvo, kako narediti člana? Če je tako, potem preverite pravilnost obrazložitve.

To bomo ponazorili na primeru iskanja člana tega napredovanja:

Z drugimi besedami:

Poiščite si vrednost člana določenega geometrijskega napredovanja.

Se je zgodilo? Primerjajte naše odgovore:

Upoštevajte, da imate natančno enako številko kot na prejšnjem načinu, ko smo jih dosledno pomnožili vsak prejšnji član geometrijskega napredovanja.
Poskusimo »diskete« to formulo - dajemo s splošnim pogledom in dobite:

Izpeljana formula velja za vse vrednosti - tako pozitivne kot negativne. Preverite sami, izračun člana geometrijskega napredovanja z naslednjimi pogoji:

Izračuna? Primerjajte dosežene rezultate:

Strinjam se, da bi našli člana napredovanja, pa tudi član, pa obstaja verjetnost, da se nepravilno izračuna. In če smo našli na člana geometrijskega napredovanja, in, kaj bi bilo lažje, kot da bi uporabljali "rezan" del formule.

Neskončno zmanjševanje geometrijskega napredovanja.

Nazadnje smo govorili o tem, kaj bi lahko bilo več in manj nič, pa obstajajo posebni pomen, v katerem se imenuje geometrijska napredovanje neskončno spust.

Kaj misliš, zakaj je tako ime?
Za začetek, smo izpisali nekaj geometrijskega napredovanja, ki ga sestavljajo člani.
Recimo, potem pa:

Vidimo, da je vsak naslednji član manjši od prejšnjega, vendar bo kakšno številko? Takoj boste odgovorili - "Ne." Zato je neskončno zmanjšanje - zmanjšanje, zmanjšanje in null nikoli ne postane.

Da bi jasno razumeli, kako izgleda vizualno, poskusimo narisati urnik našega napredovanja. Torej, za naš primer, formula pridobi naslednji obliki:

Na grafih smo seznanjeni z izgradnjo odvisnosti od:

Bistvo izraza se ni spremenilo: V prvem zapisu smo pokazali odvisnost od vrednosti člana geometrijskega napredovanja od njegove zaporedne številke, v drugem zapisu - smo preprosto vzeli vrednost člana geometrije Napredovanje, zaporedna številka pa ni bila enaka kot, ampak kako. Vse, kar ostane, je zgraditi grafikon.
Poglejmo, kaj imaš. To je izkazalo, da je urnik:

Glej? Funkcija se zmanjšuje, si prizadeva za nič, vendar ga ne bo nikoli prečkala, zato je neskončno zmanjšuje. Opozarjamo na tabeli naših točk in hkrati tisto, kar se nanaša na koordinato in:

Poskusite shematično prikazati graf geometričnega napredovanja, če je njegov prvi član enak. Analizirajte, kakšna je razlika z našim prejšnjim urnikom?

Spopasti? To je izkazalo, da je urnik:

Zdaj, ko ste v celoti razumeli v osnove teme geometrijskega napredovanja: veste, kaj je, veste, kako najti njen član, in vedeti, da tako neskončno zmanjšuje geometrijsko napredovanje, se obrnemo na njegovo glavno lastnino.

Lastnosti geometrijskega napredovanja.

Se spomnite lastnosti članov aritmetičnega napredovanja? Da, da, kako najti vrednost določenega števila napredovanja, ko obstajajo prejšnje in poznejše vrednosti članov tega napredovanja. Spomnil? To:

Zdaj imamo popolnoma isto vprašanje za člane geometrijskega napredovanja. Da bi prinesli podobno formulo, začnimo risati in prepirati. Videli boste, zelo enostavno, in če pozabite, ga lahko vzamete sami.

Vzemite še en preprost geometrijski napredovanje, v katerem smo znani in. Kako najti? Ko je aritmetični napredovanje, je enostavno in preprosto, in kako je? Pravzaprav, v geometriji bodisi ni nič zapletenega - je potrebno preprosto barvati formulo vsako dano vrednost.

