Mecanica teoretică a dinamicii unui corp real. Teoreme generale de dinamică. Principiul mișcărilor posibile

Să luăm în considerare mișcarea unui anumit sistem de obiecte materiale în raport cu un sistem de coordonate fix Când sistemul nu este liber, atunci acesta poate fi considerat ca liber dacă renunțăm la conexiunile impuse sistemului și înlocuim acțiunea lor cu reacții corespunzătoare.

Să împărțim toate forțele aplicate sistemului în externe și interne; ambele pot include reacții de aruncat

conexiuni. Fie și notăm vectorul principal și momentul principal al forțelor externe relativ la punctul A.

1. Teorema privind modificarea impulsului. Dacă este cantitatea de mișcare a sistemului, atunci (vezi)

adică teorema este valabilă: derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu vectorul principal al tuturor forțelor externe.

Prin înlocuirea vectorului prin expresia sa unde este masa sistemului, este viteza centrului de masă, ecuației (4.1) i se poate da o formă diferită:

Această egalitate înseamnă că centrul de masă al sistemului se mișcă ca un punct material a cărui masă este egală cu masa sistemului și căruia i se aplică o forță care este geometric egală cu vectorul principal al tuturor forțelor externe ale sistemului. Ultima afirmație se numește teorema asupra mișcării centrului de masă (centrul de inerție) al sistemului.

Dacă din (4.1) rezultă că vectorul moment este constant ca mărime și direcție. Proiectând-o pe axa de coordonate, obținem trei prime integrale scalare, ecuații diferențiale ale capacului dublu al sistemului:

Aceste integrale se numesc integrale de moment. Când viteza centrului de masă este constantă, adică se mișcă uniform și rectiliniu.

Dacă proiecția vectorului principal al forțelor externe pe oricare axă, de exemplu pe o axă, este egală cu zero, atunci avem o primă integrală sau dacă două proiecții ale vectorului principal sunt egale cu zero, atunci există două integrale ale impulsului.

2. Teorema privind modificarea momentului unghiular. Fie A un punct arbitrar din spațiu (în mișcare sau staționar), care nu coincide neapărat cu niciun punct material specific al sistemului în timpul întregului timp de mișcare. Notăm viteza sa într-un sistem de coordonate fix prin Teorema privind modificarea momentului cinetic al unui sistem material în raport cu punctul A are forma

Dacă punctul A este fix, atunci egalitatea (4.3) ia o formă mai simplă:

Această egalitate exprimă teorema despre variația momentului unghiular al unui sistem în raport cu un punct fix: derivata în timp a momentului unghiular al sistemului, calculată relativ la un punct fix, este egală cu momentul principal al tuturor forțelor externe relativ până în acest punct.

Dacă atunci conform (4.4) vectorul moment unghiular este constant ca mărime și direcție. Proiectând-o pe axele de coordonate, obținem primele integrale scalare ale ecuațiilor diferențiale ale sistemului dublu:

Aceste integrale se numesc integrale de moment sau integrale de arie.

Dacă punctul A coincide cu centrul de masă al sistemului, atunci primul termen din partea dreaptă a egalității (4.3) dispare și teorema privind modificarea momentului unghiular are aceeași formă de scriere (4.4) ca și în cazul lui. un punct fix A. Rețineți (vezi. p. 4 § 3), că, în cazul în cauză, momentul unghiular absolut al sistemului din partea stângă a egalității (4.4) poate fi înlocuit cu momentul unghiular egal al sistemului în mișcarea sa față de centrul de masă.

Fie o axă constantă sau o axă de direcție constantă care trece prin centrul de masă al sistemului și fie momentul cinetic al sistemului relativ la această axă. Din (4.4) rezultă că

unde este momentul forțelor exterioare în raport cu axa. Dacă pe parcursul întregii mișcări avem prima integrală

În lucrările lui S.A.Chaplygin s-au obținut mai multe generalizări ale teoremei privind modificarea momentului cinetic, care au fost apoi aplicate pentru a rezolva o serie de probleme la bile rulante. Alte generalizări ale teoremei privind modificarea momentului mecanic și aplicațiile acestora în probleme de dinamică a corpului rigid sunt cuprinse în lucrări. Principalele rezultate ale acestor lucrări sunt legate de teorema privind modificarea momentului cinetic în raport cu unul în mișcare, trecând constant printr-un punct în mișcare A. Fie un vector unitar direcționat de-a lungul acestei axe. Înmulțind scalar cu ambele părți ale egalității (4.3) și adunând termenul la cele două părți ale sale obținem

Când condiția cinematică este îndeplinită

Ecuația (4.5) rezultă din (4.7). Și dacă condiția (4.8) este îndeplinită pe parcursul întregii mișcări, atunci prima integrală (4.6) există.

Dacă conexiunile sistemului sunt ideale și permit, printre deplasări virtuale, rotirea sistemului ca un corp rigid în jurul axei și, atunci momentul principal al reacțiilor față de axă și este egal cu zero, apoi valoarea pe partea dreaptă a ecuației (4.5) reprezintă momentul principal al tuturor forțelor active externe în raport cu axa și . Egalitatea la zero a acestui moment și validitatea relației (4.8) vor fi în cazul în cauză condiții suficiente pentru existența integralei (4.6).

Dacă direcția axei și este constantă, atunci condiția (4.8) se va scrie sub formă

Această egalitate înseamnă că proiecțiile vitezei centrului de masă și ale vitezei punctului A pe axă și pe un plan perpendicular pe acesta sunt paralele. În lucrarea lui S.A. Chaplygin, în loc de (4.9), este necesară îndeplinirea unei condiții mai puțin generale în care X este o valoare constantă arbitrară.

Rețineți că condiția (4.8) nu depinde de alegerea punctului de pe . Într-adevăr, fie P un punct arbitrar pe axă. Apoi

şi prin urmare

În concluzie, remarcăm interpretarea geometrică a lui Rézal a ecuațiilor (4.1) și (4.4): vectorii viteză absolută ai capetelor vectorilor și sunt egali, respectiv, cu vectorul principal și cu momentul principal al tuturor forțelor externe relativ la punctul A. .

TEOREMA MOMENTULUI (în formă diferențială).

1. Pentru un punct: derivata impulsului punctului în raport cu timpul este egală cu rezultanta forțelor aplicate punctului:

sau sub formă de coordonate:

2. Pentru un sistem: derivata impulsului sistemului în raport cu timpul este egală cu vectorul principal al forțelor externe ale sistemului (suma vectorială a forțelor externe aplicate sistemului):

sau sub formă de coordonate:

TEOREMA MOMENTULUI (teorema impulsului în formă finală).

1. Pentru un punct: modificarea impulsului punctului într-o perioadă finită de timp este egală cu suma impulsurilor aplicate punctului de forță (sau impulsul rezultant al forțelor aplicate punctului)

sau sub formă de coordonate:

2. Pentru un sistem: modificarea impulsului sistemului într-o perioadă finită de timp este egală cu suma impulsurilor forțelor externe:

sau sub formă de coordonate:

Consecințe: în absența forțelor externe, cantitatea de mișcare a sistemului este o valoare constantă; dacă forțele externe ale sistemului sunt perpendiculare pe o anumită axă, atunci proiecția impulsului pe această axă este o valoare constantă.

TEOREMA MOMENTULUI

1. Pentru un punct: Derivata în timp a momentului de impuls al punctului relativ la un anumit centru (axă) este egală cu suma momentelor forțelor aplicate punctului relativ la același centru (axă):

2. Pentru sistem:

Derivata în timp a momentului de impuls al sistemului relativ la un centru (axă) este egală cu suma momentelor forțelor externe ale sistemului față de același centru (axă):

Consecințe: dacă forțele externe ale sistemului nu oferă un moment relativ la un centru (ax) dat, atunci momentul unghiular al sistemului față de acest centru (axă) este o valoare constantă.

Dacă forțele aplicate unui punct nu produc un moment relativ la un centru dat, atunci momentul unghiular al punctului față de acest centru este o valoare constantă, iar punctul descrie o traiectorie plană.

TEOREMA ENERGIEI CINETICĂ

1. Pentru un punct: modificarea energiei cinetice a unui punct la deplasarea sa finală este egală cu munca forțelor active aplicate acestuia (componentele tangențiale ale reacțiilor legăturilor neideale sunt incluse în numărul de active forte):

Pentru cazul mișcării relative: modificarea energiei cinetice a unui punct în timpul mișcării relative este egală cu munca forțelor active aplicate acestuia și forța de transfer a inerției (vezi „Cazurile speciale de integrare”):

2. Pentru un sistem: modificarea energiei cinetice a sistemului la o anumită deplasare a punctelor sale este egală cu munca forțelor active externe aplicate acestuia și a forțelor interne aplicate punctelor sistemului, distanța dintre care se schimba:

Dacă sistemul este imuabil (corp solid), atunci ΣA i =0 și modificarea energiei cinetice este egală cu munca numai forțelor active externe.

TEOREMA DESPRE MIȘCAREA CENTRULUI DE MASĂ AL UNUI SISTEM MECANIC. Centrul de masă al unui sistem mecanic se mișcă ca un punct a cărui masă este egală cu masa întregului sistem M=Σm i , căruia i se aplică toate forțele externe ale sistemului:

sau sub formă de coordonate:

unde este accelerația centrului de masă și proiecția acestuia pe axele de coordonate carteziene; forța externă și proiecțiile acesteia pe axele de coordonate carteziene.

TEOREMA MOMENTULUI PENTRU SISTEM, EXPRIMATĂ ÎN PRIN MIȘCAREA CENTRUULUI DE MASĂ.

Modificarea vitezei centrului de masă al sistemului într-o perioadă finită de timp este egală cu impulsul forțelor externe ale sistemului în aceeași perioadă de timp, împărțit la masa întregului sistem.

Teoreme generale de dinamică- aceasta este o teoremă asupra mișcării centrului de masă al unui sistem mecanic, o teoremă asupra schimbării momentului, o teoremă asupra modificării momentului unghiular principal (momentul cinetic) și o teoremă asupra modificării energiei cinetice a unui sistem mecanic.

Teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic

Teorema asupra mișcării centrului de masă.
Produsul dintre masa unui sistem și accelerația centrului său de masă este egal cu suma vectorială a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului:
.

Aici M este masa sistemului:
;
a C este accelerația centrului de masă al sistemului:
;
v C - viteza centrului de masă al sistemului:
;
r C - vectorul rază (coordonatele) centrului de masă al sistemului:
;
- coordonatele (faţă de centrul fix) şi masele punctelor care alcătuiesc sistemul.

Teorema despre schimbarea impulsului (momentum)

Cantitatea de mișcare (impuls) a sistemului este egal cu produsul masei întregului sistem cu viteza centrului său de masă sau cu suma impulsurilor (suma impulsurilor) punctelor sau părților individuale care alcătuiesc sistemul:
.

Teorema privind modificarea impulsului în formă diferenţială.
Derivata în timp a cantității de mișcare (impuls) a sistemului este egală cu suma vectorială a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului:
.

Teorema privind modificarea impulsului în formă integrală.
Modificarea impulsului (momentul) sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor forțelor externe în aceeași perioadă de timp:
.

Legea conservării impulsului (momentum).
Dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este zero, atunci vectorul impuls al sistemului va fi constant. Adică, toate proiecțiile sale pe axele de coordonate vor menține valori constante.

Dacă suma proiecțiilor forțelor externe pe orice axă este zero, atunci proiecția cantității de mișcare a sistemului pe această axă va fi constantă.

Teorema privind modificarea momentului unghiular principal (teorema momentelor)

Momentul unghiular principal al unui sistem relativ la un centru dat O se numește mărime egală cu suma vectorială a momentului unghiular al tuturor punctelor sistemului relativ la acest centru:
.
Aici parantezele pătrate indică produsul încrucișat.

Sisteme atașate

Următoarea teoremă se aplică în cazul în care un sistem mecanic are un punct fix sau o axă fixă ​​în raport cu un cadru de referință inerțial. De exemplu, un corp asigurat de un rulment sferic. Sau un sistem de corpuri care se deplasează în jurul unui centru fix. Poate fi, de asemenea, o axă fixă ​​în jurul căreia se rotește un corp sau un sistem de corpuri. În acest caz, momentele ar trebui înțelese ca momente de impuls și forțe relativ la axa fixă.

Teorema privind modificarea momentului unghiular principal (teorema momentelor)
Derivata în timp a momentului unghiular principal al sistemului în raport cu un centru fix O este egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe ale sistemului relativ la același centru.

Legea conservării momentului unghiular principal (momentul unghiular).
Dacă suma momentelor tuturor forțelor externe aplicate sistemului în raport cu un centru fix dat O este egală cu zero, atunci momentul unghiular principal al sistemului în raport cu acest centru va fi constant. Adică, toate proiecțiile sale pe axele de coordonate vor menține valori constante.

Dacă suma momentelor forțelor externe în raport cu o axă fixă ​​este zero, atunci momentul unghiular al sistemului față de această axă va fi constant.

Sisteme arbitrare

Următoarea teoremă are un caracter universal. Se aplică atât sistemelor fixe, cât și celor care se mișcă liber. În cazul sistemelor fixe, este necesar să se țină cont de reacțiile conexiunilor la punctele fixe. Diferă de teorema anterioară prin aceea că, în loc de un punct fix O, ar trebui să luăm centrul de masă C al sistemului.

Teorema momentelor despre centrul de masă
Derivată în timp a momentului unghiular principal al sistemului față de centrul de masă C este egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe ale sistemului față de același centru.

Legea conservării momentului unghiular.
Dacă suma momentelor tuturor forțelor externe aplicate sistemului în raport cu centrul de masă C este egală cu zero, atunci momentul principal al impulsului sistemului față de acest centru va fi constant. Adică, toate proiecțiile sale pe axele de coordonate vor menține valori constante.

Momentul de inerție al corpului

Dacă corpul se rotește în jurul axei z cu viteza unghiulară ω z, atunci momentul său unghiular (momentul cinetic) în raport cu axa z este determinat de formula:
L z = J z ω z ,
unde J z este momentul de inerție al corpului față de axa z.

Momentul de inerție al corpului față de axa z determinat de formula:
,
unde h k este distanța de la un punct de masă m k la axa z.
Pentru un inel subțire de masă M și rază R sau un cilindru a cărui masă este distribuită de-a lungul marginii sale,
Jz = M R 2 .
Pentru un inel sau un cilindru solid omogen,
.

Teorema Steiner-Huygens.
Fie Cz axa care trece prin centrul de masă al corpului, Oz axa paralelă cu acesta. Atunci momentele de inerție ale corpului față de aceste axe sunt legate prin relația:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
unde M este greutatea corporală; a este distanța dintre axe.

Într-un caz mai general:
,
unde este tensorul de inerție al corpului.
Iată un vector desenat din centrul de masă al corpului până la un punct cu masa m k.

Teorema privind schimbarea energiei cinetice

Fie ca un corp de masă M să efectueze mișcare de translație și rotație cu viteza unghiulară ω în jurul unei axe z.
,
Apoi, energia cinetică a corpului este determinată de formula:
J Cz este momentul de inerție al corpului față de axa care trece prin centrul de masă al corpului paralel cu axa de rotație. Direcția axei de rotație se poate schimba în timp. Această formulă oferă valoarea instantanee a energiei cinetice.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem în formă diferențială.
Diferența (incrementul) energiei cinetice a unui sistem în timpul unei mișcări este egală cu suma diferențelor de lucru asupra acestei mișcări a tuturor forțelor externe și interne aplicate sistemului:
.

Teoremă privind modificarea energiei cinetice a unui sistem în formă integrală.
Modificarea energiei cinetice a sistemului în timpul unei mișcări este egală cu suma muncii asupra acestei mișcări a tuturor forțelor externe și interne aplicate sistemului:
.

Munca făcută de forță, este egal cu produsul scalar al vectorilor de forță și deplasarea infinitezimală a punctului de aplicare a acestuia:
,
adică produsul valorilor absolute ale vectorilor F și ds cu cosinusul unghiului dintre ei.

Munca făcută de momentul forței, este egal cu produsul scalar al vectorilor de cuplu și unghiul infinitezimal de rotație:
.

principiul lui d'Alembert

Esența principiului lui d'Alembert este de a reduce problemele de dinamică la problemele de statică. Pentru a face acest lucru, se presupune (sau se știe dinainte) că corpurile sistemului au anumite accelerații (unghiulare). În continuare, sunt introduse forțe inerțiale și (sau) momente ale forțelor inerțiale, care sunt egale ca mărime și opuse ca direcție forțelor și momentelor forțelor care, conform legilor mecanicii, ar crea accelerații date sau accelerații unghiulare.

Să ne uităm la un exemplu. Corpul suferă mișcare de translație și este acționat de forțe externe. În plus, presupunem că aceste forțe creează o accelerare a centrului de masă al sistemului. Conform teoremei privind mișcarea centrului de masă, centrul de masă al unui corp ar avea aceeași accelerație dacă o forță ar acționa asupra corpului. În continuare introducem forța de inerție:
.
După aceasta, problema de dinamică:
.
;
.

Pentru mișcarea de rotație procedați în același mod. Lăsați corpul să se rotească în jurul axei z și să fie acționat de momentele exterioare de forță M e zk .
.
Presupunem că aceste momente creează o accelerație unghiulară ε z.
;
.

În continuare, introducem momentul forțelor de inerție M И = - J z ε z.

După aceasta, problema de dinamică:

Se transformă într-o problemă de statică:.
Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă mișcare a sistemului să fie egală cu zero.

Posibilă mutare a sistemului- aceasta este o mica miscare in care conexiunile impuse sistemului nu sunt intrerupte.

Conexiuni ideale- acestea sunt conexiuni care nu efectuează lucru atunci când sistemul se mișcă. Mai precis, cantitatea de muncă efectuată de conexiunile în sine la mutarea sistemului este zero.

Ecuația generală a dinamicii (principiul D'Alembert - Lagrange)

Principiul D'Alembert-Lagrange este o combinație a principiului D'Alembert cu principiul mișcărilor posibile. Adică, atunci când rezolvăm o problemă dinamică, introducem forțe inerțiale și reducem problema la o problemă statică, pe care o rezolvăm folosind principiul posibilelor deplasări.

Principiul D'Alembert-Lagrange.
Atunci când un sistem mecanic cu conexiuni ideale se mișcă, în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor inerțiale asupra oricărei mișcări posibile a sistemului este zero:
.
Această ecuație se numește ecuația generală a dinamicii.

Ecuații Lagrange

Coordonate q generalizate 1 , q 2 , ..., q n este o mulțime de n mărimi care determină în mod unic poziția sistemului.

Numărul de coordonate generalizate n coincide cu numărul de grade de libertate ale sistemului.

Viteze generalizate sunt derivate ale coordonatelor generalizate în raport cu timpul t.

Forțele generalizate Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Să considerăm o posibilă mișcare a sistemului, la care coordonata q k va primi o mișcare δq k.
Coordonatele rămase rămân neschimbate. Fie δA k munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de mișcări. Apoi
.

δA k = Q k δq k sau
Dacă, cu o posibilă mișcare a sistemului, toate coordonatele se schimbă, atunci munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de mișcări are forma: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Atunci forțele generalizate sunt derivate parțiale ale lucrului asupra deplasărilor: Pentru forțele potențiale
.

cu potențial Π, Ecuații Lagrange

sunt ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic în coordonate generalizate:
.

Aici T este energia cinetică. Este o funcție de coordonate generalizate, viteze și, eventual, timp. Prin urmare, derivata sa parțială este, de asemenea, o funcție de coordonate generalizate, viteze și timp. În continuare, trebuie să țineți cont de faptul că coordonatele și vitezele sunt funcții de timp. Prin urmare, pentru a găsi derivata totală în funcție de timp, trebuie să aplicați regula de diferențiere a unei funcții complexe:
S. M. Targ, Curs scurt de mecanică teoretică, „Școala superioară”, 2010.

