Возведение в 4 степень. Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа. Возведение в степень онлайн

Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные). Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.

Калькулятор степеней

Возвести в степень

Возведений в степень: 28402

Что такое натуральная степень числа?

Число p называют n -ой степенью числа a , если p равно числу a , умноженному само на себя n раз: p = a n = a·...·a
n - называется показателем степени , а число a - основанием степени .

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1 . Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 3 4
Решение : как было сказано выше, 3 4 = 3·3·3·3 = 81 .
Ответ : 3 4 = 81 .

Пример 2 . Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 5 5
Решение : аналогично, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125 .
Ответ : 5 5 = 3125 .

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Что такое отрицательная степень числа?

При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Пример 1 . Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2 -4

Ответ : 2 -4 = 0.0625 .

В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.

Навигация по странице.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n - это выражение вида a n , значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, .
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a , то есть, a 1 =a .

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 .

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 .

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n .

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к .

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m .

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода.

Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

Определение.

Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .

Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

Определение.

Степень нуля с дробным положительным показателем m/n , где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).

Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

Определение.

Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для



Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а .

можно найти с помощью умножения. Например: 5+5+5+5+5+5=5х6. О таком выражении говорят, что сумму равных слагаемых свернули в произведение. И наоборот, если читать это равенство справа налево, получаем, что мы развернули сумму равных слагаемых. Аналогично можно сворачивать произведение нескольких равных множителей 5х5х5х5х5х5=5 6 .

То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».

Выражение 5 6 - это степенью числа, где:

5 - основание степени;

6 - показатель степени.

Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.

В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается так

Возвести число a в степень n - значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а

Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1

Если возвести число «а» возвести в первую степень , то получим само число a: a 1 = a

Если возвести любое число в нулевой степень , то в результате вычислений получим один. a 0 = 1

Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа , третью - кубом этого числа.

В степень можно возводить любое число - положительное, отрицательное или нуль. При этом не пользуются следующими правилами:

При нахождении степени положительного числа получается положительное число .

При вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.

х m · х n = х m + n

например: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем :

х m / х n = х m — n , где, m > n,

например: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.

(у m ) n = у m · n

например: (2 3) 2 = 2 3·2 = 2 6

(х · у) n = х n · у m ,

например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби

(х / у) n = х n / у n

например: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3 .

Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.

При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.

Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.

Когда число умножается само на себя , произведение называется степенью .

Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
2.2.2 = 8, куб или третья степень.
2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.

Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
10.10.10 = 1000, третья степень.
10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

И a.a = aa, вторая степень a
a.a.a = aaa, третья степень a
a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель . Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а 2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a 3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a 1 записывается как a.

Вы не должны путать степени с коэффициентами . Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a 4 = a.a.a.a

Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква . В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении a x , показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень . Так, b m и d n возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда b m = b 3 ; но если m = 5, тогда b m =b 5 .

Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d) 3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель , и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
показатели, если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножать на a, мы успешно получим несколько значений.

Tак a.a = a 2 , второй член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третий член. a 4 .a = a 5 .

Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.

Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3 .

Тот же самый план записи может применяться к многочленам . Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

Согласно этой форме, 1/a или 1/a 1 = a -1 . И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a 0 .

Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Или a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корень степени может выражен более чем одной буквой.

Так, aa.aa или (aa) 2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 есть третьей степенью aa.

Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Четвертая степень a есть a 4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y 6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть x n или xxx..... n раз повторенное.

Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

Tак (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy) 4 , или d 4 h 4 y 4 .

Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b) 3 , или 4 3 b 3 , или 64b 3 .

Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad) n или 6 n a n d n .

Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y) 3 , или 27m 3 .8y 3 .

Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,

(a + b) 1 = a + b, первая степень.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , вторая степень (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , третья степень.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 , четвертая степень.

Квадрат a - b, есть a 2 - 2ab + b 2 .

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).

Определение 1

Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: a n , а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:

Например, если показатель степени равен 1 , а основание – a , то первая степень числа a записывается как a 1 . Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a 1 = a .

В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8 · 8 · 8 · 8 можно сократить до 8 4 . Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4) ; мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.

Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – « a в степени n ». Или можно сказать « n -ная степень a » либо « a n -ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 8 12 , мы можем прочесть « 8 в 12 -й степени», « 8 в степени 12 » или « 12 -я степень 8 -ми».

Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа 7 (7 2) , то мы можем сказать « 7 в квадрате» или «квадрат числа 7 ». Аналогично третья степень читается так: 5 3 – это «куб числа 5 » или « 5 в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой.

Пример 1

Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.