Vprašate in zdaj kaj storiti z njim? Da, zelo preprosta. Za začetek boste prikazali te formule na sliki in poskusite narediti različne manipulacije z njimi, da pridejo do vrednosti.

Povzetek iz številk, ki smo jih dali, se osredotočite samo na njihov izraz skozi formulo. Poiskati moramo vrednost dodeljene oranžna barvaPoznavanje članov, sosednjih članov. Poskusimo izdelati različne ukrepe z njimi, zaradi katerih lahko dobimo.

Dodatek.
Poskusimo zložiti dva izraza in dobimo:

Iz tega izraza, kot vidite, ne bomo mogli izraziti, zato bomo poskusili drugo možnost - odštevanje.

Odštevanje.

Kot vidite, tega ne moremo tudi izraziti, zato skušamo razmnožiti izraz drug na drugega.

Množenje.

In zdaj, poglej pozorno, kaj imamo, pomnožimo te člane geometrijskega napredovanja v primerjavi s tem, kar morate najti:

Mislim, o čem govorim? Tako je, da bi našli nas, da je treba vzeti kvadratni koren od pomnoženega drug drugemu, ki meji na želeno število geometrijskega napredovanja:

Izvoli. Ti sami prinesel lastnost geometrijskega napredovanja. Poskusite napisati to formulo na splošno. Se je zgodilo?

Pozabil je stanje? Razmislite, zakaj je pomembno, na primer, poskusite se izračunati. Kaj se zgodi v tem primeru? Tako je, popolna neumnost, saj je formula izgleda takole:

V skladu s tem ne pozabite na to omejitev.

Zdaj razmislite, kaj je enako

Pravilen odgovor - ! Če ne pozabite na drugo možno vrednost pri izračunu, lahko takoj pojdite na vadbo, in če ste pozabili - prebrati, kaj razstavljamo in bodite pozorni na to, zakaj morate zabeležiti obe korenine.

Narisamo tako geometrijske napredovanja - eno z vrednostjo, drugo pa z vrednostjo in preverite, če imata oba pravica do obstoja:

Da bi preverili, ali takšno geometrično napredovanje obstaja ali ne, je treba videti, je enako med vsemi svojimi člani? Izračunajte Q za prvi in \u200b\u200bdrugi primer.

Poglejte, zakaj bi morali napisati dva odgovora? Ker je znak na želenem članu odvisen od tega, kaj je pozitivno ali negativno! In ker ne vemo, kaj je, moramo napisati oba odgovora in plus, in z minus.

Zdaj, ko ste se naučili vrhunce in prinesli formulo za last geometrijskega napredovanja, poiščite, poznavanje in

Primerjajte prejete odgovore s pravilnim:

Kaj menite, in če nismo imeli sosednje vrednosti članov geometrijskega napredovanja, ampak enakomerno od nje. Na primer, poiskati moramo in dati in. Ali lahko v tem primeru uporabljamo formulo, ki smo jo izpeljali? Poskusite isto potrditev ali zavrniti to priložnost, slikanje od tistega, kar je sestavljeno iz vsakega pomena, kot ste to storili, sprva sprva s formulo.
Kaj si naredil?

Zdaj pa poglej pozorno.
in ustrezno:

Iz tega lahko sklepamo, da formula deluje ne samo za sosednje z želenim članom geometrijskega napredovanja, pa tudi z equifferent. Iz želenih članov.

Tako naša začetna formula pridobi obliko:

To je, če smo v prvem primeru rekli, da zdaj pravimo, da je lahko enaka vsemu naravnem številu, ki je manj. Glavna stvar je, da je enaka tako za določene številke.

Praksa na posebnih primerih je izjemno pozorna!

1. . Najti.
2. . Najti.
3. . Najti.

Odločil sem se? Upam, da ste bili zelo pozorni in opazili malo ulova.

Primerjajte rezultate.

