Cum se scrie soluția generală a unui sistem de ecuații liniare. Caracteristici generale ale sistemului de ecuații rezolvate. Sistem de ecuații liniare cu trei variabile

Cu toate acestea, în practică, încă două cazuri sunt larg răspândite:

– Sistemul este inconsecvent (nu are soluții);
– Sistemul este consistent și are infinite de soluții.

Nota : Termenul „coerență” implică faptul că sistemul are cel puțin o soluție. Într-o serie de probleme, este necesar să examinați mai întâi sistemul pentru a verifica cum se face acest lucru, consultați articolul despre; rangul matricelor.

Pentru aceste sisteme, se utilizează cea mai universală dintre toate metodele de soluție - metoda gaussiana. De fapt, metoda „școală” va duce și ea la răspuns, dar în matematica superioară se obișnuiește să se folosească metoda Gaussiană de eliminare secvențială a necunoscutelor. Cei care nu sunt familiarizați cu algoritmul metodei Gauss, vă rugăm să studiați mai întâi lecția Metoda gaussiană pentru manechine.

Transformările matriceale elementare în sine sunt exact aceleași, diferența va fi în finalul soluției. Mai întâi, să ne uităm la câteva exemple când sistemul nu are soluții (inconsecvente).

Exemplul 1

Ce vă atrage imediat atenția despre acest sistem? Numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Dacă numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile, atunci putem spune imediat că sistemul fie este inconsecvent, fie are infinite de soluții. Și tot ce rămâne este să afli.

Începutul soluției este complet obișnuit - notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă treptată:

(1) Pe pasul din stânga sus trebuie să obținem +1 sau –1. Nu există astfel de numere în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va face nimic. Unitatea va trebui să se organizeze singură, iar acest lucru se poate face în mai multe moduri. Am făcut asta: la prima linie adăugăm a treia linie, înmulțită cu -1.

(2) Acum obținem două zerouri în prima coloană. La a doua linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 5.

(3) După ce transformarea a fost finalizată, este întotdeauna recomandabil să vedem dacă este posibilă simplificarea șirurilor rezultate? Can. Împărțim a doua linie la 2, obținând în același timp –1 necesar la a doua treaptă. Împărțiți a treia linie cu –3.

(4) Adăugați a doua linie la a treia linie.

Probabil că toată lumea a observat linia proastă care a rezultat din transformările elementare: . Este clar că nu poate fi așa. Într-adevăr, să rescriem matricea rezultată înapoi la sistem ecuații liniare:

Dacă, în urma transformărilor elementare, se obține un șir de formă, unde este un număr altul decât zero, atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții).

Cum să notezi sfârșitul unei sarcini? Să desenăm cu cretă albă: „ca urmare a transformărilor elementare, se obține un șir de forma , unde ” și dăm răspunsul: sistemul nu are soluții (inconsecvente).

Dacă, conform condiției, este necesară CERCETAREA sistemului pentru compatibilitate, atunci este necesar să se oficializeze soluția într-un stil mai solid folosind conceptul rangul matricei și teorema Kronecker-Capelli.

Vă rugăm să rețineți că aici nu există o inversare a algoritmului gaussian - nu există soluții și pur și simplu nu există nimic de găsit.

Exemplul 2

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Vă reamintesc din nou că soluția dvs. poate diferi de soluția mea, algoritmul gaussian nu are o „rigiditate” puternică.

încă unul caracteristica tehnica soluții: transformările elementare pot fi oprite imediat, de îndată ce o linie ca , unde . Să luăm în considerare un exemplu condiționat: să presupunem că după prima transformare se obține matricea . Matricea nu a fost încă redusă la formă eșalonată, dar nu este nevoie de alte transformări elementare, deoarece a apărut o linie a formei, unde . Răspunsul trebuie dat imediat că sistemul este incompatibil.

Când un sistem de ecuații liniare nu are soluții, acesta este aproape un cadou, datorită faptului că se obține o soluție scurtă, uneori literalmente în 2-3 pași.

Dar totul în această lume este echilibrat, iar o problemă în care sistemul are infinit de soluții este doar mai lungă.

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Există 4 ecuații și 4 necunoscute, deci sistemul poate fie să aibă o singură soluție, fie să nu aibă soluții, fie să aibă infinite de soluții. Oricum ar fi, metoda gaussiană ne va conduce în orice caz la răspuns. Aceasta este versatilitatea sa.

