Glavne lastnosti nedoločenih in definiranih integralov. Najpreprostejše lastnosti integralov. Invarianca integracijskih oblik

Te lastnosti se uporabljajo za izvajanje integralnih transformacij, da bi jo pripeljali na enega od osnovnih integralov in nadaljnjega računanja.

1. Derivat nedoločenega integrala je enak funkciji integranda: \\ t

2. Razlika nedoločenega integrala je enaka začetnemu izrazu:

3. Indefinitni integral iz diferenciala neke funkcije je enak vsoti te funkcije in poljubnega konstanta:

4. Stalni multiplikator se lahko izvede za integralni znak:

In ≠ 0

5. Integral vsote (razlika) je enak znesku (razlika) integralov:

6. Lastnost je kombinacija lastnosti 4 in 5:

In a ≠ 0 b ≠ 0

7. Lastnost nespremenjenosti nedoločenega integrala: \\ t

Če, potem

8. Nepremičnina:

Če, potem

Pravzaprav je ta lastnost posebna integracijska primer z uporabo spremenljive zamenjave metode, ki je podrobneje opisana v naslednjem razdelku.

Razmislite o primeru:

Sprva smo uporabili nepremičnino 5, nato posest 4, nato pa je uporabil tabelo primitivnega in pridobljenega rezultata.

Algoritem naših spletnih kalkulatorskih integralov podpira vse zgoraj navedene lastnosti in bo zlahka našla podrobno rešitev za vaš integral.

V tem članku navajamo osnovne lastnosti določenega integrala. Večina teh nepremičnin se izkaže na podlagi konceptov določenega integrala Riemann in Darbu.

Izračun posebnega integrala se zelo pogosto izvaja z uporabo prvih petih lastnosti, zato se jim bomo po potrebi sklicevali nanje. Preostale lastnosti določenega integrata se večinoma uporabljajo za ocenjevanje različnih izrazov.

Pred selitvijo na glavne lastnosti določenega integrala, Strinjamo se, da A ne presega b.

Za funkcijo Y \u003d F (X), ki je definirana pri X \u003d A, je enakost poštena.

To pomeni, da je vrednost posebnega integrala s meje naključja integracije nič. Ta lastnost je posledica določanja celovitega Riemanna, saj je v tem primeru vsak celovit znesek za kakršno koli partijo vrzeli in kakršno koli izbiro točk nič, ker je zato ocena integralnih zneskov nič.

Za funkcijo, ki je integrirana na segmentu, se izvede .

Z drugimi besedami, ko spreminjajo zgornje in spodnje meje integracije na mestih, vrednost posebnih integralnih sprememb v nasprotno. Ta lastnost posebnega integrala izhaja tudi iz koncepta Riemann Integral, samo oštevilčenje delitve segmenta je treba začeti s točko X \u003d b.

Za integrirano na segmentu funkcij y \u003d f (x) in y \u003d g (x).

Dokaz.

Napišemo integrirano količino funkcije Za to delitev segmenta in ta izbor točk:

Kje in so sestavni zneski funkcij y \u003d f (x) in y \u003d g (x) za to delitev segmenta.

Premikanje na mejo, ko Dobimo, da je po definiciji Riemann Integral enakovreden odobritvi dokazanih lastnosti.

Stalni multiplikator se lahko vzame iz določenega znaka. To pomeni, da je funkcija, ki je integrirana na segment Y \u003d F (X) in poljubno število K, je enakost .

Dokazilo o tej lastnini posebnega integrala je popolnoma podobno prejšnjemu:


Pustite funkcijo Y \u003d F (x) integrirano na intervalu X, in in potem .

Ta lastnost je poštena tako za Or.

Dokaz se lahko izvede z zanašanjem na prejšnje lastnosti določenega integrala.

Če je funkcija integrirana na segment, je integrirana in na katerem koli notranjem segmentu.

Dokaz temelji na lastnini Darbouxa: Če na obstoječo delitev segmenta dodate nove točke, se nižja količina Darboux ne bo zmanjšala, zgornja pa se ne bo povečala.

Če je funkcija Y \u003d f (x) integrirana na segment in za vsako vrednost argumenta, potem .

Ta nepremičnina se dokaže z določitvijo Riemann Integral: Vsak celovit znesek za vsako izbiro ločenih točk segmenta in točk bo ne-negativna (ne pozitivna).

Posledica.