Dinamica:
Dinamica unui sistem material
§ 35. Teorema asupra mişcării centrului de masă al unui sistem material

Probleme cu soluțiile

35.1 Să se determine vectorul principal al forțelor externe care acționează asupra volantului M, care se rotește în jurul axei AB. Axa AB, montată într-un cadru circular, se rotește la rândul său în jurul axei DE. Centrul de masă C al volantului se află în punctul de intersecție al axelor AB și DE.
SOLUŢIE

35.2 Determinați vectorul principal al forțelor externe aplicate riglei AB a elipsografului prezentat în figură. Manivela OC se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω; masa riglei AB este egală cu M; OC=AC=BC=l.
SOLUŢIE

35.3 Să se determine vectorul principal al forțelor exterioare care acționează asupra unei roți de masă M care se rostogolește în jos dintr-un plan înclinat dacă centrul său de masă C se mișcă conform legii xC=at2/2.
SOLUŢIE

35.4 O roată alunecă de-a lungul unei linii orizontale sub acțiunea unei forțe F prezentată în figură. Aflați legea de mișcare a centrului de masă C al roții dacă coeficientul de frecare de alunecare este f, a F=5fP, unde P este greutatea roții. În momentul inițial, roata era în repaus.
SOLUŢIE

35.5 O roată alunecă de-a lungul unei linii orizontale sub influența unui cuplu aplicat acesteia. Aflați legea de mișcare a centrului de masă C al roții dacă coeficientul de frecare de alunecare este egal cu f. În momentul inițial, roata era în repaus.
SOLUŢIE

35.6 Un vagon de tramvai efectuează oscilații armonice verticale asupra arcurilor cu o amplitudine de 2,5 cm și o perioadă de T=0,5 s. Masa caroseriei cu o sarcină este de 10 tone, masa boghiului și a roților este de 1 tonă. Determinați forța de presiune a mașinii pe șine.
SOLUŢIE

35.7 Să se determine forța de presiune pe sol a unei pompe pentru pomparea apei atunci când aceasta funcționează în gol, dacă masa părților staționare ale corpului D și fundația E este egală cu M1, masa manivelei OA=a este egală cu M2, masa legăturii B și a pistonului C este egală cu M3. Manivela OA, care se rotește uniform cu viteza unghiulară ω, este considerată a fi o tijă omogenă.
SOLUŢIE

35.8 Folosind datele din problema anterioară, presupunem că pompa este instalată pe o fundație elastică, al cărei coeficient de elasticitate este egal cu c. Aflați legea de mișcare a axei O a manivelei OA pe verticală, dacă în momentul inițial axa O se afla într-o poziție de echilibru static și i s-a conferit o viteză verticală descendentă v0. Luați originea axei x, îndreptată vertical în jos, în poziția de echilibru static a axei O. Neglijați forțele de rezistență.
SOLUŢIE

35.9 Foarfecele pentru tăierea metalului constă dintr-un mecanism manivelă-glisor OAB, la glisorul B căruia este atașat un cuțit mobil. Cuțitul fix se fixează pe fundația C. Determinați presiunea fundației pe sol dacă lungimea manivelei r, masa manivela M1, lungimea bielei l, masa glisorului B cu cuțitul mobil M2, masa fundației C și a corpului D este egală cu M3. Neglijați masa bielei. Manivela OA, care se rotește uniform cu viteza unghiulară ω, este considerată a fi o tijă omogenă.
SOLUŢIE

35.10 Motorul electric de masă M1 este instalat fără elemente de fixare pe o fundație orizontală netedă; o tijă omogenă de lungime 2l și masă M2 este fixată în unghi drept de arborele motorului la un capăt o sarcină punctuală de masă M3 la celălalt capăt al tijei; viteza unghiulară a arborelui este ω. Determinați: 1) mișcarea orizontală a motorului; 2) cea mai mare forță orizontală R care acționează asupra șuruburilor dacă fixează carcasa motorului electric de fundație.
SOLUŢIE

35.11 Folosind condițiile problemei anterioare, calculați viteza unghiulară ω a arborelui motorului electric la care motorul electric va sări deasupra fundației fără a fi fixat cu șuruburi.
SOLUŢIE

35.12 La asamblarea motorului electric, rotorul acestuia B a fost montat excentric pe axa de rotație C1 la distanța C1C2=a, unde C1 este centrul de masă al statorului A, iar C2 este centrul de masă al rotorului B. Rotorul se rotește uniform cu viteza unghiulară ω. Motorul electric este instalat în mijlocul unei grinzi elastice, a cărei deformare statică este egală cu Δ; M1 este masa statorului, M2 este masa rotorului. Aflați ecuația de mișcare a punctului C1 pe verticală dacă în momentul inițial acesta era în repaus într-o poziție de echilibru static. Neglijați forțele de rezistență. Originea axei x este luată în poziția de echilibru static a punctului C1.
SOLUŢIE

35.13 Un motor electric de masă M1 este montat pe o grindă a cărei rigiditate este egală cu c. O masă de masă M2 este montată pe arborele motorului la o distanță l de axa arborelui. Viteza unghiulară a motorului ω=const. Determinați amplitudinea oscilațiilor forțate ale motorului și numărul critic al rotațiilor acestuia pe minut, neglijând masa fasciculului și rezistența la mișcare.
SOLUŢIE

35.14 Figura prezintă un cărucior de macara A de masă M1, care este frânat în mijlocul unei grinzi BD. În centrul de masă C1 al căruciorului, este suspendat un cablu de lungime l cu o sarcină C2 de masă M2 atașată de acesta. Un cablu cu sarcină realizează oscilații armonice în plan vertical. Determinați: 1) reacția verticală totală a grinzii BD, considerând-o rigidă; 2) legea de mișcare a punctului C1 pe direcție verticală, considerând elasticul fasciculului cu un coeficient de elasticitate egal cu c. La momentul inițial, grinda, fiind nedeformată, se afla în repaus în poziție orizontală. Considerând că vibrațiile cablului sunt mici, se acceptă: sin φ≈φ, cos φ≈1. Originea axei y este luată la poziția de echilibru static a punctului C1. Neglijați masa cablului și dimensiunile căruciorului față de lungimea grinzii.
SOLUŢIE

35.15 Păstrând datele din problema anterioară şi considerând grinda BD rigidă, determinaţi: 1) reacţia totală orizontală a şinelor; 2) presupunând că căruciorul nu este frânat, legea de mișcare a centrului de masă C1 al căruciorului A de-a lungul axei x. La momentul inițial, punctul C1 era în repaus la originea axei x. Cablul oscilează conform legii φ=φ0 cos ωt.
SOLUŢIE

35.16 Pe bancheta din mijloc a bărcii, care era în repaus, stăteau doi oameni. Una dintre ele, masa M1=50 kg, s-a deplasat spre dreapta la prova ambarcațiunii. În ce direcție și la ce distanță trebuie să se deplaseze a doua persoană cu masa M2=70 kg pentru ca barca să rămână în repaus? Lungimea bărcii este de 4 m. Neglijați rezistența apei la mișcarea bărcii.
SOLUŢIE

35.17 O prismă omogenă B este plasată pe o prismă omogenă A aflată pe un plan orizontal; secțiunile transversale ale prismelor sunt triunghiuri dreptunghiulare, masa prismei A este de trei ori mai mare decât masa prismei B. Presupunând că prismele și planul orizontal sunt în mod ideal netede, determinați lungimea l cu care prisma A se va mișca atunci când prisma. B, coborând de-a lungul lui A, ajunge în planul orizontal.
SOLUŢIE

35.18 Pe o platformă orizontală de mărfuri cu lungimea de 6 m și masa de 2700 kg, aflată inițial în repaus, doi muncitori rostogolesc o turnare grea de la capătul stâng al platformei spre dreapta. În ce direcție și cât de mult se va mișca platforma dacă masa totală a încărcăturii și a lucrătorilor este de 1800 kg? Neglijați forțele de rezistență la mișcarea platformei.
SOLUŢIE

35.19 Două sarcini M1 și M2, respectiv masele M1 și M2, legate printr-un fir inextensibil aruncat peste blocul A, alunecă de-a lungul laturilor netede ale unei pane dreptunghiulare sprijinindu-se cu baza sa BC pe un plan orizontal neted. Aflați deplasarea panei de-a lungul planului orizontal la coborârea sarcinii M1 la o înălțime de h=10 cm Masa panei M=4M1=16M2; Neglijați masa firului și blocați.
SOLUŢIE

35.20 Trei mase de masă M1=20 kg, M2=15 kg și M3=10 kg sunt legate printr-un fir inextensibil aruncat prin blocuri fixe L și N. Când masa M1 este coborâtă în jos, masa M2 se deplasează de-a lungul bazei superioare a unui patrulater. piramida trunchiată ABCD cu masa M=100 kg spre dreapta, iar sarcina M3 se ridică de-a lungul marginii laterale AB în sus. Neglijând frecarea dintre piramida trunchiată ABCD și podea, determinați deplasarea piramidei trunchiate ABCD față de podea dacă sarcina M1 se mișcă în jos cu 1 m. Neglijați masa filetului.
SOLUŢIE

35.21 O macara rotativă mobilă pentru repararea unei rețele electrice stradale este instalată pe un vehicul cu greutatea de 1 tonă Leagănul K al macaralei, montat pe o tijă L, poate fi rotit în jurul unei axe orizontale O, perpendiculară pe planul desenului. La momentul inițial, macaraua, care ocupa o poziție orizontală, și mașina erau în repaus. Determinați deplasarea vehiculului nefrânat dacă macaraua este rotită cu 60°. Masa unei tije omogene L cu lungimea de 3 m este de 100 kg, iar leagănul K este de 200 kg. Centrul de masă C al leagănului K este situat la o distanţă OC=3,5 m de axa O. Neglijează rezistenţa la mişcare.

