Găsiți online determinantul unei matrice folosind metoda lui Cramer. Ecuații liniare. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Metoda Cramer

Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează semnificativ procesul de soluție.

Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dar dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.

Definiţie. Un determinant format din coeficienți pentru necunoscute se numește determinant al sistemului și se notează (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților necunoscutelor corespunzătoare cu termeni liberi:

;

.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților acestei necunoscute cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare:

Conform teorema lui Cramer avem:

Deci, soluția sistemului (2):

calculator online, metoda de rezolvare a lui Cramer.

Trei cazuri la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

După cum este clar din teorema lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:

Primul caz: un sistem de ecuații liniare are o soluție unică

(sistemul este consistent și definit)

Al doilea caz: un sistem de ecuații liniare are un număr infinit de soluții

(sistemul este consistent și incert)

** ,

aceste. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.

Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții

(sistemul este inconsecvent)

Deci sistemul m ecuații liniare cu n numite variabile nearticulată, dacă ea nu are o singură soluție, și comun, dacă are cel puțin o soluție. Se numește un sistem simultan de ecuații care are o singură soluție anumit, și mai mult de unul - nesigur.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer

Să fie dat sistemul

.

Bazat pe teorema lui Cramer

………….
,

Unde
-

determinant de sistem. Obținem determinanții rămași prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu termeni liberi:

Exemplul 2.

Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

Dacă într-un sistem de ecuații liniare nu există variabile în una sau mai multe ecuații, atunci în determinant elementele corespunzătoare sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.

Exemplul 3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

.

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

Începutul paginii

Continuăm să rezolvăm împreună sisteme folosind metoda lui Cramer

După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.

Exemplul 6. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a clarifica, calculăm determinanții pentru necunoscute

Determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.

În problemele care implică sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un număr, cel mai adesea real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații sunt conduse la probleme de căutare a proprietăților generale ale oricăror fenomene sau obiecte. Adică ai inventat vreunul material nou sau un dispozitiv și pentru a descrie proprietățile sale, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau numărul unei instanțe, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de unii coeficienți pentru variabile există litere. Nu trebuie să cauți departe pentru exemple.

Următorul exemplu este pentru o problemă similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un anumit număr real crește.

Exemplul 8. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Găsirea determinanților pentru necunoscute

Gabriel Kramer este un matematician elvețian, student și prieten cu Johann Bernoulli, unul dintre creatorii algebrei liniare. Cramer a considerat un sistem de un număr arbitrar de ecuații liniare cu o matrice pătrată. El a prezentat soluția sistemului ca o coloană de fracții cu un numitor comun - determinantul matricei. Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, ceea ce accelerează semnificativ procesul de rezolvare. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Principalul lucru este că determinantul sistemului nu este egal cu „0”, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dacă „0” - această metodă

nu poate fi folosit. Această metodă poate fi folosită și pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare cu o soluție unică.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. La numitor se află determinantul sistemului, iar la numărător este determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților acestei necunoscute cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Să presupunem că ni se oferă un SLAE de acest tip:

\[\left\(\begin(matrix) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrix)\right.\]

Conform teoremei lui Cramer obținem:

Raspuns: \

Unde pot rezolva o ecuație folosind metoda lui Cramer folosind un rezolvator online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.
2. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda matricei (folosind o matrice inversă).

3. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.

metoda lui Cramer. Metoda Cramer este folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare ().

SLAU
Formule folosind exemplul unui sistem de două ecuații cu două variabile. Dat:

Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer Referitor la variabile X Şi.
la
Soluţie:

Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului Calculul determinanților. :
X .
Să aplicăm formulele lui Cramer și să găsim valorile variabilelor:
Exemplul 1:

referitor la variabile Referitor la variabile X Şi.
la


Să înlocuim prima coloană din acest determinant cu o coloană de coeficienți din partea dreaptă a sistemului și să găsim valoarea acesteia:

Să facem un lucru similar, înlocuind a doua coloană în primul determinant:

Aplicabil formulele lui Cramerși găsiți valorile variabilelor:
Și .
Răspuns:
Comentariu: Această metodă poate rezolva sisteme de dimensiuni mai mari.