Za integrirano na segmentu funkcij y \u003d f (x) in y \u003d g (x) so neenakosti veljavne: \\ t


Ta izjava pomeni, da je dovoljeno vključiti neenakosti. To posledično bomo uporabili pri dokazilu o naslednjih lastnostih.

Naj funkcija Y \u003d F (x) integrira na segment, potem je neenakost resnična .

Dokaz.

Očitno je, da je to . V prejšnji lastnini smo ugotovili, da je mogoče do sedaj integrirati neenakost, tako da . Ta dvojna neenakost je mogoče napisati kot .

Pustite funkcije y \u003d f (x) in y \u003d g (x) integrirane na segmentu in za vsako vrednost argumenta, nato pa kje in.

Podobno se izvede dokaz. Ker sta M in M \u200b\u200bnajmanjša in najpomembnejša vrednost funkcije Y \u003d F (x) na segmentu, potem . Dočasnost dvojne neenakosti na nekonkativni funkciji Y \u003d g (x) nas pripelje do naslednje dvojne neenakosti. Vključevanje na segment, bomo prišli do dokazane izjave.

Posledica.

Če vzamete g (x) \u003d 1, bo neenakost vzela obliko .

Prva srednja formula.

Naj funkcija Y \u003d F (x) integrira na segment, In, potem je taka številka .

Posledica.

Če je funkcija Y \u003d F (X) neprekinjena na segmentu, potem je taka številka .

Prva formula povprečne vrednosti v splošni obliki.

Pustite funkcije y \u003d f (x) in y \u003d g (x) integrirane na segmentu, In g (x)\u003e 0 za vsako vrednost argumenta. Potem je taka številka .

Druga formula povprečja.

Če je na segmentu funkcija y \u003d f (x) integrable, in y \u003d g (x) monotonne, potem je taka številka enaka .

Rešitev integralov je naloga svetloba, vendar samo za izvolitev. Ta članek je namenjen tistim, ki se želijo naučiti razumeti integrate, vendar ne ve, kaj o njih ali skoraj nič. Integral ... zakaj je to potrebno? Kako ga izračunati? Kaj je določen in nedoločen integral?

Če vam je edina integralna aplikacija, ki je znana, je, da dobite kvačkanje v obliki integralne ikone, kar je koristno od težko dostopnih mest, nato pa dobrodošli! Več o tem, kako rešiti najpreprostejše in druge integrale in zakaj brez njega je nemogoče narediti v matematiki.

Študiramo koncept « integral. »

Integracija je bila znana v starem Egiptu. Seveda, ne v sodobni obliki, ampak še vedno. Od takrat je matematika napisala veliko knjig na to temo. Še posebej razlikujejo Newton. in Leibints. Toda bistvo stvari se ni spremenilo.

Kako razumeti integrate iz nič? Na noben način! Da bi razumeli to temo, bo še vedno potrebno osnovno znanje temeljev matematične analize. Informacije o potrebnih in za razumevanje integralov, smo že v našem blogu.

Negotov integral

Naj imamo nekakšno funkcijo f (x) .

Negotovo integralno funkcijo f (x) Ta funkcija se imenuje F (x) , katerega derivat je enak funkciji f (x) .

Z drugimi besedami, integral je izvedeni finančni instrument nasprotljivo ali primitivno. Mimogrede, kako brati v našem članku.

Obstaja za vse neprekinjene funkcije. Tudi stalni znak se pogosto doda primarni, saj se izvedeni finančni instrumenti razlikujejo v stalni sovpadanju. Postopek iskanja integral se imenuje integracija.

Preprost primer:

Nenehno ne izračunati primitivnih osnovnih funkcij, je primerno, da jih vozite v tabelo in uporabite pripravljene vrednosti.

Popolne integrale tabel za študente

Določen integral

Ob dogovoru s konceptom integrala se ukvarjamo z neskončno majhnimi vrednotami. Integral bo pomagal izračunati figure slike, mase nehomogenega telesa, posredovana pod neenakomerno potjo gibanja in še veliko več. Ne smemo pozabiti, da je integral vsota neskončno velikega števila neskončno majhnih izrazov.

Kot primer si zamislite urnik neke funkcije.