Începutul este din nou standard. Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Asta e tot și ți-a fost frică.

(1) Vă rugăm să rețineți că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2, deci 2 este bine în treapta din stânga sus. La a doua linie adăugăm prima linie, înmulțită cu –4. La a treia linie adăugăm prima linie, înmulțită cu –2. La a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu –1.

Atenţie! Mulți pot fi tentați de a patra linie scădea prima linie. Acest lucru se poate face, dar nu este necesar, experiența arată că probabilitatea unei erori în calcule crește de mai multe ori. Doar adăugați: la a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu –1 – exact asa!

(2) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele pot fi șterse.

Aici trebuie să arătăm din nou atenție sporită , dar liniile sunt într-adevăr proporționale? Pentru a fi în siguranță (în special pentru un ceainic), ar fi o idee bună să înmulțiți a doua linie cu –1 și să împărțiți a patra linie cu 2, rezultând trei linii identice. Și numai după aceea eliminați două dintre ele.

Ca rezultat al transformărilor elementare, matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte:

Când scrieți o sarcină într-un caiet, este recomandabil să faceți aceleași note în creion pentru claritate.

Să rescriem sistemul de ecuații corespunzător:

Nu există un miros de soluție unică „obișnuită” a sistemului aici. Nu există nici o linie proastă. Aceasta înseamnă că acesta este al treilea caz rămas - sistemul are infinite de soluții. Uneori, în funcție de condiție, este necesar să se investigheze compatibilitatea sistemului (adică să se demonstreze că există o soluție), puteți citi despre acest lucru în ultimul paragraf al articolului Cum se află rangul unei matrice? Dar deocamdată să trecem peste elementele de bază:

Un set infinit de soluții la un sistem este scris pe scurt sub forma așa-numitului solutie generala a sistemului .

Găsim soluția generală a sistemului folosind inversul metodei gaussiene.

Mai întâi trebuie să definim ce variabile avem de bază, și ce variabile gratuit. Nu trebuie să vă deranjați cu termenii algebră liniară, amintiți-vă că există așa ceva variabile de bazăŞi variabile libere.

Variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei.
În acest exemplu, variabilele de bază sunt și

Variabilele gratuite sunt totul ramanand variabile care nu au primit un pas. În cazul nostru există două dintre ele: – variabile libere.

Acum ai nevoie Toate variabile de bază expres numai prin variabile libere.

Reversul algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de jos în sus.
Din a doua ecuație a sistemului exprimăm variabila de bază:

Acum uitați-vă la prima ecuație: . Mai întâi înlocuim expresia găsită în ea:

Rămâne să exprimăm variabila de bază în termeni de variabile libere:

Până la urmă am primit ceea ce ne trebuia - Toate sunt exprimate variabilele de bază ( și ). numai prin variabile libere:

De fapt, soluția generală este gata:

Cum se scrie corect soluția generală?
Variabilele libere sunt scrise în soluția generală „de la sine” și strict la locul lor. În acest caz, variabilele libere ar trebui scrise în pozițiile a doua și a patra:
.

Expresiile rezultate pentru variabilele de bază și, evident, trebuie scris în prima și a treia poziție:

Oferirea de variabile libere valori arbitrare, puteți găsi infinit de multe solutii private. Cele mai populare valori sunt zerourile, deoarece soluția particulară este cea mai ușor de obținut. Să înlocuim în soluția generală:

– soluție privată.

O altă pereche dulci sunt cele, să le înlocuim în soluția generală:

– o altă soluție privată.

Este ușor de observat că sistemul de ecuații are infinit de solutii(deoarece putem da variabile libere orice valori)

Fiecare soluția particulară trebuie să satisfacă tuturor ecuația sistemului. Aceasta este baza pentru o verificare „rapidă” a corectitudinii soluției. Luați, de exemplu, o anumită soluție și înlocuiți-o în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului original:

Totul trebuie să vină împreună. Și cu orice soluție specială pe care o primiți, totul ar trebui să fie de asemenea de acord.

Dar, strict vorbind, verificarea unei anumite soluții este uneori înșelătoare, adică. o anumită soluție poate satisface fiecare ecuație a sistemului, dar soluția generală în sine este de fapt găsită incorect.

Prin urmare, verificarea soluției generale este mai amănunțită și mai fiabilă. Cum se verifică soluția generală rezultată ?