В основании не обязательно должно стоять целое число: для степени (4 , 32) 9 основанием будет дробь 4 , 32 , а показателем – девятка. Обратите внимание на скобки: такая запись делается для всех степеней, основания которых отличаются от натуральных чисел.

Например: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Для чего нужны скобки? Они помогают избежать ошибок в расчетах. Скажем, у нас есть две записи: (− 2) 3 и − 2 3 . Первая из них означает отрицательное число минус два, возведенное в степень с натуральным показателем три; вторая – число, соответствующее противоположному значению степени 2 3 .

Иногда в книгах можно встретить немного другое написание степени числа – a ^ n (где а – основание, а n - показатель). То есть 4 ^ 9 – это то же самое, что и 4 9 . В случае, если n представляет собой многозначное число, оно берется в скобки. Например, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но мы будем использовать обозначение a n как более употребительное.

О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a n -ное число раз. Подробнее об этом мы писали в другой статье.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Определение 2

Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

При этом n – любое целое положительное число.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Определение 3

Равенство a m: a n = a m − n будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m < n , a ≠ 0 .

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n: a n = a n − n = a 0

Но при этом a n: a n = 1 - частное равных чисел a n и a . Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.

Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: a m · a n = a m + n .

Если n у нас равен 0 , то a m · a 0 = a m (такое равенство также доказывает нам, что a 0 = 1 ). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0 m · 0 0 = 0 m , Оно будет верным при любом натуральном значении n , и неважно при этом, чему именно равно значение степени 0 0 , то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 0 0 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.

При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени (a m) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Пример 2

Разберем пример с конкретными числами: Так, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , а значение 0 0 не определено.

После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: a m · a n = a m + n .

Введем условие: m = − n , тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1 . Выходит, что a n и a − n у нас являются взаимно обратными числами.

В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь 1 a n .

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Пример 3

Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1 a n . Таким образом, a - n = 1 a n при условии a ≠ 0 и n – любое натуральное число.

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Определение 4

Степень числа a с натуральным показателем z ​​ – это: a z = a z , e с л и z - ц е л о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о 1 , z = 0 и a ≠ 0 , (п р и z = 0 и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 0 , з н а ч е н и я в ы р а ж е н и я 0 0 н е о п р е д е л я е т с я)   1 a z , е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a ≠ 0 (е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 z , е г о з н а ч е н и е н е о п р е д е л я е т с я)

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m / n , где n – натуральное число, а m – целое.

У нас есть некоторая степень с дробным показателем a m n . Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство a m n n = a m n · n = a m должно быть верным.

Учитывая определение корня n -ной степени и что a m n n = a m , мы можем принять условие a m n = a m n , если a m n имеет смысл при данных значениях m , n и a .

Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии a m n = a m n .

Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m / n – это корень n -ой степени из числа a в степени m . Это справедливо в том случае, если при данных значениях m , n и a выражение a m n сохраняет смысл.

1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a , которое при положительных значениях m будет больше или равно 0 , а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m ≤ 0 мы получаем 0 m , а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:

Степень с дробным показателем m / n для некоторого положительного числа a есть корень n -ной степени из a, возведенного в степень m . В виде формулы это можно изобразить так:

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как

0 m n = 0 m n = 0 при условии целого положительного m и натурального n .

При отрицательном отношении m n < 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Выражение a m n иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m . Так, верны записи (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , в которых основание отрицательно.

2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень a m n с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a , в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a , в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись a m · k n · k , то мы можем свести ее к a m n и упростить расчеты.

Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

Определение 5

Для любой обыкновенной сократимой дроби m · k n · k степень можно заменить на a m n .

Степень числа a с несократимым дробным показателем m / n – можно выразить в виде a m n в следующих случаях: - для любых действительных a , целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n . Пример: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Для любых отличных от нуля действительных a , целых отрицательных значений m и нечетных значений n , например, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Для любых неотрицательных a , целых положительных значений m и четных n , например, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Для любых положительных a , целых отрицательных m и четных n , например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6 / 10 = 3 / 5 . Тогда должно быть верным (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

Определение 6

Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 . В случае отрицательных a запись a m n не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 , для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.

В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

Пример 5

Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, возьмем значение a = 1 , 67175331 . . . , тогда

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.

Возьмем для примера a = 3 , тогда a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . и т.д.

Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем a . В итоге: степень с иррациональным показателем вида 3 1 , 67175331 . . можно свести к числу 6 , 27 .

Определение 7

Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как a a . Его значение – это предел последовательности a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , где a 0 , a 1 , a 2 , . . . являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a . Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0 a = 0 Так, 0 6 = 0 , 0 21 3 3 = 0 . А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0 - 5 , 0 - 2 π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 1 2 , 1 5 в 2 и 1 - 5 будут равны 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter