Matrice cum se rezolvă exemple. Algebră matrice liniară

Matricele în matematică sunt unul dintre cele mai importante obiecte de importanță practică. Adesea, o excursie în teoria matricelor începe cu cuvintele: „O matrice este o masă dreptunghiulară...”. Vom începe această excursie dintr-o direcție puțin diferită.

Agendele telefonice de orice dimensiune și cu orice cantitate de date despre abonați nu sunt altceva decât matrice. Astfel de matrici arată aproximativ astfel:

Este clar că toți folosim astfel de matrici aproape în fiecare zi. Aceste matrici vin cu un număr diferit de rânduri (variază ca un director emis de o companie de telefonie, care poate avea mii, sute de mii și chiar milioane de linii, și un notebook nou pe care tocmai l-ați început, care are mai puțin de zece linii) și coloane (un director de funcționari de un fel de organizație în care pot exista coloane precum poziția și numărul biroului și aceeași agendă de adrese, unde este posibil să nu existe date cu excepția numelui și, prin urmare, există doar două coloane). în ea - nume și număr de telefon).

Se pot adăuga și înmulți tot felul de matrice, precum și alte operații efectuate asupra lor, dar nu este nevoie să se adună și să se înmulțească agende telefonice, nu există niciun beneficiu din asta, în plus, îți poți mișca mintea.

Dar multe matrice pot și trebuie adăugate și multiplicate și astfel rezolvă diverse probleme stringente. Mai jos sunt exemple de astfel de matrici.

Matrice în care coloanele reprezintă producția de unități dintr-un anumit tip de produs, iar rândurile sunt anii în care se înregistrează producția acestui produs:

Puteți adăuga matrice de acest tip, care iau în considerare producția de produse similare de către diferite întreprinderi, pentru a obține date rezumative pentru industrie.

Sau matrice constând, de exemplu, dintr-o coloană, în care rândurile reprezintă costul mediu al unui anumit tip de produs:

Ultimele două tipuri de matrice pot fi înmulțite, iar rezultatul este o matrice de rând care conține costul tuturor tipurilor de produse pe an.

Matrici, definiții de bază

Un tabel dreptunghiular format din numere aranjate în m linii şi n coloane se numește mn-matrice (sau doar matrice ) și este scris astfel:

(1)

În matricea (1) numerele se numesc ei elemente (ca și în determinant, primul indice înseamnă numărul rândului, al doilea – coloana la intersecția căreia se află elementul; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matricea se numește dreptunghiular , Dacă .

Dacă m = n, atunci matricea este numită pătrat , iar numărul n este al acestuia în ordine .

Determinant al unei matrice pătrate A este un determinant ale cărui elemente sunt elementele unei matrice O. Este indicat prin simbolul | O|.

Matricea pătrată se numește nu deosebite (sau nedegenerat , nesingular ), dacă determinantul său nu este zero și special (sau degenera , singular ) dacă determinantul său este zero.

Matricele sunt numite egal , dacă au același număr de rânduri și coloane și toate elementele corespunzătoare se potrivesc.

Matricea se numește nul , dacă toate elementele sale sunt egale cu zero. Vom nota matricea zero prin simbol 0 sau .

De exemplu,

Matrice-rând (sau litere mici ) se numește 1 n-matrice, și matrice-coloană (sau coloană ) – m 1-matrice.

Matrice O", care se obține din matrice O se numește schimbarea rândurilor și coloanelor din acesta transpus relativ la matrice O. Astfel, pentru matricea (1) matricea transpusă este

Operație de tranziție a matricei O" transpus în raport cu matricea O, se numește transpunere matriceală O. Pentru mn-matricea transpusă este nm-matrice.

Matricea transpusă în raport cu matricea este O, adică

(O")" = O .

Exemplul 1. Găsiți matricea O" , transpus cu privire la matrice

și aflați dacă determinanții matricei originale și transpuse sunt egali.

Diagonala principală O matrice pătrată este o linie imaginară care leagă elementele sale, pentru care ambii indici sunt aceiași. Aceste elemente sunt numite diagonală .

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele din diagonala principală sunt egale cu zero diagonală . Nu toate elementele diagonale ale unei matrice diagonale sunt neapărat nenule. Printre ele pot fi egale cu zero.

O matrice pătrată în care elementele de pe diagonala principală sunt egale cu același număr, diferit de zero și toate celelalte sunt egale cu zero, se numește matrice scalară .