Kako najti območje številk, ki jih omejuje graf funkcije? S pomočjo integrala! Razdelimo curvilinear trapez, omejeno z koordinatnih osi in graf funkcije, na neskončno majhnih segmentih. Tako bo številka razdeljena na tanke stebre. Vsota območja stolpcev bo območje trapez. Ampak ne pozabite, da bo takšen izračun dal zgleden rezultat. Vendar pa bodo manjši segmenti že, bolj natančen bo izračun. Če jih znižamo v takšnem obsegu, da bo dolžina prizadevala za nič, se bo obseg segmentov prizadeval za območje slike. To je poseben integral, ki je napisan na naslednji način:

Točke A in B se imenujejo omejitve integracije.

« Integral. »

Mimogrede! Za naše bralce je zdaj 10% popust

Pravila za izračun integralov za lutke

Lastnosti negotovega integrala

Kako rešiti nedoločen integral? Tu bomo upoštevali lastnosti negotovega integralnega, ki bo koristna pri reševanju primerov.

• Derivat celovitega je enak funkciji integranda:

• Stalna je lahko iz znaka integrala:

• Integral iz zneska je enak količini integralov. Tudi za razliko:

Lastnosti določenega integrala

• Linearnost:

• Integral znak se spremeni, če se omejitve integracije zamenjajo:

• Za kaj Točke a., b. in od:

Ugotovili smo, da je določen integral meja zneska. Toda kako dobiti določeno vrednost pri reševanju primera? Za to je newton-leibninska formula:

Primeri rešitev integralih

Spodaj bo pogledal nedoločen integralni in primere z raztopino. Predlagamo, da neodvisno razumemo razdelke raztopine, in če je nekaj nerazumljivo, postavljajte vprašanja v pripombah.

Za zagotovitev materiala si oglejte videoposnetek o tem, kako so v praksi rešeni integrali. Ne obupajte, če se integral ne daje takoj. Za študente se obrnite na svoje strokovne storitve, in vsaka trojna ali ukrivljena integralna integralna na zaprti površini bo postala sila.

Ta članek podrobno pove osnovne lastnosti določenega integrala. Pokazali so jih koncept integrala Riemann in Darbu. Izračun določenih integralnih prehodov, zahvaljujoč 5 lastnostim. Preostala se uporabljajo za ocenjevanje različnih izrazov.

Preden se premaknete na glavne lastnosti določenega integrala, je treba zagotoviti, da A ne presega b.

Glavne lastnosti določenega integrala

Funkcija Y \u003d F (X), opredeljena pri X \u003d A, podobna pravični enakosti ∫ A F (X) D X \u003d 0.

Dokaz 1.

Od tu vidimo, da je integralna vrednost s sovpadnimi mejami nič. To je posledica Riemann Integral, ker je vsaka integralna vsota Σ za vsako particijo v intervalu [A; A] in vsak izbor točk ζ I je nič, ker X I-X I - 1 \u003d 0, I \u003d 1, 2 ,. . . , n, to pomeni, da dobimo, da je meja integralnih funkcij nič.

Opredelitev 2.

Za funkcijo, ki je integrirana na segment [A; b], stanje ∫ a b f (x) d x \u003d - ∫ b f (x) d X je izpolnjen.

Dokaz 2.

Z drugimi besedami, če spremenite zgornjo in spodnjo mejo integracije na mestih, bo integralna vrednost spremenila vrednost na nasprotno. Ta lastnost je vzeta iz integrala Riemanna. Vendar pa je oštevilčenje delitve segmenta izhaja iz točke X \u003d b.

Opredelitev 3.

∫ a b f x ± g (x) d x \u003d ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x se uporablja za integrable funkcije, kot so y \u003d f (x) in y \u003d g (x), ki je definiran na segmentu [A; A; b].

Dokaz 3.

Snemanje integrirane vsote funkcije y \u003d f (x) ± g (x), da se razdelite v segmente z določeno izbiro točk ζ I: σ \u003d σ i \u003d 1 nf ζ i ± g ζ i · xi - xi - 1 \u003d \u003d Σ i \u003d 1 nf (ζ i) · xi - xi - 1 ± σ i \u003d 1 ng ζ i · xi - xi - 1 \u003d σ f ± σ g

kjer je σ f in σ g integralne vsote funkcij Y \u003d f (x) in y \u003d g (x), da se razdelite na segment. Po prehodu na mejo pri λ \u003d m a x i \u003d 1, 2,. . . , N (X I - X I - 1) → 0 Dobimo tisto LIM λ → 0 Σ \u003d LIM λ → 0 Σ F ± Σ G \u003d LIM λ λ → 0 Σ g ± lim λ → 0 σ g.

Iz opredelitve Riemanna je ta izraz enakovreden.

Opredelitev 4.

Doseganje stalnega faktorja za znak določenega integrala. Integrable funkcija iz intervala [A; b] S poljubno vrednost K ima pošteno neenakost obrazca ∫ a b k · f (x) d x \u003d k ∫ a b f (x) d x.

Dokaz 4.

Dokazilo o lastnostih določenega integralnega podobno od prejšnje:

Σ \u003d σ i \u003d 1 nk · f ζ i · (xi - xi - 1) \u003d k σ i \u003d 1 nf ζ i · (xi - xi - 1) \u003d k σ f ⇒ lim λ → 0 σ \u003d lim Λ → 0 (k Σ f) \u003d k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk · f (x) dx \u003d k ∫ abf (x) dx

Opredelitev 5.

Če je funkcija obrazca Y \u003d F (X) integrirana na interval X z ∈ X, B ∈ X, dobimo to ∫ ABF (X) DX \u003d ∫ ACF (X) DX + ∫ CBF (X) D x.

Dokaz 5.

Nepremičnina velja za C ∈ A; B, za C ≤ A in C ≥ b. Dokaz se izvaja podobno kot prejšnje lastnosti.

Opredelitev 6.

Ko je funkcija možnost, da se integrira iz segmenta [A; b], potem se opravi za vsak notranji segment C; D ∈ A; b.

Dokaz 6.

Dokaz temelji na lastnosti Darbé: Če se doda obstoječa delitev segmenta, da dodate točke, potem se nižja količina Darboux ne bo zmanjšala, zgornja pa se ne bo povečala.

Opredelitev 7.

Ko je funkcija integrirana na [A; b] iz f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pri vsakem pomenu x ∈ a; b, nato dobimo to ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

Premoženje se lahko dokaže z uporabo določitve riemann integral: vse celovito količino za vsako izbiro ločevalnih točk segmenta in točk ζ i s pogojem, da f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0, dobimo nekonciven .

Dokaz 7.

Če so funkcije y \u003d f (x) in y \u003d g (x) integrirane na segmentu [A; B], potem se naslednje neenakosti štejejo za poštene: \\ t

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, e s l in f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, e s l in f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; B.

Zahvaljujoč izjavi, vemo, da je integracija dopustna. Ta preiskava bo uporabljena pri dokazilih o drugih lastnostih.

Opredelitev 8.

Z integrable funkcijo y \u003d f (x) iz segmenta [A; b] Imamo pošteno neenakost obrazca ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Dokaz 8.

Imamo to - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). Iz prejšnje lastnine je bilo pridobljeno, da se lahko neenakost integrira in ustreza neenakosti obrazca - ∫ a b f (x) D X ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x. Ta dvojna neenakost se lahko zabeleži v drugi obliki: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Opredelitev 9.

Ko so funkcije y \u003d f (x) in y \u003d g (x) integrirane iz segmenta [A; b] za g (x) ≥ 0 pri katerem koli X ∈ A; B, smo dobili neenakost obrazca m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ m · ∫ a b g (x) d x, kjer je m \u003d m i n x ∈ a; a; b f (x) in m \u003d m a x x ∈ a; B f (x).

Dokaz 9.

Podobno dokaz je dokaz. M in M \u200b\u200bse štejeta največja in najmanjša vrednost funkcije Y \u003d F (X), določena iz segmenta [A; b], potem m ≤ f (x) ≤ m. Potrebno je pomnožiti dvojno neenakost na funkcijo y \u003d g (x), ki bo dala vrednost dvojne neenakosti obrazca m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ m · g ( (x). Treba je vključiti na segment [A; B], potem bomo dobili dokazano izjavo.

Posledica: Na g (x) \u003d 1, neenakost ima obrazec M · B - A ≤ ∫ A B F (X) D X ≤ M · (B - A).

Prva srednja formula

Pri y \u003d f (x), ki je integrirana na segment [A; b] z m \u003d m i n x ∈ a; b f (x) in m \u003d m a x x ∈ a; b f (x) je število μ ∈ m; M, ki je primerna za ∫ a b f (x) d x \u003d μ μ · b - a.