V prvih dveh primerih smo mirno uporabljamo zgoraj opisano formulo in dobimo naslednje vrednosti:

V tretjem primeru, s pozoren obravnavo zaporednih številk teh podatkov, smo razumeli, da niso enakovnjeni od številke, ki jo iščemo: Ali je prejšnja številka, vendar odstranjena na položaj, tako da uporabi formulo ni mogoče.

Kako ga rešiti? Pravzaprav ni tako težko, kot se zdi! Dajmo z vami, iz katere se vsega, kar nam je dano in želeno število.

Torej imamo in. Poglejmo, kaj lahko storiš z njimi? Predlagam deliti. Dobimo:

Podatke lahko nadomestimo v formuli:

Naslednji korak lahko najdemo, da moramo vzeti kubični koren iz nastale številke.

In zdaj spet gledamo, kar imamo. Imamo, in moramo najti, in on pa je:

Vsi potrebni podatki za štetje, ki smo jih našli. Nameravamo s formulo:

Naš odgovor: .

Poskusite sami rešiti drugo takšno nalogo:
DANO:
Najti:

Koliko si naredil? Imam - .

Kako vidite, pravzaprav potrebujete ne pozabite samo ene formule -. Vsi drugi, ki jih lahko kadarkoli umaknete, brez dela. Če želite to narediti, preprosto pišite na list najpreprostejšega geometrijskega napredovanja in pisanja, ki je po zgornji formuli enaka vsaki številki.

Vsota članov geometrijskega napredovanja.

Zdaj razmislite o formulah, ki nam omogočajo, da hitro izračunamo znesek članov geometrijskega napredovanja v določenem intervalu:

Če želite prinesti povzetek končnega geometrijskega napredovanja, pomnožite vse dele višje enačbe. Dobimo:

Pozorno poglejte: kaj je običajno v zadnjih dveh formulah? To je prav, splošni člani, na primer, in tako naprej, razen prvega in zadnjega člana. Poskusimo odšteti od 2. enačbe 1.. Kaj si naredil?

Zdaj izraža člana geometrijskega napredovanja s formulo geometrijskega napredovanja in predloži izraz, pridobljen v naši zadnji formuli:

Skupinski izraz. Moral bi dobiti:

Vse, kar je ostalo storiti, je izraziti:

V tem primeru.

Kaj če? Kakšna formula deluje potem? Predstavljajte si geometrijsko napredovanje. Kaj je prisotna? Popravite številne enake številke, oziroma bo formula izgledala takole:

Kot v aritmetičnem in geometrijskem napredovanju je veliko legend. Ena od njih je legenda o setu, posadka šaha.

Mnogi vedo Šah Izumil je v Indiji. Ko jo je Hindujski kralj srečal, ga je občudoval njen Wit in različne določbe. Ko se je izumil, da je izumil eden od njegovih predmetov, se je kralj odločil osebno nagraditi. Poklical je izumitelj sam sebi in ga naročil, naj ga vpraša vse, kar želi, obetajoč, da bi izpolnil celo najbolj usposobljeno željo.

Seta je vprašal čas, da bi razmislil, in ko je naslednji dan, set prišel do kralja, je presenetil kralja neprimerljive skromnosti njegove zahteve. Prosil je za prvo celico gradbenega pšeničnega žita, za drugo pšenično zrna, za tretjino, za četrto itd.

Kralj je bil jezen in potoval po kompletu, ki pravi, da je bila zahteva služabnika nedvestna kraljeve velikodušnosti, vendar je obljubila, da bo služabnik prejel žita za vse celice odbora.

In zdaj vprašanje: Uporaba s formulo vsote članov geometrijskega napredovanja, preštejte, koliko zrn naj bi set dobil?

Začnimo govoriti. Ker, s pogojem za prvo celico šahovske plošče, je nabor vprašal pšenično žito, za drugo, za tretjino, za četrto, itd, vidimo, da govorimo o geometrijskem napredovanju v nalogi. Kaj je v tem primeru enaka?
Prav.

