Kako se znebiti logaritma v neenakosti. Logaritmične neenakosti. Kako rešiti logaritmične neenakosti? Preučevanje novega gradiva

Lekcija ciljev:

Didaktično:

• 1 raven - poučevanje reševanja najenostavnejši logaritmične neenakosti, ki uporabljajo opredelitev logaritma, lastnosti logaritmov;
• 2 Raven - reševanje logaritmičnih neenakosti, izbiro neodvisne metode rešitve;
• 3 Raven - da bi lahko uporabili znanje in spretnosti v nestandardnih situacijah.

Razvoj: Razvijte spomin, pozornost, logično razmišljanje, primerjalne spretnosti, biti sposobni posploševati in sklepati

Izobraževalna:izobraževanje točnosti, odgovornost za opravljeno nalogo, medsebojno pomoč.

Metode poučevanja: verbal. , vizualno , Praktično , delno iskanje , samouprava , nadzor.

Oblike organizacije kognitivna dejavnost Učenci: Frontal. , posameznika , delo v parih.

Oprema: nastavite preskusne naloge, Podpora, čiste plošče za rešitve.

Vrsta lekcije: Študij novega materiala.

Med razredi

1. Organizacijski trenutek. Napovedana je tema in cilji lekcije, shema lekcije: Vsak študent je izdal ocenjeni list, ki ga študent zapolni v teku lekcije; Za vsak par študentov - tiskanih materialov z nalogami, morate opravljati naloge v parih; Čiste plošče za rešitve; Podporni listi: definicija logaritma; Funkcija logaritmičnega grafa, njegove lastnosti; Lastnosti logaritmov; Algoritem za reševanje logaritmičnih neenakosti.

Vse odločitve po samospoštovanju se predajo učitelju.

Ocenjevalni list Študent

2. Aktualizacija znanja.

Navodila učitelja. Spomnimo definicijo logaritma, graf logaritmične funkcije in njegovih lastnosti. Če želite to narediti, preberite besedilo na S.88-90, 98-101 iz učbenika "Algebra in začetek analize 10-11" Urejeno s Sh.A Alimova, yu.m Kolyagin itd.

Učenci so porazdeljeni listi, na katerih so zabeležene: opredelitev logaritma; upodobljen graf logaritmične funkcije, njegove lastnosti; Lastnosti logaritmov; Algoritem za reševanje logaritmičnih neenakosti, primer rešitve logaritmične neenakosti, ki zavre na kvadrat.

3. Preučevanje novega gradiva.

Rešitev logaritmičnih neenakosti temelji na monotoniji logaritmične funkcije.

Logaritemski algoritem neenakosti:

A) Poiščite območje opredelitve neenakosti (okogaritemski izraz je večji od nič).
B) predloži (če je mogoče) levi in \u200b\u200bdesni del neenakosti v obliki logaritmov na isti osnovi.
C) ugotoviti, ali se logaritmična funkcija povečuje ali zmanjšuje: če t\u003e 1, nato narašča; Če je 0. 1, nato pa se zmanjšuje.
D) Pojdite na bolj preprosto neenakost (strašljivi izrazi), glede na to, da bo znak neenakosti shranjen, če se funkcija poveča in se spremeni, če se zmanjša.

Številka elementa usposabljanja 1.

Namen: Utrditi rešitev najenostavnejših logaritmičnih neenakosti

Oblika organizacije kognitivne dejavnosti študentov: individualno delo.

Naloge za neodvisno delo 10 minut. Za vsako neenakost je več možnosti za odgovore, morate izbrati pravico in preverite s ključem.

Ključ: 13321, največje število točk - 6 b.

Številka treninga številka 2.

Namen: Utrditi rešitev logaritmičnih neenakosti, ki uporabljajo lastnosti logaritmov.

Navodila učitelja. Spomnimo osnovne lastnosti logaritmov. Če želite to narediti, preberite besedilo učbenika na C.92, 103-104.

Naloge za samostojno delo 10 minut.

Ključ: 2113, največje število točk - 8 b.

Številka treninga številka 3.

Namen: preučiti rešitev logaritmičnih neenakosti z metodo informacij na trgu.

Navodila za učitelje: Način informacij neenakosti na Square je, da je treba to vrsto preoblikovati, da bo nekatera logaritemska funkcija imenovala novo spremenljivko, ki je pridobil kvadratno neenakost glede na to spremenljivko.

Nanesite metodo intervala.

Spravil si prvo stopnjo obvladovanja materiala. Zdaj morate samostojno izbrati način reševanja logaritmičnih enačb z uporabo vsa vaše znanje in priložnosti.

Številka treninga številka 4.

Namen: Utrditi rešitev logaritmičnih neenakosti z izbiro neodvisno racionalne rešitve.

Naloge za samostojno delo 10 minut

Številka elementa usposabljanja 5.

Navodila učitelja. Dobro opravljeno! Obvladali ste rešitev enačb druge stopnje kompleksnosti. Namen vašega dela je nadalje uporabiti svoje znanje in veščine v bolj zapletenih in nestandardnih situacijah.

Naloge za samopomoč:

Navodila učitelja. Čudovito, če ste se spopadali z vsemi nalogo. Dobro opravljeno!

Ocena za celotno lekcijo je odvisna od števila točk za vse izobraževalne elemente: \\ t

• Če je n ≥ 20, potem dobite oceno "5",
• pri 16 ≤ n ≤ 19 - ocenah "4",
• pri 8 ≤ n ≤ 15 - ocenah "3",
• z N.< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Ocenjene lisice, ki predajo učitelju.

5. Domača naloga: Če ste dosegli več kot 15 B - dela na napake (rešitve je mogoče vzeti iz učitelja), če ste dosegli več kot 15 B - opravljati ustvarjalno nalogo na temo "Logaritmic neenakosti".

Logaritmične enačbe in neenakosti v velepolitions. V matematiki naloga C3. . Učenje reševanja nalog C3 iz EGE na matematiko naj vsak študent, če želi, da prenese prihajajoči izpit na "dobro" ali "odlično". Ta članek kratek pregled Pogosto se pojavljajo logaritmične enačbe in neenakosti, kot tudi glavne metode reševanja.

Danes bomo analizirali več primerov. logaritmične enačbe in neenakostiki so bili ponujeni študentom v EMES matematike zadnjih let. Vendar se bo začela s kratkim povzetkom glavnih teoretičnih trenutkov, ki jih moramo rešiti.

Logaritmična funkcija

Opredelitev

Funkcija tipa

0, \\ "Naslov \u003d" (! Lang: To je Quickex.com">!}

pokliči logaritmična funkcija.

Osnovne lastnosti

Glavne lastnosti logaritmične funkcije y. \u003d Dnevnik. A X.:

Graf logaritmične funkcije je logaritmična krivulja.:

Lastnosti logaritma

Logaritm deluje Dva pozitivna števila je enaka vsoti logaritmov teh številk:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Logaritmu zasebni Dva pozitivna števila je enaka razliki v logaritmih teh številk:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Če a. in b. a. ≠ 1, nato za poljubno število r. poštena enakost:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Enakost Dnevnik. a. t. \u003d Dnevnik. a. s.kje a. > 0, a. ≠ 1, t. > 0, s. \u003e 0, upravičeno in samo ko t. = s.

Če a., b., c. - pozitivne številke in a. in c. Odlično iz enega, obstaja enakost ( formula za prehod na novo bazo logaritma):

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Teorem 1. Če f.(x.)\u003e 0 in g.(x.)\u003e 0, nato logaritmične enačbe dnevnik A F.(x.) \u003d Dnevnik. A G.(x.) (kje a. > 0, a. ≠ 1) Enakovredna enačba f.(x.) = g.(x.).

Rešitev logaritmičnih enačb in neenakosti

Primer 1. Rešite enačbo:

Sklep. Območje dovoljenih vrednosti vključuje samo tiste x.v katerem je izraz pod znakom logaritma večji od nič. Te vrednosti se določijo z naslednjim sistemom neenakosti: \\ t

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Glede na to

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

dobimo vrzel, ki določa območje dovoljenih vrednosti te logaritmične enačbe:

Na podlagi teorema 1, katerih pogoji so tukaj, pojdite na naslednjo ekvivalentno kvadratsko enačbo:

Območje dovoljenih vrednosti vključuje samo prvi koren.

Odgovor: X \u003d 7.

Primer 2. Rešite enačbo:

Sklep. Območje dovoljenih vrednosti enačbe določa sistem neenakosti:

ql-descno-eqno "\u003e

Sklep.Območje dovoljenih vrednosti enačbe se tukaj enostavno določi: x. > 0.

Uporabljamo zamenjavo:

Enačba je v obliki:

Povratno zamenjavo:

Oboje odgovor Sodeloval na področju dovoljenih vrednosti enačbe, saj so pozitivni številki.

Primer 4. Rešite enačbo:

Sklep.Ponovno zaženite rešitev od določanja območja dovoljenih vrednosti enačbe. Določa se z naslednjim sistemom neenakosti:

ql-descno-eqno "\u003e

Osnove logaritmov so enake, zato na področju dovoljenih vrednosti lahko greste na naslednjo kvadratno enačbo:

Prvi koren ni vključen v področje dovoljenih vrednosti enačbe, drugi vstopi.

Odgovor: x. = -1.

Primer 5. Rešite enačbo:

Sklep. Iščemo rešitve v intervalu x. > 0, x.≠ 1. Enačbo pretvorimo na enakovredno:

Oboje odgovor na področju dovoljenih vrednosti enačbe.

Primer 6. Rešite enačbo:

Sklep. Sistem neenakosti, ki določa področje dovoljenih vrednosti enačbe, ima ta čas:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Z uporabo lastnosti logaritma pretvorimo enačbo na ekvivalent na področju dovoljenih vrednosti enačbe:

Uporaba prehodne formule v novo bazo logaritma, dobimo:

Na področju dovoljenih vrednosti samo ena odgovor: x. = 4.

Zdaj se obrnemo na K. logaritmične neenakosti . To je tisto, kar morate obravnavati izpit iz matematike. Za reševanje nadaljnjih primerov potrebujemo naslednji teorem:

Teorem 2. Če f.(x.)\u003e 0 in g.(x.)\u003e 0, nato:
za a. \u003e 1 logaritmična neenakost log a f.(x.)\u003e Log a g.(x.) Enaka neenakosti istega pomena: \\ t f.(x.) > g.(x.);
pri 0.< a. < 1 логарифмическое неравенство log a f.(x.)\u003e Log a g.(x.) Je enakovreden neenakosti nasprotnega smisla: f.(x.) < g.(x.).

Primer 7. Rešite neenakost:

Sklep. Začnimo z opredelitvijo območja dovoljenih vrednosti neenakosti. Izraz, ki je pod znakom logaritmične funkcije, mora le pozitivne vrednosti. To pomeni, da je želeno območje dovoljenih vrednosti določeno z naslednjim sistemom neenakosti:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Ker se na dnu logaritma obstaja število, manjša enota, ustrezna logaritemska funkcija se bo zmanjšuje, zato bo prehod na naslednjo kvadratno neenakost enakovreden teoremu 2:

Nazadnje, ob upoštevanju območja dovoljenih vrednosti, ki jih dobimo odgovor:

Primer 8. Rešite neenakost:

Sklep. Začeti z opredelitvijo območja dovoljenih vrednosti:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Na nizu dovoljenih vrednosti neenakosti izvajamo enakovredne transformacije: \\ t

Po rezanju in prehodu na ekvivalent teorema 2 neenakosti dobimo:

Ob upoštevanju območja dovoljenih vrednosti dobimo finale odgovor:

Primer 9. Rešite logaritmično neenakost:

Sklep. Območje dovoljenih vrednosti neenakosti se določi z naslednjim sistemom:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Vidimo, da je na področju dovoljenih vrednosti izraz, ki stoji na dnu logaritma, vedno večji od enote, zato je prehod na naslednjo neenakost enakovreden teoremu 2:

Ob upoštevanju območja sprejemljivih vrednosti dobimo končni odgovor:

Primer 10. Rešite neenakost:

Sklep.

Območje dovoljenih vrednosti neenakosti določa sistem neenakosti:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

I metoda. Uporabili bomo formulo za prehod na novo bazo logaritma in zavijemo na ekvivalent na področju dovoljene vrednosti neenakosti.

So znotraj logaritmov.

Primeri:

(LOG_3\u2061X≥ LOG_3\u20619) \\ t
(LOG_3\u2061 ((X ^ 2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
(LOG_ (X + 1) \u2061 ((X ^ 2 + 3x-7))\u003e 2 \\ t
(LG ^ 2\u2061 ((x + 1)) + 10≤11 lg ((x + 1)) \\ t

Kako rešiti logaritmične neenakosti:

Vsaka logaritemska neenakost si mora prizadevati, da bi pripeljala do oblike (LOG_A\u2061 (F (X)) LOG_A (\u2061G (X))) (simbol (\\ t Ta vrsta vam omogoča, da se znebite logaritmov in njihovih razlogov, zaradi česar je prehod na neenakost izrazov v skladu z logaritmi, to je v obliki (f (x) ˅ g (x)).

Toda pri opravljanju tega prehoda je ena zelo pomembna subturat:
(- - če je število in je večja od 1 - znak neenakosti med prehodom ostaja enaka, \\ t
(- - če je osnova številka večja od 0, vendar je manjša 1 (leži med ničlo in enoto), se mora znak neenakosti spremeniti v nasprotno, tj.

Zelo pomembno! V vsaki neenakosti, prehod iz oblike \\ t

Primer . Rešite neenakost: \\ t (≤-1)

Sklep:

Primer . Rešite neenakost: \\ t LOG ^ 2_3\u2061X- LOG_3\u2061X-2\u003e 0 \\ t

Sklep:

Pri preučevanju logaritmične funkcije, smo šteli predvsem neenakosti oblike
log a H.< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

Rešite neenakost LG (x + 1) ≤ 2 (1).

Sklep.

1) Desna stran neenakosti, ki se šteje za pomen, je na vseh vrednostih, levica pa je na X + 1\u003e 0, i.e. na x\u003e -1.

2) Razlika X \u003e1 se imenuje območje opredelitve neenakosti (1). Logaritemska funkcija z bazo 10 se povečuje, zato pod pogojem X + 1\u003e 0 se izvede neenakost (1), če X + 1 ≤ 100 (od 2 \u003d LG 100). Tako neenakost (1) in sistem neenakosti

(x\u003e -1, (2)
(x + 1 ≤ 100, \\ t

z drugimi besedami, številne rešitve neenakosti (1) in sistemi neenakosti (2) je enaka.

3) Reševanje sistema (2), najdemo -1< х ≤ 99.

Odgovor. -< х ≤ 99.

Rešite neenakost Log 2 (X - 3) + Log 2 (X - 2) ≤ 1 (3).

Sklep.

1) Območje opredelitve logaritmične funkcije je nabor pozitivnih vrednosti argumenta, tako da je levi del neenakosti, ki je na X - 3\u003e 0 in X - 2\u003e 0.

Posledično je področje določanja te neenakosti razpon X\u003e 3.

2) V skladu z lastnostmi logaritma neenakosti (3) pri X\u003e 3 je enakovredna neenakosti dnevnika 2 (X-3) (X-2) ≤ Log 2 (4).

3) Logaritemska funkcija z bazo 2 se povečuje. Zato se na X\u003e 3 izvede neenakost (4), če (X-3) (X - 2) ≤ 2.

4) Tako je začetna neenakost (3) enakovredna sistema neenakosti

((x - 3) (X - 2) ≤ 2, \\ t
(x\u003e 3.

Reševanje prve neenakosti tega sistema, dobimo X 2 - 5x + 4 ≤ 0, od koder 1 ≤ x ≤ 4. Združevanje tega segmenta z vrzel\u003e 3, dobimo 3< х ≤ 4.

Odgovor. 3.< х ≤ 4.

Rešite neenakost log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (pet)

Sklep.

1) Regija določanja neenakosti najdemo iz stanja x 2 + 2x - 8\u003e 0.

2) Neenakost (5) se lahko zapiše v obliki:

log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.

3) Ker je logaritemska funkcija z bazo, ½ padanja, nato pa za vse X iz celotne regije določanja neenakosti, dobimo:

x 2 + 2x - 8 ≤ 16.

Tako je začetna enakost (5) enakovredna sistema neenakosti

(x 2 + 2x - 8\u003e 0, ali (x 2 + 2x - 8\u003e 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.

Reševanje prve kvadratne neenakosti, dobimo x< -4, х > 2. Reševanje druge kvadratne neenakosti, dobimo -6 ≤ x ≤ 4. Zato se obe neenakosti sistema izvajajo istočasno pri -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.

Odgovor. -6 ≤ x.< -4; 2 < х ≤ 4.

potrebna je spletno mesto s polnim ali delnim kopiranjem materiala, ki se nanaša na prvotni vir.