Posledica: Ko je funkcija Y \u003d F (X) neprekinjena od segmenta [A; B], potem je taka številka C ∈ A; b, ki izpolnjuje enakost ∫ a b f (x) d x \u003d f (c) · b - a.

Prva srednja formula v splošni formuli

Ko so funkcije y \u003d f (x) in y \u003d g (x) integrirane iz segmenta [A; b] z m \u003d m i n x ∈ a; b f (x) in m \u003d m a x x ∈ a; b f (x), in g (x)\u003e 0 za vse po pomenu x ∈ a; b. Od tu imamo, da je številka μ ∈ m; M, ki izpolnjuje enakost ∫ a b f (x) · g (x) d x \u003d μ μ ∫ a b g (x) d x.

Druga srednja formula

Ko je funkcija y \u003d f (x) integrirana od segmenta [A; b], in y \u003d g (x) je monotona, potem je številka, ki c ∈ a; B, kjer smo dobili pošteno enakost obrazca ∫ a b f (x) · g (x) d x \u003d g (a) · ∫ c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Funkcija napolnjene in nedoločen integral

Dejstvo 1. Integracija - Akcija, inverzna diferenciacija, in sicer obnovitev funkcije v skladu z znanim derivatom te funkcije. Obnovljena funkcija F.(x.) predo-oblikovan Za funkcijo f.(x.).

Opredelitev 1. Funkcija F.(x. f.(x.) v določenem intervalu X.Če za vse vrednosti x. Enakost se izvaja iz te vrzeli F. "(x.)=f.(x.), to je ta funkcija f.(x.) je derivat primitivne funkcije F.(x.). .

Na primer, funkcija F.(x.) \u003d Greh. x. je primarna funkcija f.(x.) \u003d Cos. x. na celotni numerični naravnost, saj z vsako vrednostjo IKSA (Sin. x.) "\u003d (Cos x.) .

Opredelitev 2. Negotovo integralno funkcijo f.(x.) Imenuje se celotno vse svoje primitivne. To uporablja snemanje

∫

f.(x.)dx.

kjer je znak ∫ imenovan integralni znak, funkcija f.(x.) - nadomestno funkcijo in f.(x.)dx. - konkreten izraz.

Torej, če. F.(x.) - nekakšno primarno za f.(x.), T.

∫

f.(x.)dx. = F.(x.) +C.

kje C. - samovoljna konstanta (stalna).

Da bi razumeli pomen številnih primitivnih funkcij kot nedoločen integral, je primerna naslednja analogija. Naj bo vrata (tradicionalna lesena vrata). Njegova funkcija je "biti vrata". In kaj so vrata? Iz lesa. Zato je množica primitivne integrirane funkcije "Biti vrata", to je nedoločen integral, je funkcija "Biti + C", kjer je C sta konstanta, ki v tem kontekstu lahko na primer navede, na primer drevo lesa. Tako kot so vrata izdelana iz lesa z uporabo nekaterih orodij, derivat funkcije "izdelane" iz primitivne funkcije z formule, ki smo jih naučili s proučevanjem derivata .

Nato tabelo funkcij skupnih predmetov in ustrezni primitivni ("biti vrat" - "biti drevo", "biti žlica" - "biti kovine", itd) je podobna tabeli glavnih nedoločenih integralov , ki bo nekoliko prikazana spodaj. Tabela negotovih integralov navaja skupne funkcije z navedbo prvobitosti, od katerih so te funkcije. V zvezi z nalogami, da bi našli nedoločen integral, so taki celovitelji, ki se brez posebne gravitacije lahko neposredno integrira, to je na tabeli negotovih integralov. V nalogah je treba pretvoriti nalog v pretvorbo, da lahko uporabite tabele integrals.

Dejstvo 2. Obnovitev funkcije kot primitivne, moramo upoštevati poljubno konstantno (stalno) C., da ne napisati seznama primitivnih z različnimi konstantami od 1 do neskončnosti, morate zabeležiti številne primitivne s samovoljno konstanto C.Na primer, kot sledi: 5 x.³ + str. Torej, samovoljna konstanta (konstantna) vstopi v izraz primitivne, saj je primitivna lahko funkcija, na primer, 5 x.³ + 4 ali 5 x.³ + 3 in z diferenciacijo 4 ali 3 ali katera koli druga konstanta se nanese na nič.

Naloga integracije bomo postavili: za to funkcijo f.(x.) poiščite takšno funkcijo F.(x.), derivat. \\ T enako f.(x.).