Nu este dificil, dar destul de plictisitor. Trebuie să luăm expresii de bază variabile, în acest caz și , și înlocuiți-le în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului.

În partea stângă a primei ecuații a sistemului:

În partea stângă a celei de-a doua ecuații a sistemului:


Se obține partea dreaptă a ecuației inițiale.

Exemplul 4

Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană. Găsiți soluția generală și două soluții particulare. Verificați soluția generală.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici, apropo, din nou, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, ceea ce înseamnă că este imediat clar că sistemul fie va fi inconsecvent, fie va avea un număr infinit de soluții. Ce este important în procesul decizional în sine? Atenție și iar atenție. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și încă câteva exemple pentru a consolida materialul

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de ecuații liniare. Dacă sistemul are infinit de soluții, găsiți două soluții particulare și verificați soluția generală

Soluţie: Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

(1) Adăugați prima linie la a doua linie. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 2. La a patra linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3.
(2) La a treia linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –5. La a patra linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –7.
(3) Al treilea și al patrulea rând sunt aceleași, ștergem unul dintre ele.

Aceasta este atât de frumusețe:

Variabilele de bază stau pe trepte, prin urmare - variabilele de bază.
Există o singură variabilă liberă care nu a primit un pas:

Verso:
Să exprimăm variabilele de bază printr-o variabilă liberă:
Din a treia ecuație:

Să luăm în considerare a doua ecuație și să înlocuim expresia găsită în ea:

Să luăm în considerare prima ecuație și să înlocuim expresiile găsite și în ea:

Da, un calculator care calculează fracții obișnuite este încă convenabil.

Deci solutia generala este:

Încă o dată, cum a ieșit? Variabila liberă se află singură pe locul al patrulea de drept. Expresiile rezultate pentru variabilele de bază au ocupat de asemenea locurile lor ordinale.

Să verificăm imediat soluția generală. Treaba este pentru negri, dar am făcut-o deja, așa că prindeți-o =)

Înlocuim trei eroi , , în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului:

Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare ale ecuațiilor, astfel încât soluția generală este găsită corect.

Acum din soluția generală găsită obținem două soluții particulare. Singura variabilă liberă aici este bucătarul. Nu este nevoie să-ți zgâriești mintea.

Să fie atunci – soluție privată.
Să fie atunci – o altă soluție privată.

Răspuns: Soluție generală: , soluții private: , .

N-ar fi trebuit să-mi amintesc despre negri... ...pentru că mi-au venit în minte tot felul de motive sadice și mi-am amintit de faimosul photoshop în care membrii Ku Klux Klans în robe albe aleargă pe teren după un fotbalist de culoare. Stau si zambesc linistit. Știi cât de distrag...

O mulțime de matematică este dăunătoare, deci un exemplu final similar pentru a o rezolva singur.

Exemplul 6

Găsiți soluția generală a sistemului de ecuații liniare.

Am verificat deja soluția generală, răspunsul poate fi de încredere. Soluția dvs. poate diferi de soluția mea, principalul lucru este că soluțiile generale coincid.

Mulți oameni au observat probabil un moment neplăcut în soluții: de foarte multe ori, la inversarea metodei Gauss, a trebuit să ne chinuim cu fracții obișnuite. În practică, acesta este într-adevăr cazul cazurile în care nu există fracții sunt mult mai puțin frecvente. Fii pregătit mental și, cel mai important, tehnic.

Mă voi opri asupra unor caracteristici ale soluției care nu au fost găsite în exemplele rezolvate.

Soluția generală a sistemului poate include uneori o constantă (sau constante), de exemplu: . Aici una dintre variabilele de bază este egală cu un număr constant: . Nu este nimic exotic în asta, se întâmplă. Evident, în acest caz, orice soluție anume va conține un cinci în prima poziție.

Rareori, dar există sisteme în care numărul de ecuații este mai mare decât numărul de variabile. Metoda Gaussiană funcționează în cele mai severe condiții, ar trebui să aducă calm matricea extinsă a sistemului într-o formă treptată conform algoritm standard. Un astfel de sistem poate fi inconsecvent, poate avea infinit de soluții și, în mod ciudat, poate avea o singură soluție.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect dintr-un curs de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii se rezumă la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• ridica metoda optima soluții la sistemul dumneavoastră de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare luând în considerare soluții detaliate la exemple și probleme tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile, conceptele necesare și introducem notații.