Universitatea de Stat din Sankt Petersburg
aviație civilă
Departamentul nr. 6 - „Mecanica”
Secțiunea III
"DINAMICĂ"
Sankt Petersburg
- 2016 -1. Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Bine
mecanică teoretică. Statica, cinematica,
dinamica. Manual. M.: KNORS. 2011. - 608 p.
2. Meshchersky I.V. Probleme teoretice
mecanici. Manual Beneficia. Sankt Petersburg: Lan. 2011. - 448 p.
3. Targ M.S. Curs de mecanică teoretică. M.:
Facultate. 2012. - 548 p.
4. Cernov K.I. Fundamentele mecanicii tehnice. M.:
Inginerie mecanică. 1986. - 256 p.
5. Aret V.A. „Învățare la distanță
tehnologie". (manual electronic www.openmechanics.com), 2016 Cursul 1. Introducere
în dinamică. Legi și axiome
dinamica unui punct material. Ecuația de bază
difuzoare. Ecuații diferențiale și naturale
miscarile. Două probleme principale ale dinamicii. Exemple
rezolvarea problemei directe a dinamicii.
Curs 2. Rezolvarea problemei inverse a dinamicii. General
instrucţiuni pentru rezolvarea problemei inverse de dinamică. Exemple
rezolvarea problemei inverse a dinamicii. Mișcarea corpului
aruncat in unghi fata de orizontala, fara a tine cont de rezistenta
aer.
Curs 3. Oscilatii rectilinie ale unui punct material.
Stare
aparitie
ezitare.
Clasificare
ezitare. Vibrații libere fără a lua în considerare forțele
rezistenţă.
În descompunere
fluctuatii.
Decrementează
ezitare.
Curs 4. Oscilații forțate ale unui punct material.
Rezonanţă.
Influenţa
rezistenţă
circulaţie
la
vibrații forțate. Mișcarea relativă a unui punct material.
Forțe de inerție. Cazuri speciale de mișcare pentru diverse
tipuri de mișcare portabilă. Influența rotației Pământului asupra
echilibrul și mișcarea corpurilor.
Curs 6. Dinamica unui sistem mecanic. Mecanic
sistem. Forțe externe și interne. Centrul de masă al sistemului.
Teorema asupra mișcării centrului de masă. Legile de conservare.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema despre
mișcarea centrului de masă.
Curs 7. Impulsul de forță. Cantitatea de mișcare. Teorema despre
modificarea impulsului. Legile de conservare.
teorema lui Euler. Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind
teoreme privind schimbările de impuls. Moment
cantitatea de mișcare. Teorema schimbării cuplului
cantitatea de miscare...
Curs 8. Legi de conservare. Elemente de teoria momentului
inerţie.
Cinetică
moment
solid
corpuri.
Ecuația diferențială pentru rotația unui corp rigid.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema despre
schimba
moment
cantități
circulaţie
sisteme.
Teoria elementară a giroscopului.

INTRODUCERE ÎN DINAMICĂ

Cursul 1
INTRODUCERE ÎN DINAMICĂ
Dinamica este o secțiune a mecanicii teoretice,
studiind mișcarea mecanică din punctul ei cel mai general
viziune. Mișcarea este luată în considerare în legătură cu curentul
la obiect prin forță.
Secțiunea este formată din trei secțiuni:
Dinamica
Dinamica
Dinamica
punct material
sistem mecanic
Mecanica analitica
Dinamica unui punct – studiază mișcarea unui punct material
ţinând cont de forţele care provoacă această mişcare.
Obiectul principal este un punct material – material
un corp cu masă ale cărui dimensiuni pot fi
neglijare.

Dinamica unui sistem mecanic – studiază mișcarea
colecții de puncte materiale și corpuri solide,
unite de legile generale ale interactiunii, tinand cont
forţele care provoacă această mişcare.
Mecanica analitică – studiază mișcarea neliberului
sisteme mecanice folosind comun
metode analitice.
Ipoteze cheie:
– există spațiu absolut (are pur
proprietăţi geometrice independente de materie şi
mișcările ei);
– timpul absolut există (nu depinde de materie și
mișcările ei).

Din aceasta rezultă:
– există un sistem de referință absolut nemișcat;
– timpul nu depinde de mișcarea cadrului de referință;
– masele punctelor în mișcare nu depind de mișcare
sisteme de referință.
Aceste ipoteze sunt folosite în mecanica clasică,
creat de Galileo și Newton. Ea încă mai are
o gamă destul de largă de aplicaţii, deoarece
mecanice considerate în ştiinţele aplicate
sistemele nu au mase atât de mari şi
vitezele de deplasare pentru care este necesar să se țină cont de ele
influența asupra geometriei spațiului, timpului, mișcării, cum
acest lucru se realizează în mecanica relativistă (teoria
relativitatea).

Forța este o cantitate variabilă și depinde de:
a) timp - F f (t),
b) poziția punctului de aplicare a forței - F f (r),
c) viteza de deplasare
puncte de aplicare a forţei - F f (V).
Un punct material poate fi liber dacă există
Nu există restricții de mișcare. Altfel,
punctul material este numit non-liber
Inerția este o proprietate a unui corp material care este mai rapid sau
schimbați-vă viteza mai încet
sub influenţa forţelor aplicate acestuia
Sistemele de referință inerțiale sunt acele sisteme
unde legea inerției este îndeplinită; altfel, sistemele
punctele de referință sunt neinerțiale

13. TIPURI DE BAZĂ DE FORȚE

Gravitaţie.
Fmg
g 9,81 m/s2
accelerația gravitației
F f N reacție normală.
coeficientul de frecare
f 6,673 10-11 m3/(kg s2).
F f m1m2 r 2
Forța de frecare de alunecare
Forța gravitației.
constantă gravitațională
Forță elastică
Fc
alungirea (compresia) arcului (m)
constantă elastică (N/m).
Forța de frecare vâscoasă. Fv
viteza corpului
densitate medie
mișcare lentă
coeficientul de rezistență
1
F cx Sv 2
2
Forța hidrodinamică
pătrat
coeficientul de rezistență laterală
rezistenţă.
secțiuni
mișcare rapidă

14. Legi și axiome ale dinamicii punctului de împerechere
Mecanica clasică se bazează pe legi care pentru prima dată
expuse de I. Newton în lucrarea sa „Principii matematice
filozofia naturală” (1687).
Legile de bază ale dinamicii – descoperite pentru prima dată de Galileo și
formulate de Newton formează baza tuturor metodelor
descrierea si analiza miscarii sistemelor mecanice si a acestora
interacţiune dinamică sub influenţa diferitelor forţe.
Legea inerției (Legea Galileo-Newton) – Izolată
corpul punctului material își menține starea de repaus
sau mişcare rectilinie uniformă până când
forţele aplicate nu o vor forţa să schimbe această stare.
Aceasta implică echivalența stării de repaus și de mișcare
prin inerție (legea relativității a lui Galileo). Sistem de referință
în raport cu care legea inerției este îndeplinită,
numită inerțială. Proprietatea unui punct material
străduiți-vă să mențineți aceeași viteză de mișcare
(starea sa cinematică) se numește inerție.

Legea proporționalității forței și a accelerației
(Ecuația de bază a dinamicii - legea lui Newton II) –
Accelerația dată unui punct material de forță este
direct proporțional cu forța și invers
proporțional cu masa acestui punct: a 1 F sau ma
m
F.
Aici m este masa punctului (o măsură a inerției), măsurată în kg,
egal numeric cu greutatea împărțită la accelerația liberului
cade:
G
m
g
.
F – forța efectivă, măsurată în N (1 N spune punctul
masa 1 kg acceleratie 1 m/s2, 1 N = 1/9,81 kgf).

Legea egalității de acțiune și reacție (legea III
Newton) - Pentru fiecare acțiune îi corespunde un egal
magnitudine și direcție opusă
opoziţie:
m
F2.1m
F1,2
F1, 2 F2,1
1
2
Legea este valabilă pentru orice stare cinematică
tel. Forțele de interacțiune, fiind aplicate la diferite
punctele (corpurile) nu sunt echilibrate.
Legea acțiunii independente a forțelor – Accelerația
punct material sub influența mai multor forțe
egală cu suma geometrică a accelerațiilor unui punct de la
acțiunile fiecărei forțe separat:
a (F1 , F2 ,...) a1 (F1) a2 (F2) ....
sau
a (R) a1 (F1) a2 (F2) ....

15. Ecuația de bază a dinamicii
Legea de bază a dinamicii: produsul masei materiale
puncte pe accelerația sa, pe care o primește sub influență
forță, egală cu modulul acestei forțe, și direcția accelerației
coincide cu direcția vectorului forță
ma F
sau
ma Fk
n
Ecuația de bază a dinamicii: ma Fi (1).
- corespunde metodei vectoriale de precizare a mișcării unui punct.

15.1. Ecuații diferențiale ale mișcării
punct material
Să înlocuim accelerația punctului cu sarcina vectorială
circulaţie
d 2r
o
dt
2
.
2
d
în ecuația de bază a dinamicii: m r
Fi
2
dt
(2) - diferential
ecuația de mișcare a unui punct în
formă vectorială.
(2).
M
F1
F2
r
O
o

În formă de coordonate: Folosim conexiunea rază-vector cu
coordonate și vector forță cu proiecții:
r (t) x(t)i y(t) j z (t)k
Fi Fixi Fiy j Fiz k
d2
După grupare
m 2 (xi yj zk) (Fixi Fiy j Fiz k).
raport vectorial
dt
se dezintegrează
d 2x
m x Fix ;
Oh
:
m
F
;
ix
2
în trei scalari
dt
m y Fiy ;
sau
2
ecuatii:
d y
z
Oi
:
m
Fiy;
2
az
m z Fiz .
dt
M(x,y,z)
r
O
i
x
k
da
topor
d 2z
(Oz) : m 2 Fiz . - diferential
dt
ecuațiile de mișcare
z
j
x
y
y
puncte în coordonate
formă.
Acest rezultat poate fi obținut
proiecția formală a vectorului
ecuația diferențială (1).