Cele celice v celoti. V skladu s tem ,. Imamo vse podatke, ostane samo nadomestiti s formulo in izračunati.

Da bi predstavili vsaj "lestvice" tega števila, se spremenimo z uporabo stopenjskih lastnosti:

Seveda, če želite, lahko vzamete kalkulator in izračunate, da v številu na koncu boste uspeli, in če ne, morate verjeti mi za Word: Končna vrednost izraza bo.
I.e:

quintilions of Quadrillion trilijonov milijarde milijonov tisoč.

Fuh) Če želite zamisliti veličino te številke, potem računajte, kakšno barn bi bilo treba prilagoditi celotni količini zrnja.
Z višino hleva M in širino dolžine, bi bilo treba uporabiti na km, - t.e. Twiceward kot iz Zemlje do Sun.

Če bi bil kralj močen v matematiki, bi lahko predlagal, da prešteva samega zrnja, ker bi preštel milijon zrn, bi potreboval ne manj kot en dan neutrudnega računa, in ob upoštevanju, da bi bilo treba prešteti Quintille, bi zrna prešteti njihovo življenjsko dobo.

In zdaj smo reševali preprost izziv na količino geometrijskih članov napredovanja.
Študent 5. razreda Vasya, je padel z gripo, vendar še vedno gre v šolo. Vsak dan, Vasya okuži dve osebi, ki, nato pa okužita še dva ljudi in tako naprej. Skupaj v razredu. Po tem, koliko dni bo gripa poškodovala celoten razred?

Torej, prvi član geometrijskega napredovanja je Vasya, to je oseba. Član geometrijskega napredovanja, to so ti dve osebi, ki ga je okužil prvi dan njegovega prihoda. Skupni znesek članov napredovanja je enak številu študentov 5a. V skladu s tem govorimo o napredovanju, v katerem:

Namestite naše podatke v formuli količine geometrijskega napredovanja:

Celoten razred bo zbolil več dni. Ne verjavajte o formulah in številkah? Poskusite prikazati "okužbo" študentov. Se je zgodilo? Poglej, kako izgleda kot jaz:

Izračunajte se, koliko dni bi se učenci zbolili z gripo, če bi se vsi okužili oseba, in oseba, ki jo je preučila v razredu.

Kakšno vrednost ste uspeli? Uspelo mi je, da so vsi začeli poškodovati dan kasneje.

Kot vidite, podobna naloga in risba na njeno podobno piramido, v kateri vsak naslednji "vodi" nove ljudi. Vendar pa prej ali slej pride ta trenutek, ko slednji ne more pritegniti nikogar. V našem primeru, če oddate, da je razred izoliran, je oseba zaprta z verigo (). Torej, če je bila oseba vključena v finančno piramido, v kateri je bil denar izdan v primeru, da prineseta dva dela, potem oseba (ali na splošno) ne bi pripeljala nikogar, oziroma, bi izgubila vse, kar je vložilo v to finančno asprogujo.

Vse, kar je bilo navedeno zgoraj, se nanaša na zmanjševanje ali povečanje geometrijskega napredovanja, vendar, kot se spomnite, imamo poseben pogled - neskončno zmanjševanje geometrijskega napredovanja. Kako upoštevati znesek njenih članov? In zakaj ima ta vrsta napredovanja določene funkcije? Obravnavamo skupaj.

Torej, za začetek, poglejmo še enkrat to risbo neskončno zmanjševanja geometrijskega napredovanja iz našega primera:

In zdaj bomo pogledali s formulo količine geometrijskega napredovanja, ki jo je vodila malo prej:
ali

Kaj iščemo? Tako je, zdi se, da si prizadeva za nič. To pomeni, da bo to skoraj enako, pri izračunu izraza, ki ga bomo skoraj dobili. V zvezi s tem verjamemo, da se lahko ta nosilec pri štetju brezstopenjskega zmanjševanja geometrijskega napredovanja zanemari, saj bo enak.

- formula Znesek pripadnikov brezstopenjskega zmanjševanja geometrijskega napredovanja.

POMEMBNO! Formula vsote članov neskončno zmanjšuje geometrijsko napredovanje, ki jo uporabljamo le, če je pogoj označen, da morate najti znesek infinite. Številke.

Če je navedena določena številka n, nato uporabimo formulo zneska N članov, čeprav Or.

In zdaj se izvaja.

1. Poiščite vsoto prvih članov geometričnega napredovanja z in.
2. Poiščite vsoto članov neskončno zmanjševanja geometrijskega napredovanja C in.

Upam, da ste bili zelo pozorni. Primerjajte naše odgovore:

Zdaj veste o geometrijskem napredovanju, vse je čas, da se premaknete iz teorije v prakso. Najpogostejše naloge za geometrijsko napredovanje, ki jo najdemo na izpitu, so naloge izračuna kompleksnega interesa. Gre za njih, o katerih bomo razpravljali.

Naloge za izračun kompleksnega interesa.

Verjetno ste slišali za tako imenovano formulo kompleksnega zanimanja. Ali razumete, kaj to pomeni? Če ne, razumemo, saj se zaveda samega procesa, boste takoj razumeli in tukaj geometrijsko napredovanje.

Vsi gremo na banko in vemo, da obstajajo različnih pogojev Depoziti: To je izraz in dodatna storitev, in odstotek z dvema različne poti Njegove časovne razmejitve so preproste in težke.

Od enostavno zanimanje Bolj ali manj razumljivo: obresti se obračunavajo enkrat na koncu obdobja depozita. To je, če govorimo o tem, da smo postavili 100 rubljev na leto, potem pa se pripisujejo le ob koncu leta. V skladu s tem bomo do konca prispevka dobili rubljev.

Obrestno obrestovanje - To je varianta, na kateri kapitalizacija interesa. Njihov sprejem na znesek prispevka in naknadnega izračuna dohodka ni iz začetnega, ampak iz zbranega zneska depozita. Kapitalizacija ni nenehno, vendar z nekaj periodičnosti. Praviloma so takšna obdobja enaka in najpogosteje banke uporabljajo mesec, četrtletje ali leto.

Recimo, da smo postavili vse enake rubljev na letno, vendar z mesečno kapitalizacijo prispevka. Kaj dobimo?

Ali razumete vse tukaj? Če ne, se ukvarjajo s fazami.

Pripeljali smo na banke rubljev. Do konca meseca bi morali imeti znesek, ki ga sestavljajo naši rubljev, plus zanimanje za njih, to je:

Strinjam se?

Lahko vzamemo nosilec in potem bomo dobili:

Strinjam se, ta formula je že bolj podobna tistemu, kar smo napisali na začetku. Še vedno se obravnava obresti

V zvezi z nalogo nam povedamo letno. Kot veste, se ne pomnožimo - Prevedimo zanimanje za decimalne frakcije, to je:

Prav? Zdaj vprašate, in kje je prišla številka? Zelo preprosto!
Ponavljam: naloga je rečeno Letno Obresti, od katerih se pojavi MESEČNO. Kot veste, bo v letu mesecev, oziroma, bo banka nas zaračuna na mesec od letnega odstotka:

Obnavlja? Zdaj poskusite napisati, kako bo ta del formule pogledal, če rečem, da se obresti obračunavajo vsak dan.
Spopasti? Primerjamo rezultate:

Dobro opravljeno! Vrnimo se na našo nalogo: Napišite, koliko bo obračunalo na naš račun že drugi mesec, pri čemer se upošteva, da se obresti obračunavajo na akumuliran znesek prispevka.
To se mi je zgodilo:

Ali, z drugimi besedami:

Mislim, da ste že opazili vzorec in videl geometrijsko napredovanje v vsem tem. Napišite, kaj bo enako kurac, ali, z drugimi besedami, koliko denarja dobimo ob koncu meseca.
Končano? Preverite!