În continuare, vom lua în considerare metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, ne vom concentra pe metoda lui Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării secvențiale a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în moduri diferite.

După aceasta, vom trece la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare vedere generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară. Să formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (dacă sunt compatibile) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Ne vom opri cu siguranță asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a unui SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, vom lua în considerare sisteme de ecuații care pot fi reduse la cele liniare, precum și diverse probleme în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unele numere reale sau complexe), - termeni liberi (și numere reale sau complexe).

Această formă de înregistrare SLAE se numește coordona.

ÎN formă matriceală Scrierea acestui sistem de ecuații are forma,
Unde - matricea principală a sistemului, - o matrice coloană de variabile necunoscute, - o matrice coloană de termeni liberi.

Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, o matrice extinsă este desemnată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată printr-o linie verticală de coloanele rămase, adică

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute devine, de asemenea, o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă un sistem de ecuații nu are soluții, atunci se numește nearticulată.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - nesigur.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, altfel - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații ale unui sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de SLAE vor fi numite elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE-uri în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și - determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu această notație, variabilele necunoscute sunt calculate folosind formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Exemplu.

metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Să calculăm determinantul acestuia (dacă este necesar, vezi articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Să compunem și să calculăm determinanții necesari (obținem determinantul prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de termeni liberi, determinantul prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de termeni liberi și prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de termeni liberi) :

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații din sistem este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei (folosind o matrice inversă).

Fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice, unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă. Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu stânga, obținem o formulă pentru găsirea unei matrice-coloană de variabile necunoscute. Așa am obținut o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

Deoarece

atunci SLAE poate fi rezolvat folosind metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice din complementele algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse la o coloană-matrice de membri liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Principala problemă la găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât treimea.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi x 1 este exclus din toate ecuaţiile sistemului, începând cu a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuaţiile, începând cu a treia, şi tot aşa, până când doar variabila necunoscută x n rămâne în ultima ecuație. Acest proces de transformare a ecuațiilor unui sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește folosind metoda Gaussiană directă. După finalizarea cursei înainte a metodei gaussiene, se găsește x n din ultima ecuație, folosind această valoare din penultima ecuație, se calculează x n-1 și așa mai departe, se află x 1 din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin interschimbarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3 și acționăm în mod similar cu partea din sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum eliminăm x 2 din a treia ecuație adunând la laturile sale stânga și dreapta laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Aceasta completează cursa înainte a metodei Gauss; începem cursa inversă.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și, prin urmare, completăm inversul metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și singulară.

Teorema Kronecker–Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este inconsecvent este dat de Teorema Kronecker–Capelli:
Pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică , Rang(A)=Rang(T).

Să luăm în considerare, ca exemplu, aplicarea teoremei Kronecker–Capelli pentru a determina compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să ne uităm la minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta:

Deoarece toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, rangul matricei principale este egal cu doi.

La rândul său, rangul matricei extinse este egal cu trei, întrucât minorul este de ordinul trei

diferit de zero.

Astfel, Rang(A), prin urmare, folosind teorema Kronecker–Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Sistemul nu are soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența unui sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești o soluție la un SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de o teoremă despre rangul unei matrice.

Se numește minorul de ordinul cel mai înalt al matricei A, diferit de zero de bază.

Din definiția unei baze minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero pot exista mai multe baze minore, există întotdeauna o bază minoră.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece sunt diferit de zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este egal cu r, atunci toate elementele de rând (și coloană) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor de rând (și coloană) corespunzătoare care formează baza minoră.

Ce ne spune teorema rangului matricei?

Dacă, conform teoremei Kronecker–Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice bază minoră a matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu nu formează baza selectată minoră. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca urmare, după eliminarea ecuațiilor inutile ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul este de ordinul doi diferit de zero. Rangul matricei extinse este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul trei este zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker–Capelli, putem afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2.

Ca bază minoră luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea bazei minore, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema privind rangul matricei:


Așa am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci în partea stângă a ecuațiilor lăsăm termenii care formează baza minori și transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor. ecuații ale sistemului cu semnul opus.

Se numesc variabilele necunoscute (r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor principal.

Se numesc variabile necunoscute (există n - r piese) care sunt în partea dreaptă gratuit.