Primer 1.Poiščite različne funkcije

Sklep. Za to funkcijo je funkcija funkcija

Funkcija F.(x.) imenovano primitivno za funkcijo f.(x.), če je derivat F.(x.) Enako f.(x.), ali to enako, diferencial F.(x.) Raven. f.(x.) dx..

(2)

Posledično je funkcija primitivna za funkcijo. Vendar pa ni edina primarna za. Služijo tudi kot funkcije

kje Od - samovoljna konstanta. To je mogoče videti razlikovati.

Torej, če obstaja ena prva primarna za funkcijo, potem ima neskončno množico primitivne, ki se razlikuje v trajnem obdobju. Vse primarne funkcije so napisane v zgornji obliki. To sledi iz naslednjega izreka.

Teorem (formalna izjava o dejstvih 2).Če F.(x.) - velja za funkcijo f.(x.) v določenem intervalu H., potem vse druge primitivne za f.(x.) Na isti vrzeli je mogoče predstaviti v obliki F.(x.) + C.kje Od- samovoljna konstanta.

V naslednjem primeru se že pritožimo na integralno tabelo, ki bo navedena v odstavku 3, po lastnosti nedoločenega integrala. To naredimo pred seznanjanjem s celotno tabelo, tako da se razume bistvo zgoraj navedenega. In po tabeli in lastnostih jih bomo uporabili pri vključevanju v vse polnosti.

Primer 2.Poiščite več funkcij:

Sklep. Našli smo sklope primitivnih funkcij, od katerih so "te funkcije". Ko omenjamo formule iz integralne tabele, preprosto sprejmite, da obstajajo takšne formule, in preučili bomo tabelo negotovih integralov, da ste popolnoma še naprej.

1) Uporaba formule (7) iz integralne tabele z n. \u003d 3, dobimo

2) s formulo (10) iz integralne tabele z n. \u003d 1/3, imamo

3)

potem s formulo (7), ko n. \u003d -1/4 Najdi

Pod znakom integralnega pisanja ne funkcijo f. in njeno delo na diferencialu dx. . To se izvaja predvsem, da bi navedli, katero spremenljivko išče primitivno. Na primer,

, ;

tu je v obeh primerih funkcija integranda enaka, vendar so njegovi nedoločeni integrali v obravnavanih primerih različni. V prvem primeru se ta funkcija šteje za funkcijo spremenljivke x. in v drugem - kot funkcija od z. .

Postopek iskanja nedoločevalne integralne funkcije se imenuje vključevanje te funkcije.

Geometrijski pomen nedoločen integral

Naj bo treba najti krivuljo y \u003d f (x) In že vemo, da je tangenta nagibnega kota na vsaki točki določena funkcija f (x) Izvzame te točke.

Po geometrijskem pomenu izvedenega finančnega instrumenta, na tem mestu na tem mestu krivulje y \u003d f (x) enaka vrednosti derivata F "(x). Torej morate najti takšno funkcijo F (x), za katero F "(x) \u003d f (x). Potrebna je funkcija v opravilu F (x) je primarna f (x). Pogoj problema zadovolji ne eno krivuljo, ampak družina krivulj. y \u003d f (x) - Ena od takih krivulj in vsaka druga krivulja je mogoče dobiti od njenega vzporednega prenosa vzdolž osi Oy..

Pokličimo graf primitivne funkcije f (x) Integralna krivulja. Če F "(x) \u003d f (x)Nato graf funkcije y \u003d f (x) Obstaja integralna krivulja.

Dejstvo 3. Negoben integral je geometrijsko predstavljen s sedmimi vsemi integriranimi krivuljami Kot na spodnji sliki. Oddaljenost vsake krivulje od začetka koordinat je določena z poljubno konstantno (konstantno) integracijo C..

Lastnosti nedoločenega integrala

Dejstvo 4. TEOREM 1. Derivat nedoločenega integrala je enak funkciji integranda, njegova diferencial pa je izvorni izraz.

Dejstvo 5. Teorem 2. Neizpostavljen integral iz diferencialne funkcije f.(x.) Enaka funkcija f.(x.) s točnostjo trajnega mandata .

(3)

Teoremi 1 in 2 kažejo, da se diferenciacija in integracija medsebojno obračata.

Dejstvo 6. TEOREM 3. Konstantni multiplikator v integrandu je mogoče izdelati za znak nedoločenega integrala .