Kot vidite, če dajo denar v banko za eno leto pod preprostim odstotkom, potem boste dobili rubljev, in če pod kompleksno - rubljev. Korist je majhna, vendar se to zgodi le eno leto, vendar je za daljše obdobje, kapitalizacija je veliko bolj donosna:

Razmislite o še en tip naloge za kompleksen interes. Potem, kar razumete, bo to osnovno za vas. Torej, naloga:

Družba "zvezda" je začela vlagati v industrijo leta 2000, ki ima kapital dolarjev. Vsako leto od leta 2001, je dobiček, ki sega od prestolnice preteklega leta. Koliko dobička bo prejelo podjetje "Star" konec leta 2003, če dobiček iz prometa ni bil umaknjen?

Kapital družbe "zvezda" leta 2000.
- prestolnico družbe "zvezda" v letu 2001.
- prestolnico družbe "zvezda" v letu 2002.
- glavno mesto družbe "zvezda" v letu 2003.

Ali pa lahko napišemo kratek:

Za naš primer:

2000, 2001, 2002 in 2003.

:
rubljev
Opomba, v tej nalogi nimamo nobene divizije, ker je odstotek letno in se zaračuna letno. To pomeni, da prebere nalogo zapletenega interesa, bodite pozorni na katere se nanaša odstotek, in v kakšnem obdobju je nastal in šele nato nadaljuje z izračuni.
Zdaj veste o geometrijskem napredovanju.

Telovaditi.

1. Poiščite člana geometrijskega napredovanja, če je to znano, in
2. Poiščite vsoto prvih članov geometrijskega napredovanja, če je to znano, in
3. Družba "MDM Capital" se je začela vlaganje v industrijo v letu 2003, ki ima kapital dolarjev. Vsako leto, ki se začne leta 2004, ustvari dobiček, ki sega od prestolnice preteklega leta. MSC Denarni tokovi so začeli vlagati v industrijo v letu 2005 v višini 10.000 $, začetni dobiček od leta 2006 v znesku. Koliko dolarjev je konec leta 2007 bolj drugače kapitala ene družbe, če dobiček od prometa ni bil umaknjen?

Odgovori:

1. Ker nalog ne pravi, da napredovanje neskončne in je potrebno, da bi našli znesek določenega števila njenih članov, potem izračun temelji na formuli:
2. 
   Podjetje "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - se poveča za 100%, to je 2-krat.
   :
   rubljev
   MSC Denarni tok podjetje:

   2005, 2006, 2007.
   - povečanje, to je od.
   :
   rubljev
   rubljev

Povzetek.

1) Geometrijsko napredovanje () je numerično zaporedje, katerega prvi mandat se razlikuje od nič, in vsak član, ki se začne od drugega, ki je enak prejšnjemu, pomnožene z isto številko. Ta številka se imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.

2) Enačba članov geometrijskega napredovanja -.

3) lahko sprejme vse druge vrednosti, kot in. \\ T

• Če imajo vsi poznejši člani napredovanja enak znak - oni pozitivno;
• Če, potem vse naknadne člane napredovanja nadomestni znaki;
• kdaj se napredovanje imenuje neskončno zmanjševanje.

4), ko - lastnost geometrijskega napredovanja (sosednji člani)

ali
, z (Equidistantacijski člani)

Ko tega ni treba pozabiti odgovor mora biti dva.

Na primer,

5) Znesek geometrijskih članov napredovanja se izračuna s formulo:
ali

ali

POMEMBNO! Uporabljamo formulo vsote članov neskončno zmanjševanja geometrijskega napredovanja le, če je pogoj izražen, da je treba najti vsoto neskončnega števila članov.

6) Izzivi za kompleksne obresti se izračunajo tudi s članom Formule -GE geometrijskega napredovanja, pod pogojem, da denar od prometa ni bil izbran:

Geometrijsko napredovanje. Na kratko o glavni stvari

Geometrijsko napredovanje () To je numerično zaporedje, katerega prvi mandat se razlikuje od nič, in vsaka članica, ki se začne od drugega, ki je enaka prejšnji, pomnožena z isto številko. To številko se imenuje geometrijski napredovanje imenovalca.