Acum credem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate prin variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Să găsim rangul matricei principale a sistemului prin metoda limitării minorilor. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor diferit de zero de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor diferit de zero de ordinul doi care se învecinează cu acest minor:


Așa am găsit un minor non-zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei extinse este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Luăm ca bază minorul non-zero găsit de ordinul al treilea.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii implicați în baza minoră în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Să dăm variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică acceptăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE va lua forma


Să rezolvăm sistemul elementar rezultat de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer:


Prin urmare, .

În răspunsul dvs., nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Să rezumam.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare generale, determinăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker–Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este incompatibil.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci selectăm o bază minoră și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea bazei minore selectate.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și dăm valori arbitrare pentru variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Metoda Gauss poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără a le testa mai întâi pentru consistență. Procesul de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre incompatibilitatea SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere computațional, metoda gaussiană este de preferat.

Privește descriere detaliatăși a analizat exemple în articol metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Scrierea unei soluții generale la sisteme algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectori ai sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune vom vorbi despre sisteme omogene și neomogene simultane de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o colecție de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă notăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt matrici coloane de dimensiunea n prin 1) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Sensul este simplu: formula stabilește totul solutii posibile SLAE original, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), folosind formula vom obține una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem defini toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen.

Selectăm baza minoră a sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm toți termenii care conțin variabile necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,...,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, folosind metoda Cramer. Aceasta va avea ca rezultat X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă atribuim valorile 0,0,…,0,1 variabilelor necunoscute libere și calculăm principalele necunoscute, obținem X (n-r) . În acest fel, se va construi un sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată sub forma , unde este soluția generală a sistemului omogen corespunzător și este soluția particulară a SLAE neomogen original, pe care o obținem dând necunoscutelor libere valorile ​0,0,…,0 și calcularea valorilor principalelor necunoscute.

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale folosind metoda limitării minorilor. Ca un minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Să găsim minorul de margine non-zero de ordinul doi:

A fost găsit un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este egal cu doi. Să luăm. Pentru claritate, să notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE inițial nu participă la formarea bazei minore, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea bazei sale minore este egală cu două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 1, x 4 = 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.

A studia un sistem de ecuații liniare agebraice (SLAE) pentru consistență înseamnă a afla dacă acest sistem are sau nu soluții. Ei bine, dacă există soluții, atunci indicați câte sunt.

Vom avea nevoie de informații din tema „Sistem de ecuații algebrice liniare. Termeni de bază. Forma matriceală de notație”. În special, sunt necesare concepte precum matricea sistemului și matricea sistemului extins, deoarece formularea teoremei Kronecker-Capelli se bazează pe acestea. Ca de obicei, vom desemna matricea sistemului cu litera $A$, iar matricea extinsă a sistemului cu litera $\widetilde(A)$.

Teorema Kronecker-Capelli

Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului, adică. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Permiteți-mi să vă reamintesc că un sistem se numește articulație dacă are cel puțin o soluție. Teorema Kronecker-Capelli spune așa: dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)$, atunci există o soluție; dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci acest SLAE nu are soluții (inconsecvente). Răspunsul la întrebarea despre numărul acestor soluții este dat de un corolar al teoremei Kronecker-Capelli. În formularea corolarului se folosește litera $n$, care este egală cu numărul de variabile SLAE-ului dat.

Corolar al teoremei Kronecker-Capelli

1. Dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci SLAE este inconsecvent (nu are soluții).
2. Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, atunci SLAE este definit (are exact o soluție).

Vă rugăm să rețineți că teorema formulată și corolarul ei nu indică cum să găsiți o soluție la SLAE. Cu ajutorul lor, puteți afla doar dacă aceste soluții există sau nu și, dacă există, atunci câte.

Exemplul nr. 1

Explorați SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned). )\right.$ pentru compatibilitate Dacă SLAE este compatibil, indicați numărul de soluții.

Pentru a afla existența soluțiilor la un SLAE dat, folosim teorema Kronecker-Capelli. Vom avea nevoie de matricea sistemului $A$ și de matricea extinsă a sistemului $\widetilde(A)$, le vom scrie:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(matrice) \dreapta). $$

Trebuie să găsim $\rang A$ și $\rang\widetilde(A)$. Există multe modalități de a face acest lucru, dintre care unele sunt enumerate în secțiunea Matrix Rank. În mod obișnuit, pentru a studia astfel de sisteme sunt utilizate două metode: „Calculul rangului unei matrice prin definiție” sau „Calculul rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare”.