Matricea de identitate se numește matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul. De exemplu, matricea de identitate de ordinul trei este matricea

Exemplul 2. Matrici date:

Soluţie. Să calculăm determinanții acestor matrici. Folosind regula triunghiului, găsim

Determinant de matrice B să calculăm folosind formula

Înțelegem cu ușurință asta

Prin urmare, matricele Oși sunt nesingular (nedegenerat, nesingular), iar matricea B– special (degenerat, singular).

Determinantul matricei identitare de orice ordin este evident egal cu unu.

Rezolvați singur problema matricei și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 3. Matrici date

,

,

Determinați care dintre ele sunt nesingulare (nedegenerate, nesingulare).

Aplicarea matricelor în modelarea matematică și economică

Datele structurate despre un anumit obiect sunt înregistrate simplu și convenabil sub formă de matrice. Modelele matriceale sunt create nu numai pentru a stoca aceste date structurate, ci și pentru a rezolva diverse probleme cu aceste date folosind algebra liniară.

Astfel, un model matriceal binecunoscut al economiei este modelul input-output, introdus de economistul american de origine rusă Vasily Leontiev. Acest model se bazează pe ipoteza că întregul sector de producție al economiei este împărțit în n industrii curate. Fiecare industrie produce un singur tip de produs, iar industriile diferite produc produse diferite. Datorită acestei diviziuni a muncii între industrii, există conexiuni inter-industriale, al căror sens este că o parte din producția fiecărei industrii este transferată altor industrii ca resursă de producție.

Volumul produsului i-a-a industrie (măsurată printr-o anumită unitate de măsură), care a fost produsă în perioada de raportare, este notă cu și se numește producție completă i-a industrie. Problemele pot fi plasate convenabil n-rând component al matricei.

Numărul de unități i-industrie care trebuie cheltuită j-industria pentru producerea unei unități a producției sale este desemnată și numită coeficient de cost direct.

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Scopul serviciului. Folosind acest serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.

Instrucţiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.

Dimensiunea matricei 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

Următorul algoritm pentru găsirea matricei inverse asemănător celui precedent cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, iar apoi se determină matricea aliată C.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
3. Definiția complementelor algebrice.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Ei fac o verificare: înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma:

Adunări algebrice.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Apoi matrice inversă poate fi scris ca:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

Să prezentăm o altă schemă de găsire a matricei inverse.

1. Aflați determinantul unei matrice pătrate date A.
2. Găsim complemente algebrice la toate elementele matricei A.
3. Scriem adunări algebrice ale elementelor rând pe coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.

După cum vedem, operația de transpunere poate fi aplicată atât la început, pe matricea originală, cât și la sfârșit, asupra adunărilor algebrice rezultate.

Caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.

DEFINIȚIA MATRICEI. TIPURI DE MATRICE

Matricea mărimii m× n numit set m·n numere dispuse într-un tabel dreptunghiular de m linii şi n coloane. Acest tabel este de obicei inclus între paranteze. De exemplu, matricea ar putea arăta astfel:

Pentru concizie, o matrice poate fi desemnată cu o singură literă majusculă, de exemplu, O sau ÎN.

ÎN vedere generală dimensiunea matricei m× n scrie asa

.

Se numesc numerele care alcătuiesc matricea elemente de matrice. Este convenabil să se furnizeze elemente de matrice cu doi indici a ij: Primul indică numărul rândului, iar al doilea indică numărul coloanei. De exemplu, un 23– elementul se află în rândul 2, coloana a 3-a.

Dacă o matrice are același număr de rânduri ca și numărul de coloane, atunci matricea este numită pătrat, iar numărul rândurilor sau coloanelor sale este numit în ordine matrici. În exemplele de mai sus, a doua matrice este pătrată - ordinea sa este 3, iar a patra matrice este ordinea sa 1.

Se numește o matrice în care numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane dreptunghiular. În exemple, aceasta este prima matrice și a treia.

Există, de asemenea, matrice care au un singur rând sau o coloană.

Se numește o matrice cu un singur rând matrice - rând(sau șir) și o matrice cu o singură coloană matrice - coloană.

Se numește o matrice ale cărei elemente sunt toate zero nulși este notat cu (0), sau pur și simplu 0. De exemplu,

.

Diagonala principală a unei matrice pătrate numim diagonala care merge din colțul din stânga sus spre colțul din dreapta jos.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero triunghiular matrice.

.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele, cu excepția probabil celor de pe diagonala principală, sunt egale cu zero diagonală matrice. De exemplu, sau.

Se numește o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul singur matrice și este notat cu litera E. De exemplu, matricea de identitate de ordinul 3 are forma .

ACȚIUNI PE MATRICE

Egalitatea matricei. Două matrice OŞi B se spune că sunt egale dacă au același număr de rânduri și coloane și elementele corespunzătoare sunt egale a ij = b ij. Deci dacă Şi , Asta A=B, Dacă a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21Şi a 22 = b 22.

Transpune. Luați în considerare o matrice arbitrară O din m linii şi n coloane. Poate fi asociat cu următoarea matrice B din n linii şi m coloane, în care fiecare rând este o coloană matrice O cu același număr (deci fiecare coloană este un rând al matricei O cu același număr). Deci dacă , Asta .

Această matrice B numit transpus matrice O, și trecerea de la O La B transpunere.

Astfel, transpunerea este o inversare a rolurilor rândurilor și coloanelor unei matrice. Matrice transpusă în matrice O, de obicei notat A T.

Comunicarea între matrice O iar transpunerea lui poate fi scrisă sub forma .

De exemplu. Găsiți matricea transpusă celei date.

Adăugarea matricei. Lasă matricele OŞi B constau din același număr de rânduri și același număr de coloane, adică au aceleasi marimi. Apoi pentru a adăuga matrice OŞi B necesare pentru elementele matricei O adăugați elemente de matrice B stând în aceleași locuri. Astfel, suma a două matrice OŞi B numită matrice C, care este determinat de regulă, de exemplu,

Exemple. Aflați suma matricelor:

Este ușor de verificat că adunarea matricei respectă următoarele legi: comutativă A+B=B+Ași asociativ ( A+B)+C=O+(B+C).

Înmulțirea unei matrice cu un număr. Pentru a multiplica o matrice O pe număr k fiecare element al matricei este necesar Oînmulțiți cu acest număr. Astfel, produsul matricei O pe număr k există o nouă matrice, care este determinată de regulă sau .

Pentru orice numere oŞi bși matrice OŞi B sunt valabile următoarele egalități:

Exemple.

Înmulțirea matricei. Această operațiune se efectuează conform unei legi speciale. În primul rând, observăm că dimensiunile matricelor factorilor trebuie să fie consistente. Puteți înmulți numai acele matrice în care numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri din a doua matrice (adică lungimea primului rând este egală cu înălțimea celei de-a doua coloane). Munca matrici O nu o matrice B numită noua matrice C=AB, ale căror elemente sunt compuse după cum urmează:

Astfel, de exemplu, pentru a obține produsul (adică în matrice C) element situat în rândul 1 și coloana a 3-a de la 13, trebuie să luați primul rând din prima matrice, a treia coloană în a doua, apoi să înmulțiți elementele rândului cu elementele de coloană corespunzătoare și să adăugați produsele rezultate. Și alte elemente ale matricei de produs sunt obținute folosind un produs similar dintre rândurile primei matrice și coloanele celei de-a doua matrice.

În general, dacă înmulțim o matrice A = (a ij) dimensiune m× n la matrice B = (b ij) dimensiune n× p, apoi obținem matricea C dimensiune m× p, ale căror elemente se calculează astfel: element c ij se obţine ca rezultat al produsului elementelor i al-lea rând al matricei O la elementele corespunzătoare j coloana a matricei Bși completările lor.

Din această regulă rezultă că se pot înmulți oricând două matrice pătrate de același ordin și ca rezultat obținem o matrice pătrată de același ordin. În special, o matrice pătrată poate fi întotdeauna înmulțită cu ea însăși, adică. pătratul.

Un alt caz important este înmulțirea unei matrice de rând cu o matrice de coloană, iar lățimea primei trebuie să fie egală cu înălțimea celei de-a doua, rezultând o matrice de ordinul întâi (adică un element). într-adevăr,

.

Exemple.

Deci astea exemple simple arata ca matricile, in general, nu fac naveta intre ele, i.e. A∙B ≠ B∙A . Prin urmare, atunci când înmulțiți matrice, trebuie să monitorizați cu atenție ordinea factorilor.

Se poate verifica că înmulțirea matriceală se supune legilor asociative și distributive, i.e. (AB)C=A(BC)Şi (A+B)C=AC+BC.

De asemenea, este ușor să verificați acest lucru atunci când înmulțiți o matrice pătrată O la matricea identitară E de aceeași ordine obținem din nou o matrice O, și AE=EA=A.

Următorul fapt interesant poate fi remarcat. După cum știți, produsul a 2 numere diferite de zero nu este egal cu 0. Pentru matrice, acesta poate să nu fie cazul, adică. produsul a 2 matrice nenule se poate dovedi a fi egal cu matricea zero.

De exemplu, Dacă , Asta

.