Ecuațiile naturale ale mișcării unui punct material
– se obţin prin proiectarea vectorului
ecuația diferențială a mișcării la natural
axe de coordonate (în mișcare):
m s Fiτ ;
(): maτ τ Fiτ ;
(n): om Fin ; sau
s 2
m
Fin.
(b): m0 Fib.
s
O1 n
F2
- naturală
ecuații
circulaţie
puncte.
b
M
o
F1
- naturală
ecuațiile de mișcare
puncte.

16. Două probleme principale ale dinamicii
Problemă directă: este dată mișcarea (ecuații de mișcare,
traiectorie). Este necesar să se determine forțele sub influență
care are loc o mișcare dată.
Problemă inversă: Având în vedere forțele sub influența cărora
apare miscarea. Trebuie să găsiți parametri
y
circulaţie
(ecuațiile mișcării, traiectoria mișcării).
Ambele probleme sunt rezolvate folosind ecuația de bază a dinamicii și
proiectia acestuia pe axele de coordonate. Dacă se ia în considerare mișcarea
punct neliber, atunci, ca în statică, se folosește principiul
libertatea de legături. Ca rezultat al reacției, legăturile sunt pornite
în forțele care acționează asupra unui punct material. Soluția în primul rând
sarcini legate
cu operatii de diferentiere. Rezolvarea inversului
r
problema O necesită integrarea diferenţialului corespunzător
ecuații și acest lucru este mult mai dificil decât diferențierea.
Problema inversă este mai dificilă decât problema directă

Soluția la problema directă a dinamicii - luați în considerare la
exemple:
Exemplul 1. O cabină de lift cu greutatea G este ridicată printr-un cablu cu
accelerare a. Determinați tensiunea cablului.
Soluție: 1. Selectați un obiect (vagonul liftului se deplasează înainte și
poate fi considerat ca punct material).
2. Aruncăm conexiunea (cablul) și o înlocuim cu reacția R.
3. Compunem ecuația de bază a dinamicii: ma Fi G R
y
4. Proiectați ecuația de bază a dinamicii pe axa y:
R
(Oy): mai R G .
Cu mișcare uniformă a cabinei, ay = 0 și tensiunea cablului
egal cu greutatea: T = G.
o
Dacă cablul se rupe, T = 0 și accelerația cabinei este egală cu accelerația
cădere liberă: ay = -g.
G
da
G
O
R G mai G a y G(1).
Determinăm reacția cablului:
g
g
Determinați tensiunea cablului:
TR; T R G(1
da
g
).

Rezolvarea problemei inverse de dinamică – În general
mişcările unui punct de forţă care acţionează asupra unui punct sunt
variabile în funcție de timp, coordonate și viteză.
Mișcarea unui punct este descrisă printr-un sistem de trei
m x Fix ;
ecuații diferențiale de ordinul doi: m y F ;
iy
După integrare
fiecare dintre ele va fi x f1 (t, C1, C 2, C3); xf4 (t, C1, C2,..., C6); m z Fiz .
șase constante y f2 (t, C1, C2, C3); y f (t, C, C,..., C); x x ; y y ; z z ;
5
1
2
6
0
0
0
C1, C2,…., C6:
zf3 (t, C1, C2, C3).
zf6 (t, C1, C2,..., C6). x x ; y y ; z z .
0
0
0
Valorile constantelor C1, C2,…., C6
sunt de la șase inițiale
x f1 (t, x 0, y 0, z 0); x f 4 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
condiții la t = 0:
După înlocuirea y f 2 găsită (t, x 0, y 0, z 0); yf 5 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
valorile constantelor obținem: z f (t, x, y, z). z f 6 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0).
3
0
0
0
Aşa
fel, sub influența aceluiași sistem de forțe
x
un punct material poate efectua o întreagă clasă de mișcări,
determinat de condiţiile iniţiale.
Coordonatele inițiale țin cont de poziția inițială a punctului. Iniţială
viteza specificată de proiecții ține cont de influența asupra mișcării sale de-a lungul
secţiunea considerată a traiectoriei forţelor care acţionează asupra punctului anterior
sosirea pe acest site, i.e. starea cinematică inițială.

17. Instrucțiuni generale pentru rezolvarea directă și inversă
sarcini. Procedura de rezolvare
1. Întocmirea unei ecuații diferențiale a mișcării:
1.1. Selectați un sistem de coordonate – dreptunghiular
(staționar) cu o traiectorie de mișcare necunoscută,
natural (în mișcare) cu o traiectorie cunoscută,
de exemplu, un cerc sau o linie dreaptă. În acest din urmă caz
poate fi utilizată o coordonată liniară. Început
aliniați punctul de referință cu poziția inițială a punctului (la t = 0)
sau cu poziția de echilibru a punctului, dacă acesta există,
de exemplu, când un punct oscilează.

1.2. Desenați un punct într-o poziție corespunzătoare
la un moment arbitrar de timp (la t > 0) astfel încât
coordonatele au fost pozitive (s > 0, x > 0). În același timp
De asemenea, credem că proiecția vitezei în această poziție
este de asemenea pozitiv. În cazul oscilațiilor, proiecția vitezei
schimbă semnul, de exemplu, la întoarcerea la poziție
echilibru. Aici trebuie acceptat că în considerate
moment în timp punctul se îndepărtează de poziţia de echilibru.
Urmărirea acestei recomandări este importantă pe viitor
lucrând cu forțe de rezistență dependente de viteză.
1.3. Eliberați punctul material de conexiuni, înlocuiți
acțiunea lor este reacții, adăugați forțe active.
1.4. Scrieți legea de bază a dinamicii în formă vectorială,
proiectați pe axele selectate, exprimați cele specificate
sau forțe reactive prin variabile timp, coordonate
sau viteza, daca depind de ele.

2. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale:
2.1. Coborâți derivata dacă ecuația nu este
redus la forma canonică (standard).
De exemplu:
dv x sau s dv .
x
,
dt
dt
2.2. Variabile separate, de exemplu:
dvx
1
dvx
1
dv
k
kdt sau
gv2,
kvx,
vx
m
dt
m
dt
m
dv
dt.
k 2
g v
m
2.3. Dacă există trei variabile în ecuație,
apoi faceți o schimbare de variabile, de exemplu:
dv x
1
cx,
dt
m
dv x dx v x dv x
1
cx
dtdx
dx
m
și apoi separați variabilele.

2.4. Calculați integrale nedefinite în stânga și
în partea dreaptă a ecuației, de exemplu:
dv x
1
vx m kdt
1
ln v x kt C1
m
Folosind condiții inițiale, de exemplu t = 0, vx = vx0,
determinați constanta de integrare:
1
ln v x v k t 0 C1; C1 ln v x 0 .
x0
m
Comentariu. În loc să calculați integrale nedefinite, puteți
evaluează integrale definite cu variabilă superioară
limită.
Limitele inferioare reprezintă valorile inițiale ale variabilelor
(condiții inițiale). Atunci nu este necesară o constatare separată
o constantă care este inclusă automat în soluție, de exemplu:
v
t
dv
1
v
mkdt.
v 0
0
lnv
v
v 0
1 t
kt 0 ;
m
ln v ln v 0
1
1
kt 0; ln v kt ln v 0 .
m
m

2.5. Exprimați viteza prin derivata coordonatei în raport cu
timpul, de exemplu,
si repeta
1
kt ln v 0
ds
paragrafele 2.2 -2.4
m
v
dt
e
Comentariu. Dacă ecuația se reduce la canonică
tip care are o soluție standard, atunci acesta este un gata făcut
se foloseste solutia.
Se găsesc încă integrări constante din
conditiile initiale.

18. Dinamica unui punct material liber
Mișcarea unui punct aruncat la un unghi față de orizontală în
câmp uniform de greutate fără a lua în considerare
rezistenta aerului
dv x
0;
Oh
:
m
x
0
;
dt
ma
F G.
i
(Оy): m y G mg;
dv y
dt
dv x 0; dv y gdt;
vx
vy
t
vx 0
vy0
0
dv x 0; dv y gdt;
v x v x0 v0 cos ;
y
v0
O
x
G
x
g;
dx
v0cos ;
dt
x v0 cos t;
v y v y 0 gt v0 sin gt ;
dy
v0 sin gt;
dt
gt 2
y v0 sin t
;
2

19. Tipuri de vibrații ale unui punct material
1. Vibrații libere (fără a ține cont de rezistență
mediu).
2. Vibratii libere tinand cont de rezistenta mediului
x
(oscilații amortizate).
3. Vibrații forțate.
4. Oscilații forțate ținând cont de rezistență
mediu.
Vibrații libere - apar sub influența
numai putere de refacere.
Să notăm legea de bază a dinamicii: ma G N R .
Să alegem un sistem de coordonate cu centrul în poziție
echilibru (punctul O) și proiect
ecuația pentru axa x:
O
m x R cx.
l
y
N
R
x
x
G
Să prezentăm ecuația rezultată
c
la forma standard (canonică): x k 2 x 0, unde k 2.
m

Această ecuație este liniară omogenă
ecuație diferențială de ordinul doi, forma
a căror soluţie este determinată de rădăcini
ecuaţia caracteristică obţinută folosind
substituție universală: x e zt .
x zx2 e zt .
z 2 k 2 0.
Rădăcinile ecuației caracteristice
imaginar și egal: z1, 2 ki.
Soluția generală a diferenţialului
ecuația are forma: x C1 cos kt C2 sin kt.
Viteza punctului: x kC sin kt kC cos kt.
1
2
Condiții inițiale: t 0 x x0 , x x 0 .
Să definim
constante: x0 C1 cos k 0 C2 sin k 0 C11 C2 0.
x kC1 sin k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21.
C1 x0 .
C2
x 0
.
k

Oscilații amortizate ale unui punct material –
are loc mișcarea oscilatorie a unui punct material
în prezența puterii și a forței restauratoare
rezistenta la miscare.
Dependența forței de rezistență la mișcare de deplasare
sau viteza este determinată de natura fizică a mediului sau
conexiune care împiedică mișcarea. Cel mai simplu
dependența este liniară cu viteza
(rezistență vâscoasă).
Amortizarea oscilațiilor are loc foarte rapid. Bazele
influența forței de rezistență vâscoasă – scădere
amplitudini ale oscilațiilor în timp.