Metoda numărul 1. Calcularea rangurilor prin definiție.

Potrivit definiției, rangul este cel mai înalt ordin al minorilor unei matrice, printre care există cel puțin unul diferit de zero. De obicei, studiul începe cu minori de ordinul întâi, dar aici este mai convenabil să începeți imediat calcularea minorului de ordinul trei al matricei $A$. Elementele minore de ordinul trei sunt situate la intersecția a trei rânduri și trei coloane ale matricei în cauză. Deoarece matricea $A$ conține doar 3 rânduri și 3 coloane, minorul de ordinul trei al matricei $A$ este determinantul matricei $A$, adică. $\Delta A$. Pentru a calcula determinantul, aplicăm formula nr. 2 din subiectul „Formulele pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei”:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Deci, există un minor de ordinul trei al matricei $A$, care nu este egal cu zero. Este imposibil să creezi un minor de ordinul al patrulea, deoarece necesită 4 rânduri și 4 coloane, iar matricea $A$ are doar 3 rânduri și 3 coloane. Deci, ordinul cel mai înalt al minorilor matricei $A$, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, este egal cu 3. Prin urmare, $\rang A=3$.

De asemenea, trebuie să găsim $\rang\widetilde(A)$. Să ne uităm la structura matricei $\widetilde(A)$. Până la linia din matricea $\widetilde(A)$ există elemente ale matricei $A$ și am aflat că $\Delta A\neq 0$. În consecință, matricea $\widetilde(A)$ are un minor de ordinul trei, care nu este egal cu zero. Nu putem construi minore de ordinul al patrulea ale matricei $\widetilde(A)$, deci concluzionăm: $\rang\widetilde(A)=3$.

Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, atunci conform teoremei Kronecker-Capelli sistemul este consistent, i.e. are o soluție (cel puțin una). Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, adică. are o soluție unică.

Problema este rezolvată. Ce dezavantaje și avantaje are această metodă? În primul rând, să vorbim despre avantaje. În primul rând, trebuia să găsim un singur determinant. După aceasta, am făcut imediat o concluzie despre numărul de soluții. De obicei, calculele standard standard oferă sisteme de ecuații care conțin trei necunoscute și au o soluție unică. Pentru astfel de sisteme această metodă Este foarte convenabil, pentru că știm dinainte că există o soluție (altfel nu ar exista un exemplu în calculul standard). Aceste. Tot ce trebuie să facem este să arătăm existența unei soluții în cel mai rapid mod. În al doilea rând, valoarea calculată a determinantului matricei sistemului (adică $\Delta A$) va fi utilă mai târziu: când începem să rezolvăm sistem dat metoda lui Cramer sau folosind matricea inversă.

Cu toate acestea, metoda de calcul a rangului este prin definiție nedorită de utilizat dacă matricea sistemului $A$ este dreptunghiulară. În acest caz, este mai bine să utilizați a doua metodă, care va fi discutată mai jos. În plus, dacă $\Delta A=0$, atunci nu putem spune nimic despre numărul de soluții ale unui SLAE neomogen dat. Poate SLAE are un număr infinit de soluții, sau poate nici una. Dacă $\Delta A=0$, atunci este necesară cercetare suplimentară, care este adesea greoaie.

Pentru a rezuma ceea ce s-a spus, observ că prima metodă este bună pentru acele SLAE a căror matrice de sistem este pătrată. Mai mult decât atât, SLAE în sine conține trei sau patru necunoscute și este luat din calcule sau teste standard standard.

Metoda numărul 2. Calculul rangului prin metoda transformărilor elementare.

Această metodă este descrisă în detaliu în subiectul corespunzător. Vom începe să calculăm rangul matricei $\widetilde(A)$. De ce matrice $\widetilde(A)$ și nu $A$? Cert este că matricea $A$ face parte din matricea $\widetilde(A)$, prin urmare, calculând rangul matricei $\widetilde(A)$ vom găsi simultan rangul matricei $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(swap prima și a doua linie)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (matrice) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

Am redus matricea $\widetilde(A)$ la formă trapezoidală. Pe diagonala principală a matricei rezultate $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ conține trei elemente diferite de zero: -1, 3 și -7. Concluzie: rangul matricei $\widetilde(A)$ este 3, i.e. $\rang\widetilde(A)=3$. La efectuarea transformărilor cu elementele matricei $\widetilde(A)$, am transformat simultan elementele matricei $A$ situate până la linie. Matricea $A$ este, de asemenea, redusă la formă trapezoidală: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \dreapta )$. Concluzie: rangul matricei $A$ este tot 3, i.e. $\rang A=3$.

Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, atunci conform teoremei Kronecker-Capelli sistemul este consistent, i.e. are o solutie. Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, i.e. are o soluție unică.

Care sunt avantajele celei de-a doua metode? Principalul avantaj este versatilitatea sa. Pentru noi nu contează dacă matricea sistemului este pătrată sau nu. În plus, am efectuat de fapt transformări directe ale metodei Gauss. Au mai rămas doar câțiva pași și am putea obține o soluție la acest SLAE. Sincer să fiu, a doua metodă îmi place mai mult decât prima, dar alegerea este o chestiune de gust.

Răspuns: SLAE dat este consecvent și definit.

Exemplul nr. 2

Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(aligned) \right.$ pentru compatibilitate.

Vom găsi rangurile matricei sistemului și matricei sistemului extins folosind metoda transformărilor elementare. Matrice de sistem extinsă: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Să găsim rangurile necesare transformând matricea extinsă a sistemului:

Matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte. Dacă o matrice este redusă la formă eșalonată, atunci rangul ei este egal cu numărul de rânduri diferite de zero. Prin urmare, $\rang A=3$. Matricea $A$ (până la linie) este redusă la formă trapezoidală și rangul ei este 2, $\rang A=2$.

Deoarece $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci conform teoremei Kronecker-Capelli sistemul este inconsecvent (adică nu are soluții).

Răspuns: Sistemul este inconsecvent.

Exemplul nr. 3

Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(aligned) \right.$ pentru compatibilitate.

Matricea extinsă a sistemului are forma: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$. Să schimbăm primul și al doilea rând din această matrice, astfel încât primul element al primului rând să devină unul: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Am redus matricea extinsă a sistemului și matricea sistemului însuși la o formă trapezoidală. Rangul matricei extinse a sistemului este egal cu trei, rangul matricei sistemului este, de asemenea, egal cu trei. Deoarece sistemul conține $n=5$ necunoscute, i.e. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Răspuns: Sistemul este incert.

În a doua parte ne vom uita la exemple care sunt adesea incluse în calculele standard sau teste la matematică superioară: studiu de consistență și soluție a SLAE în funcție de valorile parametrilor incluși în acesta.

Vom continua să ne lustruim tehnologia transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor, vor exista o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.

Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?

Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toată lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:

Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie . Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o prezentare. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:

Exemplul 1

Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să scriem matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero a termenilor liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.

(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.

Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.

Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent , și, folosind inversul metodei Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.

Răspuns:

Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(în acest caz 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).

Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:

Exemplul 2

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Pentru a consolida în sfârșit algoritmul, să analizăm sarcina finală:

Exemplul 7

Rezolvați un sistem omogen, scrieți răspunsul în formă vectorială.

Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat:

(1) Semnul primei linii a fost schimbat. Încă o dată, atrag atenția asupra unei tehnici care a fost întâlnită de multe ori, care vă permite să simplificați semnificativ următoarea acțiune.

(1) Prima linie a fost adăugată la rândurile a 2-a și a 3-a. Prima linie, înmulțită cu 2, a fost adăugată la a patra linie.

(3) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele au fost eliminate.

Ca rezultat, se obține o matrice standard de etape, iar soluția continuă de-a lungul pistei moletate:

– variabile de bază;
– variabile libere.

Să exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere. Din a 2-a ecuație:

– înlocuiți în prima ecuație:

Deci solutia generala este:

Deoarece în exemplul luat în considerare există trei variabile libere, sistemul fundamental conține trei vectori.

Să înlocuim un triplu de valori în soluția generală și obțineți un vector ale cărui coordonate satisfac fiecare ecuație a sistemului omogen. Și din nou, repet că este foarte recomandabil să verificați fiecare vector primit - nu va dura mult timp, dar vă va proteja complet de erori.

Pentru un triplu de valori găsi vectorul

Și în sfârșit pentru cei trei obținem al treilea vector:

Răspuns: , Unde

Cei care doresc să evite valorile fracționale pot lua în considerare tripleți și obțineți un răspuns în formă echivalentă:

Apropo de fracții. Să ne uităm la matricea obținută în problemă și să ne întrebăm: este posibil să simplificăm soluția ulterioară? La urma urmei, aici am exprimat mai întâi variabila de bază prin fracții, apoi prin fracții variabila de bază și, trebuie să spun, acest proces nu a fost cel mai simplu și nici cel mai plăcut.

A doua soluție:

Ideea este sa incerci alegeți alte variabile de bază. Să ne uităm la matrice și să observăm două în coloana a treia. Deci de ce să nu ai un zero în vârf? Să realizăm încă o transformare elementară:

Metoda matricei Solutii SLAU aplicat la rezolvarea sistemelor de ecuaţii în care numărul de ecuaţii corespunde numărului de necunoscute. Metoda este cel mai bine utilizată pentru rezolvarea sistemelor de ordin scăzut. Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare se bazează pe aplicarea proprietăților înmulțirii matriceale.

Această metodă, cu alte cuvinte metoda matricei inverse, așa numită deoarece soluția se reduce la o ecuație matriceală obișnuită, pentru a o rezolva, trebuie să găsiți matricea inversă.

Metoda soluției matriceale Un SLAE cu un determinant care este mai mare sau mai mic decât zero este următorul:

Să presupunem că există un SLE (sistem de ecuații liniare) cu n necunoscut (pe un câmp arbitrar):

Aceasta înseamnă că poate fi ușor convertit în formă de matrice:

AX=B, Unde O— matricea principală a sistemului, BŞi X— coloane de termeni liberi și soluții ale sistemului, respectiv:

Să înmulțim această ecuație matriceală din stânga cu A−1— matrice inversă la matrice A: A −1 (AX)=A −1 B.

Deoarece A -1 A=E, Înseamnă, X=A -1 B. Partea dreaptă a ecuației oferă coloana soluție a sistemului inițial. Condiția de aplicabilitate a metodei matricei este nedegenerarea matricei O. O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este ca determinantul matricei să nu fie egal cu zero O:

detA≠0.

Pentru sistem omogen de ecuații liniare, adică dacă vector B=0, este valabilă regula inversă: sistemul AX=0 există o soluție non-trivială (adică nu este egală cu zero) numai atunci când detA=0. Această legătură între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește Alternativa Fredholm.

Astfel, soluția SLAE folosind metoda matricei se realizează conform formulei . Sau, soluția la SLAE se găsește folosind matrice inversă A−1.

Se știe că pentru o matrice pătrată O comanda n pe n există o matrice inversă A−1 numai dacă determinantul său este diferit de zero. Astfel, sistemul n ecuații algebrice liniare cu n Rezolvăm necunoscute folosind metoda matricei numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.

În ciuda faptului că există limitări ale aplicabilității acestei metode și dificultăților de calcul pentru valori mari ale coeficienților și sisteme de ordin înalt, metoda poate fi implementată cu ușurință pe un computer.

Un exemplu de rezolvare a unui SLAE neomogen.

Mai întâi, să verificăm dacă determinantul matricei coeficienților SLAE-urilor necunoscute nu este egal cu zero.

Acum găsim matricea de unire, transpuneți-l și înlocuiți-l în formula pentru a determina matricea inversă.

Înlocuiți variabilele în formula:

Acum găsim necunoscutele înmulțind matricea inversă și coloana de termeni liberi.

Aşa, x=2; y=1; z=4.

La mutarea din aspect normal SLAE la forma matricei, aveți grijă la ordinea variabilelor necunoscute în ecuațiile sistemului. De exemplu:

NU POATE fi scris ca:

Este necesar, mai întâi, să ordonăm variabilele necunoscute în fiecare ecuație a sistemului și numai după aceea să trecem la notația matriceală:

În plus, trebuie să fiți atenți la desemnarea variabilelor necunoscute x 1, x 2 , …, x n pot exista si alte litere. De exemplu:

sub formă de matrice o scriem astfel:

Metoda matricei este mai bună pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute, iar determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero. Când există mai mult de 3 ecuații într-un sistem, găsirea matricei inverse va necesita mai mult efort de calcul, prin urmare, în acest caz, este recomandabil să folosiți metoda Gauss pentru rezolvare.