Comentariu: Dacă se dovedește că , dar nu poate fi împărțit la zero, atunci ei spun că sistemul nu are o soluție unică. În acest caz, sistemul fie are infinite de soluții, fie nu are deloc soluții.

Exemplul 2(numar infinit de solutii):

Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile Referitor la variabile X Şi.
la
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției.

Prima dintre ecuațiile sistemului este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor (deoarece 4 este întotdeauna egal cu 4). Aceasta înseamnă că a mai rămas o singură ecuație. Aceasta este o ecuație pentru relația dintre variabile.
Am descoperit că soluția sistemului este orice pereche de valori ale variabilelor legate între ele prin egalitate.
Soluție generală va fi scris astfel:
Soluții particulare pot fi determinate prin alegerea unei valori arbitrare a lui y și calculând x folosind această egalitate de conexiune.

etc.
Există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns: solutie generala
Soluții private:

Exemplul 3(fără soluții, sistemul este incompatibil):

Rezolvați sistemul de ecuații:

la
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Formulele lui Cramer nu pot fi folosite. Să rezolvăm acest sistem folosind metoda substituției

A doua ecuație a sistemului este o egalitate care nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor (desigur, deoarece -15 nu este egal cu 2). Dacă una dintre ecuațiile sistemului nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: fara solutii

Metode Kramer X Gauss- una dintre cele mai populare metode de rezolvare Metoda Cramer este folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare (. În plus, în unele cazuri este indicat să folosiți metode specifice. Sesiunea este aproape, iar acum este momentul să le repetați sau să le stăpâniți de la zero. Astăzi vom analiza soluția folosind metoda lui Cramer. La urma urmei, rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer este o abilitate foarte utilă.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Un sistem de ecuații algebrice liniare este un sistem de ecuații de forma:

Valoare setată x , în care ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește soluție a sistemului, o X b sunt coeficienți reali. Un sistem simplu format din două ecuații cu două necunoscute poate fi rezolvat în capul tău sau prin exprimarea unei variabile în termenii celeilalte. Dar pot exista mult mai mult de două variabile (x) într-un SLAE, iar aici simplele manipulări școlare nu sunt suficiente. Ce să fac? De exemplu, rezolvați SLAE-urile folosind metoda lui Cramer!

Deci, lăsați sistemul să fie format din n ecuatii cu n necunoscut.

Un astfel de sistem poate fi rescris sub formă de matrice

Aici O – matricea principală a sistemului, X X B , respectiv, matrice coloane de variabile necunoscute și termeni liberi.

Rezolvarea SLAE-urilor folosind metoda lui Cramer

Dacă determinantul matricei principale nu este egal cu zero (matricea este nesingulară), sistemul poate fi rezolvat folosind metoda lui Cramer.

Conform metodei lui Cramer, soluția se găsește folosind formulele:

Aici delta este determinantul matricei principale și delta x nth – determinant obținut din determinantul matricei principale prin înlocuirea coloanei a n-a cu o coloană de termeni liberi.

Aceasta este întreaga esență a metodei Cramer. Înlocuind valorile găsite folosind formulele de mai sus x în sistemul dorit, suntem convinși de corectitudinea (sau invers) soluției noastre. Pentru a vă ajuta să înțelegeți rapid esența, vă oferim mai jos un exemplu de soluție detaliată a SLAE folosind metoda Cramer:

Chiar dacă nu reușești prima dată, nu te descuraja! Cu puțină practică, vei începe să spargi SLAU-uri precum nucile. Mai mult, acum nu este absolut necesar să studiezi cu atenție un caiet, rezolvând calcule greoaie și redactând nucleul. Puteți rezolva cu ușurință SLAE-urile folosind metoda lui Cramer online, doar înlocuind formă gata făcută coeficienți. Încearcă calculator online Soluții care folosesc metoda Cramer pot fi găsite, de exemplu, pe acest site.

Și dacă sistemul se dovedește a fi încăpățânat și nu renunță, puteți oricând să apelați la autorii noștri pentru ajutor, de exemplu, la. Dacă în sistem există cel puțin 100 de necunoscute, cu siguranță o vom rezolva corect și la timp!