20. Mișcarea relativă a unui punct material
Să presupunem că sistemul de coordonate în mișcare (neinerțial) Oxyz se mișcă
la o lege relativă la un sistem de coordonate fix (inerțial).
O1x1y1z1. Mișcarea unui punct material M (x, y, z) față de unul aflat în mișcare
sistemul Oxyz– relativ, raportat la sistemul staționar O1x1y1z1–
absolut. Mișcarea sistemului mobil Oxyz față de cel staționar
sisteme O1x1y1z1 – mișcare portabilă.
Absolut
Ecuația de bază a dinamicii: ma Fi. accelerație punctuală:
m(a a a) Fi .
r
e
c
a a a r a e a c.
Să mutăm termenii cu portabil și
r
e
c
Accelerația Coriolis spre partea dreaptă: ma Fi ma ma .
Termenii transferați au dimensiunea forțelor și
sunt considerate forţe relevante
e ma e, c ma c.
inertie egala cu:
r
În proiecții pe axa sistemului în mișcare
ma Fi e c .
coordonatele avem:
F
F
(Оz) : m z F
Apoi mișcarea relativă a punctului
(Ox): m x
poate fi considerat ca fiind absolut
dacă adăugăm la forțele care acționează
(Оy): al meu
forțele de inerție portabile și Coriolis:
ix
ex cx ;
iy
ey cy ;
iz
ez cz .

Vă mulțumim pentru atenție!

Cursul 2

21. Dinamica unui sistem mecanic
Sistem de puncte materiale sau sistem mecanic –
Un set de puncte materiale sau corpuri materiale,
unite de legile generale ale interacțiunii (poziție
sau mișcarea fiecăruia dintre punctele sau corpul depinde de poziție
și mișcările tuturor celorlalți).
Un sistem de puncte libere - a căror mișcare nu este
limitat de orice conexiuni (de exemplu, planetare
sistem în care planetele sunt considerate ca
puncte materiale).
Sistem de puncte non-free sau non-free
sistem mecanic - deplasarea punctelor materiale sau
corpurile sunt limitate de conexiunile impuse sistemului
(de exemplu, mecanism, mașină etc.).

Cursul 2

22. Forțe care acționează asupra sistemului
Pe lângă clasificarea forţelor existentă anterior
(forțe active și reactive) se introduce una nouă
clasificarea fortei:
1. Forțe exterioare (e) – care acționează asupra punctelor și corpurilor
sistem din puncte sau corpuri neincluse în
a acestui sistem.
2. Forțe interne (i) – forțe de interacțiune între
puncte materiale sau corpuri incluse într-un dat
sistem.
Aceeași forță poate fi atât externă, cât și
puterea interioară. Totul depinde de ce fel de mecanică
sistemul este în curs de revizuire.
De exemplu: În sistemul Soare, Pământ și Lună toate forțele
atracția gravitațională dintre ele este internă. La
luând în considerare sistemul de gravitație Pământ și Lună,
cele aplicate din partea Soarelui sunt externe.

Pe baza legii de acțiune și reacție a fiecăruia
forța internă Fk corespunde unei alte interne
forța Fk” egală ca mărime și opusă ca mărime
direcţie.
De aici rezultă două proprietăți remarcabile ale forțelor interne:
1. Vectorul principal al tuturor forțelor interne ale sistemului este egal cu
i
i
zero: R Fk 0.
2. Punctul principal al tuturor forțelor interne ale sistemului
i
i
M
M
kO 0.
relativ la orice centru este zero: O
O
ÎN
Z

Xki 0; Yki 0; Z ki 0.
i
i
i
M
0
;
M
0
;
M
kx
ky
kz 0.
CU
Notă: Deși aceste ecuații sunt similare cu ecuațiile de echilibru, ele sunt
nu sunt astfel, deoarece forțele interne sunt aplicate
către diverse puncte sau corpuri ale sistemului și poate provoca deplasarea acestora
puncte (corpuri) unul față de celălalt. Din aceste ecuații rezultă,
că forțele interne nu afectează mișcarea sistemului în cauză
ca un întreg.

23. Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale
Pentru a descrie mișcarea sistemului ca întreg, introducem
un punct geometric numit centru de masă, al cărui vector rază este determinat de expresie
mk rk
r
,
C
unde M este masa întregului sistem:
Mmk.
M
Sau în proiecții pe axe de coordonate:
mk xk
xC
,
mk y k
yC
,
M
z m1
r1
rC
m2
O
x
yC
mk
Cr
k
zC
r2
M
rn
xC
mn
y
mk z k
zC
.
M
Formule pentru centrul de masă
similar cu formulele pentru centru
gravitaţie. Totuși, conceptul de centru
masa este mai generală pentru că nu este
legate de forţele gravitaţionale sau
forțe de gravitație.

24. Teorema asupra mișcării centrului de masă al sistemului




mk a k F k F k sau mk
e
i
2
d
e
m
r
R
.
2 k k
dt
În proiecţii pe
axele de coordonate:
d 2 rk
dt
2
Fke Fki. Să rezumam
aceste ecuații
in toate punctele:
MrC mk rk .
d2
e
M
r
R
.
C
2
dt
mk
d 2 rk
dt 2
Fke Fki.
Re
M
d 2 rC
dt 2
Re
Ri 0
MAC R
M x C R ex Fxke ; Teorema: produs
M y C R ey
M z C R ez
masa sistemului de
Fike ; accelerarea centrului său
masa este egală cu cea principală
e
Fzk. vector al forțelor externe.
e

Corolare din teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului
(legi de conservare)

este zero, Re = 0, atunci viteza centrului de masă este constantă, vC = const (centrul
masa se mișcă uniform în linie dreaptă - legea conservării mișcării
centru de masă).
2. Dacă în intervalul de timp proiecţia vectorului principal de extern
forțele sistemului pe axa x este zero, Rxe = 0, apoi viteza centrului de masă de-a lungul axei x


este egal cu zero, Re = 0, iar în momentul inițial viteza centrului de masă este egală cu
zero, vC = 0, atunci vectorul rază al centrului de masă rămâne constant, rC =
const (centrul de masă este în repaus - legea conservării poziției
centru de masă).

forța sistemului pe axa x este zero, Rxe = 0, iar în momentul inițial viteza
centrul de masă de-a lungul acestei axe este egal cu zero, vCx = 0, apoi coordonatele centrului de masă de-a lungul
Axa x rămâne constantă, xC = const (centrul de masă nu se mișcă de-a lungul acesteia
axă).

25. Impulsul de forță
O măsură de caracterizare a interacțiunii mecanice
transmiterea mişcării mecanice de la acţionare
la punctul de forță pentru o anumită perioadă de timp:
S F (t 2 t1).
În proiecţii pe
t
t
t
coordonată (Ox): S x Fx dt; (Oy): S y Fy dt ; (Oz): S z Fz dt .
t
t
t
axe:
2
2
2
1
1
1
t2
În caz de forță constantă: S F dt
t1
S x Fx (t2t1);
S y Fy (t2t1);
Sz Fz (t2t1);
Impulsul rezultantei este egal cu cel geometric
suma impulsurilor forțelor aplicate unui punct în timpul unuia și aceluiași
aceeași perioadă de timp: R F1 F2 ... Fn.
R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
Să integrăm pe t2
t2
t2
t2
interval dat R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
t1
t1
t1
t1
timp:
S S1 S 2 ... S n .

26. Mișcarea unui punct

egal cu produsul dintre masa unui punct și vectorul acestuia
viteza: Q mv.
Cantitatea de mișcare a unui sistem de puncte materiale -
suma geometrică a cantităților de mișcare a materialului
puncte: Q Q1 Q2 ... Qn Qk .
Prin definiția centrului de masă:
Q
m
v
Q Qk mk vk mk
drk
d
(mk rk).
dt
dt
MrC mk rk .
Vectorul impuls al sistemului este egal cu
produsul dintre masa întregului sistem și vectorul viteză
centrul de masă al sistemului.
drC
d
Apoi: Q dt (Mrc) M dt MvC .
În proiecţii pe
Q Mx C ;
axele de coordonate: x
QMvC.
Q y Mx C ;
Q y Mx C .

26. Teorema privind modificarea impulsului
sisteme
Se consideră un sistem de n puncte materiale. Ataşat la
Împărțim fiecare punct de forță în extern și intern și
Să le înlocuim cu rezultatele corespunzătoare Fke și Fki.
Să scriem ecuația de bază a dinamicii pentru fiecare punct:
mk a k F ke F ki sau mk dvk Fke Fki .
dt
Să rezumam acestea
În partea stângă a ecuației o introducem
ecuații
mase sub semnul derivat
in toate punctele:
și înlocuiți suma derivatelor cu
dvk
e
i
m
F
F
.
k
k
k
derivată a sumei: d (m v) R e .
dt
k k
dt
Din definiție
e
i
d
Q
e
R
0
R
cantități mk v k Q .
R.
Derivată a vectorului impuls al sistemului în raport cu timpul
dt este egal cu vectorul principal al forțelor externe ale sistemului.
sistem de miscare:
dQx
În proiecţiile pe coordonate dQx R e F e ; dQx R e F e ;
R e F xke .
xk
xk
dt
dt
dt
axe:
x
x
x

26. Corolare din teorema privind modificarea cantității
mișcarea sistemului (legi de conservare)
:
1. Dacă în intervalul de timp vectorul principal de extern
forțele sistemului este zero, Re = 0, apoi vectorul mărimii
mișcarea este constantă, Q = const – legea conservării
impulsul sistemului.
2. Dacă în intervalul de timp proiecţia vectorului principal
forțele externe ale sistemului pe axa x sunt egale cu zero, atunci Rxe = 0
proiecția impulsului sistemului pe axa x
este constantă, Qx = const.
Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z.
dQ
Proiectăm pe axa: τ m1 g cos m2 g cos 0.
dt
Împărtășim
Q
t
variabile
dQτ (m1 g cos m2 g cos)dt 0.
0
și să integreze: Q0
De aici legea Qτ Qτ 0 0 sau Qτ 0 Qτ.
economisire: Mv m v m v .
1 1
2 2
Integrala dreapta
aproape egal
zero, pentru că timp
explozie t<<1.
v2
Mv m1v1
v2.
m2

27. Momentul unui punct sau cinetică
moment al mișcării față de un anumit centru
O măsură a mișcării mecanice definită de un vector,
egal cu produsul vectorial al vectorului rază
punct material prin vectorul impulsului său:
Q
v
Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale
relativ la un centru – geometric
suma momentelor cantităţilor de mişcări ale tuturor
puncte materiale relativ la același centru:
m
K.O.
r
O
K O r Q r mv .
K x y (mv z) z (mv y);
K y z (mv x) x (mv z);
K z x (mv y) y (mv x).
Derivată a vectorului moment unghiular
sisteme relativ la un anumit centru în timp
egal cu momentul principal al fortelor externe ale sistemului
relativ la același centru.
KO K1O K2O ... KnO KiO ri mi vi .
În proiecții
Kx
pe axa:
K
ix
; K y Kiy ;
K z Kiy.