Geometrijski napredovanje imenovalca Lahko sprejme vse druge vrednosti, kot in. \\ T

• Če imajo vsi poznejši člani napredovanja enak znak - so pozitivni;
• Če vsi poznejši člani naprednih znakov napredovanja;
• kdaj se napredovanje imenuje neskončno zmanjševanje.

Enačba geometrijskega napredovanja - .

Znesek članov geometrijskega napredovanja Izračunana s formulo:
ali

Če napredovanje neskončno zmanjšuje, potem:

Preostali 2/3 člankov so na voljo samo študentom Youclever!

Postanite študent Youclever,

Pripravite se na OGE ali EGE v matematiki po ceni "skodelica kave na mesec",

In tudi za pridobitev neopaznega dostopa do učbenika "Youclever", program usposabljanja (Reshebnik) "100GIA", neomejen testiranje izpit in OGe, 6000 nalog z odločitvami rešitev in drugih storitev Youclever in 100Gia.

Geometrijski napredovanje je numerično zaporedje, katerega prvi mandat se razlikuje od nič, in vsak naslednji mandat je enak prejšnjemu članu, pomnoženo z istim in isto številko, ki ni nič. Geometrijski napredovanje je označen z B1, B2, B3, ..., BN, ...

Lastnosti geometričnega napredovanja

Odnos vsakega člana geometrijske napake proti prejšnjemu članu je enak isti številki, to je, B2 / B1 \u003d B3 / B2 \u003d B4 / B3 \u003d ... \u003d BN / B (N-1) \u003d B ( n + 1) / bn \u003d .... To bi moralo biti neposredno od določitve aritmetičnega napredovanja. Ta številka se imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja. Značilno je, da je imenovalec geometrijskega napredovanja označen s črko Q.

Eden od načinov za nastavitev geometrijskega napredovanja je, da določite svoj prvi izraz B1 in imenovalec geometrične napake Q. Na primer, B1 \u003d 4, Q \u003d -2. Ti dve pogoji določajo geometrijsko napredovanje 4, -8, 16, -32, ....

Če Q\u003e 0 (q ni 1), je napredovanje monotono zaporedje. Na primer, zaporedje, 2, 4,8,16.32, ... je monotono povečanje zaporedja (B1 \u003d 2, Q \u003d 2).

Če v geometrijski napaki imenovalca Q \u003d 1, bodo vsi člani geometrijskega napredovanja enaki drug drugemu. V takih primerih je dejal, da je napredovanje stalno zaporedje.

Formula n-ti član napredovanja

Da bi bilo numerično zaporedje (BN) geometrično napredovanje, je potrebno, da je vsak od njenega člana, ki se začne od drugega, povprečni geometrijski sosednji člani. To pomeni, da je treba izvesti naslednjo enačbo - (B (N + 1)) ^ 2 \u003d BN * B (N + 2), za katero koli N\u003e 0, kjer n pripada nizu naravna številka N.

Formula noben član geometrijskega napredovanja ima obrazec:

bN \u003d B1 * q ^ (n - 1), kjer N pripada nizu naravnih števil N.

Razmislite o preprostem primeru:

V geometrijskem napredovanju B1 \u003d 6, Q \u003d 3, n \u003d 8, da bi našli BN.

Uporabljamo formulo noben član geometrijskega napredovanja.

Aritmetični in geometrijski napredovanje

Teoretične informacije.

Teoretične informacije

	Aritmetični napredovanje	Geometrijsko napredovanje
Opredelitev	Aritmetični napredovanje n. Zaporedje se imenuje vsaka članica, ki se začne od drugega, enaka prejšnji član, zložena z isto številko d. (d. - Razlika napredovanja)	Geometrijsko napredovanje b N. Zaporedje številk, ki niso nič, se imenuje vsaka članica, ki je začela od drugega, je prejšnji član, pomnožen z isto številko q. (q. - imenovalec napredovanja)
Ponavljajoča se formula	Za vsako naravno n. n + 1 \u003d a n + d	Za vsako naravno n. b n + 1 \u003d b n ∙ q, b n ≠ 0
Brez formule	a \u003d a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Značilno lastnino
N-prvi člani

Primeri nalog s pripombami

Vaja 1.