28. Teorema privind modificarea momentului unghiular
mișcarea sistemului
Se consideră un sistem de n puncte materiale. Ataşat la
Împărțim fiecare punct de forță în extern și intern și
Să le înlocuim cu rezultatele corespunzătoare Fke și Fki.
Să scriem ecuația de bază a dinamicii pentru fiecare punct:
dvk
e
i
e
i
m
F
F
.
mk a k F k F k
k
sau
k
k
dt
Să înmulțim vectorial fiecare dintre egalități cu vectorul rază
stânga:
dv
rk mk
k
dt
Să rezumam acestea
ecuații pentru toți
puncte:
rk Fke rk Fki .
dvk
e
i
r
m
r
F
r
F
k
k k k k.
k
dt
e
M.O.
i
M.O.
0

Să vedem dacă putem elimina semnul derivatului
dincolo de produsul încrucișat:
drk
dvk
d
(rk mk vk)
mk vk rk mk
dt
dt
dt
vk mk vk 0 (sin(vk, mk vk) 0)
dvk
rk mk
.
dt
d
e
r
m
v
M
k
k k
O.
dt
Astfel, avem:
Să înlocuim suma derivatelor
la derivata sumei: d
(rk mk v k) M Oe .
dt
Expresia dintre paranteze este momentul unghiular
sisteme. De aici:
dK
O
dt
M Oe.

În proiecțiile pe axe de coordonate:
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
M y;
Mze.
dt
dt
dt
Teorema: Derivată a vectorului cuplului
cantitatea relativă de mișcare a sistemului
a unui centru este egal în timp cu cel principal
moment al forțelor externe ale sistemului relativ la
acelasi centru.
dK
O
dt
M Oe.
Teorema: Derivată a momentului mărimii
mișcarea sistemului față de o anumită axă
egală în timp cu momentul principal al exteriorului
forțele sistemului față de aceeași axă.
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
M y;
Mze.
dt
dt
dt

29. Corolare din teorema privind schimbarea momentului
impulsul sistemului (legi de conservare)
1. Dacă în intervalul de timp vectorul momentului principal
forțele externe ale sistemului relativ la un anumit centru
este egal cu zero, MOe = 0, apoi vectorul momentului mărimii
mișcarea sistemului față de același centru
constantă, KO = const – legea conservării cuplului
impulsul sistemului).
2. Dacă în intervalul de timp momentul principal de extern
forța sistemului în raport cu axa x este zero, Mxe = 0, atunci
momentul unghiular al sistemului în jurul axei x
constantă, Kx = const.
Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z.

30. Elemente ale teoriei momentelor de inerție
În mișcarea de rotație a unui corp rigid, măsura inerției
(rezistența la schimbare în mișcare) este momentul
inerţia faţă de axa de rotaţie. Să ne uităm la principal
definirea conceptelor şi metodelor de calcul a momentelor
inerţie.
30.1. Momentul de inerție al unui punct material
raportat la axa
2
2
2
I z mh m(x y)
z
h
m
z
r
O
h
x
x
y
y
Momentul de inerție al materialului
punctul relativ la ax este egal
produsul masei unui punct și
pătratul distanței punctului față de axă.
Pe lângă momentul de inerție axial al unui corp rigid
Există și alte tipuri de momente de inerție:
I xy xydm
- momentul de inerție centrifugal
corp solid.

30.2. Momentul de inerție al unui corp rigid în jurul unei axe
z
I z mk hk2 mk (xk2 yk2)
hk
rk
mk
z
y
O
da
x
Momentul de inerție al unui corp rigid
relativ la axă este egală cu suma
produse din masa fiecărui punct
cu pătratul distanței acestui punct
la axa.
La trecerea de la discret
masă mică până la infinitezimal
masa unui punct, limita unei astfel de sume
este determinat de integrala:
xk
I z h 2 dm (x 2 y 2)dm
- momentul axial de inerție
corp solid.
I O r dm (x y z)dm
2
2
2
2
- moment polar
inerția unui corp solid.

30.4. Momentul de inerție al unei tije constante uniforme
secțiuni transversale în raport cu axa
Să selectăm volumul elementar dV = Adx la distanța x:
zС
z
Elementar
greutate:
dm Adx
L
x
x
C
dx
L
3L
L
x
I z x 2 dm x 2 Adx A
3
0
0
0
L3 ML2
O
3
3


locația axei și setați limitele de integrare (-L/2,
L/2). Aici demonstrăm formula pentru a trece la
axe paralele:
2
2
M.L.
L
Eu zC M .
3
2
I z I zC d M .
2
eu zC
2
ML L
ML2
M
.
3
12
2
2

30.5. Momentul de inerție al unui cilindru solid omogen
raportat la axa de simetrie
Să selectăm volumul elementar: dV = 2πrdrH (cilindru subțire
raza r
Masa elementara:
dm 2 rdrH
R
R
I z r dm r 2 2 rdrH
2
0
0
4R
r
2H
4
0
R 4 MR 2
2H
4
2
MR 2
Iz
2
Deoarece înălțimea cilindrilor nu este inclusă în rezultat
formule pentru momentele de inerție, apoi rămân
valabil pentru un disc solid subțire și o jantă
roți (inel subțire).

31. Momentul cinetic al unui corp rigid

ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi h Δmi .
2
z i
K z ΔK zi z h Δmi z I z .
2
i
Sau mergi mai departe
la infinitezimale:
dK z hdmv hdm z h z h dm.
2
K z dK z z h 2 dm z I z .
Momentul cinetic al rotației
corpul este egal cu produsul unghiular
viteza in momentul de inertie
faţă de axa de rotaţie.
z
z
Hi
Δmi
vi
x
y

32. Ecuația diferențială a rotației
corp rigid în raport cu axa
Să scriem teorema despre modificarea momentului unghiular
un corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe:
dK z
Mze.
dt
Momentul cinetic al unui corp rigid rotativ este egal cu:
z
z
z
Mz
x
K z z I z .
Momentul forțelor externe în raport cu axa
rotația este egală cu cuplul
(reacții și gravitație M e M M
z
z
roti
nu creați șanse):
Inlocuim momentul cinetic si
y
cuplul în teoremă
d (z I z)
M z M rotație
dt
I z M z M rotație

33. Teoria elementară a giroscopului
Giroscop - un corp rigid care se rotește în jurul unei axe
simetria materială, unul dintre punctele căruia
nemişcat.
Giroscop liber - fixat astfel încât centrul său de masă
rămâne staționar, iar axa de rotație trece prin
centru de masă și poate lua orice poziție în
spațiu, adică axa de rotaţie îşi schimbă poziţia
asemănător cu axa de rotație a corpului propriu la
mișcare sferică.
KC
ω

Ipoteza principală a aproximativului (elementar)
teoria giroscopului – vector al momentului cantității
se are în vedere deplasarea (momentul cinetic) a rotorului
direcționat de-a lungul propriei axe de rotație.
Principala proprietate a unui giroscop liber este axa rotorului
menține o direcție constantă în spațiu de-a lungul
în raport cu cadrul de referinţă inerţial (stelar).
(demonstrat de pendulul Foucault, care rămâne neschimbat
în raport cu stelele planul balansoar, 1852).
Aceasta rezultă din legea conservării momentului unghiular
raportat la centrul de masă al rotorului, prevăzut
neglijând frecarea lagărelor axelor suspensiei
rotor, cadru exterior și interior:
dK C
M Ce 0;
dt
K C const.

34. Acțiunea forței asupra axei unui giroscop liber
În cazul unei forțe aplicate axei rotorului,
momentul forțelor exterioare față de centrul de masă nu este egal
zero:
dK
M e Fh.
C
dt
M Ce r F ;
C
Derivată a momentului unghiular în raport cu timpul
egală cu viteza la capătul acestui vector (teorema lui Rézal):
dK C
dr
v K; (v).
dt
dt
vK
z
M Ce .
Aceasta înseamnă că axa rotorului va fi
abate de la direcția de acțiune
forță și către vectorul cuplului
această forță, adică nu se va întoarce
raportat la axa x (internă
suspensie) și în raport cu axa y
(suspensie externa).
F
h
vK
y
CU
M Ce
x
ω
KC

Când forța încetează, axa rotorului va rămâne
într-o poziţie constantă corespunzătoare
ultimul moment al timpului de acţiune a forţei, deoarece
din acest moment în timp momentul forţelor exterioare din nou
devine egal cu zero.
În cazul unei forțe de scurtă durată (impact), axa
Giroscopul practic nu își schimbă poziția.
Astfel, rotirea rapidă a rotorului comunică
capacitatea giroscopului de a contracara aleatoriu
influenţe care tind să modifice poziţia axei
rotația rotorului și cu forță constantă
menține poziția planului perpendicular pe
forța care acționează în care se află axa rotorului. Aceste proprietăți
utilizate în operarea sistemelor de navigație inerțială.

Vă mulțumim pentru atenție!

Exemplu: Două persoane de masele m1 și m2 sunt într-o barcă
masa m3. La momentul inițial de timp, o barcă cu oameni
era în repaus. Determinați deplasarea bărcii dacă
o persoană de masa m2 s-a deplasat la prova bărcii la o distanţă a.
1. Obiect al mișcării
(barca cu oameni):
x2
y
x1
2. Aruncăm conexiunile (apă):
O
G3
3. Înlocuiți conexiunea cu o reacție:
4. Adăugați forțe active:
G1

R
G2
x
O
Proiectați pe axa x:
M x C 0.
xC const.
MaC R e G1 G2 G3 N
0 m1b m2 a.
b
m2
o.
m1
x3
x C const 0.
mk xk 0 mk xk .

m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
l
m1 m2 m3

în sens invers.
17

Cursul 6 (continuare de la 6.2)

Teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem – Considerăm un sistem de n puncte materiale. Împărțim forțele aplicate fiecărui punct
în extern și intern și înlocuiți-le cu rezultantele corespunzătoare Fke și Fki. Să scriem ecuația de bază pentru fiecare punct
difuzoare:
sau
d 2 rk
e
i
d 2 rk
Să rezumam aceste ecuații
mk a k F ke F ki
mk
F
F
.
m
k 2 Fke Fki .
k
k
in toate punctele:
dt 2
dt
În partea stângă a ecuației introducem mase sub semnul derivatului
d2
(m r) R e.
și înlocuiți suma derivatelor cu derivata sumei:
2 k k
Din definiția centrului de masă:
După îndepărtarea masei sistemului
pentru semnul derivatei obținem
În proiecțiile pe axe de coordonate:
MrC mk rk .
M
d 2 rC
dt
2
dt
Să substituim în ecuația rezultată:
R e sau:
M x C R ex X ke ;
M y C R ey Yke ;
MaC R e
d2
(MrC) R e .
2
dt
Re
Ri 0
Produsul dintre masa unui sistem și accelerația masei sale centrale
egală cu vectorul principal al forțelor externe.
Centrul de masă al sistemului se mișcă ca punct material cu o masă egală cu masa
întregul sistem căruia i se aplică toate forţele externe care acţionează asupra sistemului.
Exemplu: Două persoane de masele m1 și m2 se află într-o barcă de masa m3.
La momentul inițial, barca cu oameni era în repaus.
Determinați deplasarea bărcii dacă o persoană cu masa m2 se deplasează la prova
Corolare din teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului
bărci la distanță a.
y
(legi de conservare):
x2
O
1. Dacă în intervalul de timp vectorul principal al forţelor externe ale sistemului
x
1. Obiect de mișcare (barcă cu oameni):
1
este zero, Re = 0, atunci viteza centrului de masă este constantă, vC = const
2. Aruncăm conexiunile (apă):
(centrul de masă se mișcă uniform în linie dreaptă - legea conservării
3.
Înlocuim conexiunea cu o reacție:
G1
x
mișcarea centrului de masă).
O
G2
2. Dacă în intervalul de timp proiecția vectorului principal al forțelor externe 4. Adăugați forțele active:
sistemul de pe axa x este zero, Rxe = 0, apoi viteza centrului de masă de-a lungul axei x
5. Scriem teorema despre centrul de masă:
constantă, vCx = const (centrul de masă se mișcă uniform de-a lungul axei).
G3
R
MaC R e G1 G2 G3 N
Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z.
x3
3. Dacă în intervalul de timp vectorul principal al forţelor externe ale sistemului
Proiectați pe axa x: M x C 0.
x C const 0.
este zero, Re = 0, iar în momentul inițial viteza centrului de masă este zero,
xC const.
vC = 0, atunci vectorul rază al centrului de masă rămâne constant, rC = const (centrul
mk xk 0 mk xk .
masa este în repaus - legea conservării poziţiei centrului de masă).
Să stabilim cât de departe trebuie să schimbe scaunul o persoană de masa m1,
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 (x1 l) m2 (x2 l a) m3 (x3 l)
4. Dacă în intervalul de timp proiecţia vectorului principal de extern
rezistenţă
pentru a menține barca pe loc:
sistem pe axa x este zero, Rxe = 0, iar în momentul inițial viteza centrală
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
m1 x1 conform acesteia
m2 x2 axe
mequal
m1 (x1v Cxb=) 0,
m
(x2 a) mcenter
l
mase
to2 coordonata
masa pe axa x
3 x 3 zero,
3 x3.
m1 m2 m3
m2
rămâne constant, xC = const (centrul de masă nu se mișcă de-a lungul acestei axe).
Barca se va deplasa pe o distanta l
b
o
.
0
m
b
m
o
.
Similar
valabil pentru axele ym și z.
1 afirmații
2
17
în sens invers.
M z C R ez Z ke .
1

Cursul 8 (continuare de la 8.2)

4.
Momentul de inerție al unei tije constante uniforme
secțiuni relativ la axă:
Să evidențiem elementul
zС
volum dV = Adx
z
L
la distanta x:
5.
Momentul de inerție al unui cilindru solid omogen
raportat la axa de simetrie:
Să evidențiem elementul
volum dV = 2πrdrH
(cilindru subțire cu raza r):
Elementar
greutate:
dm 2 rdrH
z
R
x
dx
L
Elementar
greutate:
dm
C
x
L
3L
x
I z x dm x Adx A
3
0
0
2
2
0
Adx
H
R
L3 ML2
O
3
3
y
Pentru a calcula momentul de inerție față de centrală
axă (trece prin centrul de greutate) este suficient să se schimbe
locația axei și setați limitele de integrare (-L/2, L/2).
Aici demonstrăm formula pentru trecerea la paralel
axe:
2
2
I z I zC d 2 M .
2
eu zC
6.
ML2 L
ML2
M
.
3
12
2
0
0
4R
x
r
r
2H
4
dr
0
R 4 MR 2
2H
4
2
Aici folosim formula pentru volumul unui cilindru V=πR2H.
Pentru a calcula momentul de inerție al unui cilindru gol (gros).
este suficient să stabilim limitele de integrare de la R1 la R2 (R2> R1):
M.L.
L
Eu zC M .
3
2
r4
I z 2 H
4
R2
R1
2
2
R24 R14 M (R 2 R1)
2H
.
4
4
2
Momentul de inerție al unui cilindru subțire față de axă Deoarece înălțimea cilindrilor ca rezultat nu este inclusă în formulele momentului
inerția, atunci rămân valabile pentru un disc solid subțire și
simetrie (t<jantă de roată (inel subțire).
R
z t
Datorită grosimii mici a cilindrului
presupunem că toate punctele sunt localizate
la aceeași distanță R față de axă
și nu este necesară integrarea.
Volumul V = 2πRtH. (cilindru subțire
raza R cu grosimea peretelui t).
H
y
x
R
I z r 2 dm r 2 2 rdrH
■
z
2
M ((R2(Rt)2) M (2R22Rtt2) 2R.
Iz
.
2
2
Să selectăm un volum mic discret de masă mi:
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi z hi2 Δmi .
z
Hi
IzR22RtHMR2.
Același lucru se poate realiza folosind
formule pentru un cilindru cu pereți groși, ținând cont
t mic:
Momentul unui corp rigid
Δmi
x
K z ΔK zi z hi2 Δmi z I z .
vi
Sau trecem la infinitezimale:
y
dK z hdmv hdm z h z h 2 dm.
K z dK z z h 2 dm z I z .
Momentul unghiular al unui corp care se rotește este egal cu produsul
viteza unghiulara in momentul de inertie fata de axa de rotatie.
22

teorema lui Euler
Teoreme: Aplicarea teoremei modificării mărimii
deplasarea sistemului la deplasarea unui mediu continuu (apa).
(x): M sec (v2 x v1x) Rxrev Rxrev;
(y): M sec (v2 y v1 y) R yob R ypov;
(z): Mmotion
Rz situat
.
sec (v2 z v1volum
z) Rzwater,
1.Selectați ca obiect
în canalul curbat al turbinei:
2. Aruncăm conexiunile și înlocuim acțiunea lor cu reacții (Rpov este rezultanta forțelor de suprafață)
3. Adăugați forțele active (Rob – rezultanta forțelor volumetrice):
despre
v1
F1
O
O
B
B
Rob
Cantitatea de mișcare a apei la momentele t0 și t1
În proiecţii ca
pentru sume:
axe:
să ne imaginăm
Q Q Q .
0
C
D
F2
v2
AB
B.C.
Q1 QBC QCD .
,
Modificarea impulsului apei în intervalul de timp:
Q Q1 Q0 QCD QAB .
Modificarea cantității
circulaţie
vectori de apă ale a doua cantități de mișcare a fluidului pe axă este egală cu
Diferenţă
proiecții
dQ dQCD dQAB, unde dQAB (F1v1dt)v1;
pentru infinitezimal
interval
timp
dt: vectori
suma proiecțiilor principalelor
forțe volumetrice și de suprafață pe aceeași axă.
dQCD (F2v2 dt)v2 .
Luând produsul densității, ariei secțiunii transversale și vitezei ca a doua masă
obținem:
dQ (M dt)v;
AB
dQ
Rob Rp.
dt
4. Scriem teorema despre modificarea impulsului sistemului:
RPov
C
D
pov
sec
1
dQCD (M sec dt)v2.
dQ M sec (v2 v1)dt.
M sec F1v1 F2v2,
Înlocuirea diferenţialului de impuls al sistemului
în teorema schimbării obținem:
M sec (v2 v1) Rrev Rrev.
Diferența geometrică dintre vectorii celei de-a doua mărimi de mișcare a fluidului este egală cu
suma vectorilor principali ai forțelor volumetrice și de suprafață.