V aritmetičnem napredovanju ( n.) a 1. = -6, a 2.

V skladu s formulo št. Članice:

22. = a 1. + D (22 - 1) \u003d a 1. + 21 D.

S pogojem:

a 1. \u003d -6, potem 22. \u003d -6 + 21 D.

Potrebno je najti razliko v napredovanju:

d \u003d a 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2

22. = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Odgovor: 22. = -48.

Naloga 2.

Najti petega člana geometrijskega napredovanja: -3; 6; .....

1. način (z uporabo n formule)

V skladu s formulo nima člana geometrijskega napredovanja:

b 5 \u003d B 1 ∙ Q 5 - 1 = b 1 ∙ Q 4.

Sodišče b 1. = -3,

2. metoda (z uporabo ponavljajoče se formule)

Ker je progresijski imenovalec -2 (Q \u003d -2), potem:

b 3. = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4. = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5. = 24 ∙ (-2) = -48.

Odgovor: b 5. = -48.

Naloga 3.

V aritmetičnem napredovanju ( a n) 74 = 34; 76. \u003d 156. Poiščite sedemdesetim članom tega napredovanja.

Za aritmetičnega napredovanja ima lastnost lastnosti obliko .

Zato:

.

Nadomestne podatke v formuli:

Odgovor: 95.

Naloga 4.

V aritmetičnem napredovanju ( a n) n \u003d 3N - 4. Poiščite vsoto sedemnajstih prvih članov.

Da bi našli vsoto Nprvih članov aritmetičnega napredovanja, se uporabljata dve formulama:

.

Kaj od njih so bolj primerne za prijavo?

Pod pogojem je znano po formuli N-WHO član začetnega napredovanja ( n.) n. \u003d 3N - 4 lahko najdete takoj in a 1., JAZ. a 16. brez ugotovitve d. Zato uporabljamo prvo formulo.

Odgovor: 368.

Naloga 5.

V aritmetičnem napredovanju ( n.) a 1. = -6; a 2. \u003d -8. Poiščite dvajset drugega člana napredovanja.

V skladu s formulo št. Članice:

22 \u003d A 1 + D (22 – 1) = a 1. + 21D.

Pod pogojem, če a 1. \u003d -6 22. \u003d -6 + 21D. Potrebno je najti razliko v napredovanju:

d \u003d. a 2 - A 1 = -8 – (-6) = -2

22. = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Odgovor: 22. = -48.

Naloga 6.

Zabeleženih je več zaporednih članov geometrijskega napredovanja:

Poiščite člana napredovanja, označenega s črko X.

Pri reševanju uporabljamo formulo N-SA b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 Za geometrijske napredovanje. Prvi član napredovanja. Če želite najti imenovalca napredovanja Q, morate vzeti vse podatke o napredovanju napredovanja in razdeliti v prejšnji. V našem primeru lahko vzamete in razdelite. Dobimo to q \u003d 3. namesto n v formuli, smo nadomestili 3, saj je treba najti tretji izraz, ki ga daje geometrijski napredovanje.

Namestitev najdenih vrednosti v formuli, dobimo:

.

Odgovor :.

Naloga 7.

Iz aritmetičnega napredka, ki je bil podan s formulo N-TH člana, izberite tistega, za katerega se pogoj izvede a 27. > 9:

Ker je treba določiti pogoj izvesti za 27. člana napredovanja, bomo nadomestili 27 namesto n v vsako od štirih napredovanja. V 4. napredovanju dobimo:

.

Odgovor: 4.

Naloga 8.

V aritmetičnem napredovanju a 1. \u003d 3, D \u003d -1.5. Navedite največja vrednost n, za katero se izvede neenakost n. > -6.