CONCEPTUL DE DETERMINANȚI

Să fie dată o matrice de ordinul doi - o matrice pătrată formată din două rânduri și două coloane .

Determinant de ordinul doi corespunzător unei matrice date este numărul obținut după cum urmează: a 11 la 22 – a 12 la 21.

Determinantul este indicat prin simbol .

Deci, pentru a găsi determinantul de ordinul doi, trebuie să scădeți produsul elementelor de-a lungul celei de-a doua diagonale din produsul elementelor diagonalei principale.

Exemple. Calculați determinanții de ordinul doi.

În mod similar, putem considera o matrice de ordinul trei și determinantul corespunzător.

Determinant de ordinul trei, corespunzătoare unei matrice pătrate de ordinul trei date, este un număr notat și obținut după cum urmează:

.

Astfel, această formulă oferă expansiunea determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele primului rând un 11, un 12, un 13și reduce calculul determinantului de ordinul trei la calculul determinanților de ordinul doi.

Exemple. Calculați determinantul de ordinul trei.

În mod similar, putem introduce conceptele de determinanți ai al patrulea, al cincilea etc. ordine, coborându-și ordinea prin extinderea în elementele primului rând, cu semnele „+” și „–” ale termenilor alternând.

Deci, spre deosebire de o matrice, care este un tabel de numere, un determinant este un număr care este atribuit matricei într-un anumit mod.

Scopul serviciului. Calculator matrice este destinat pentru rezolvarea expresiilor matriceale, de exemplu, cum ar fi 3A-CB 2 sau A -1 +B T .

Instrucţiuni. Pentru soluții online trebuie să specificați o expresie matriceală. În a doua etapă, va fi necesar să se clarifice dimensiunea matricelor.

Acțiuni asupra matricelor

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).
Pentru a efectua o listă de operații, utilizați un separator punct și virgulă (;). De exemplu, pentru a efectua trei operații:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
va trebui să o scrieți astfel: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

O matrice este un tabel numeric dreptunghiular cu m rânduri și n coloane, astfel încât matricea poate fi reprezentată schematic ca dreptunghi.
Matrice zero (matrice nulă) este o matrice ale cărei elemente sunt toate egale cu zero și sunt notate cu 0.
Matricea de identitate se numește matrice pătrată de forma

Două matrice A și B sunt egale, dacă au aceeași dimensiune și elementele corespunzătoare sunt egale.
Matrice singulară este o matrice al cărei determinant este egal cu zero (Δ = 0).

Să definim operații de bază pe matrice.

Adăugarea matricei

Definiție . Suma a două matrice de aceeași dimensiune este o matrice de aceleași dimensiuni, ale cărei elemente se găsesc după formula . Notat cu C = A+B.

Exemplul 6. .
Operația de adăugare a matricei se extinde la cazul oricărui număr de termeni. Evident A+0=A .
Să subliniem încă o dată că pot fi adăugate numai matrice de aceeași dimensiune; pentru matrice dimensiuni diferite operația de adăugare nu este definită.

Scăderea matricelor

Definiție . Prin diferenta Matrice B-A B și A de aceeași dimensiune se numesc matrice C astfel încât A+ C = B.

Înmulțirea matricei

Definiție . Produsul unei matrice cu un număr α este o matrice obținută din A prin înmulțirea tuturor elementelor sale cu α, .
Definiție . Să fie date două matrice și , iar numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B. Produsul lui A cu B este o matrice ale cărei elemente se găsesc după formula .
Notat cu C = A·B.
Schematic, operația de înmulțire a matricei poate fi descrisă după cum urmează:

și regula pentru calcularea unui element dintr-un produs:

Să subliniem încă o dată că produsul A·B are sens dacă și numai dacă numărul de coloane al primului factor este egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea, iar produsul produce o matrice al cărei număr de rânduri este egal cu numărul de rânduri al primului factor, iar numărul de coloane este egal cu numărul de coloane al celui de-al doilea. Puteți verifica rezultatul înmulțirii folosind un calculator special online.

Exemplul 7. Matrici date Şi . Găsiți matrice C = A·B și D = B·A.
Soluţie. În primul rând, rețineți că produsul A·B există deoarece numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B.

Rețineți că în cazul general A·B≠B·A, adică. produsul matricelor este anticomutativ.
Să găsim B·A (înmulțirea este posibilă).

Exemplul 8. Dată o matrice . Găsiți 3A 2 – 2A.
Soluţie.

.
; .
.
Să notăm următorul fapt interesant.
După cum știți, produsul a două numere diferite de zero nu este egal cu zero. Pentru matrice, este posibil să nu apară o circumstanță similară, adică produsul matricelor non-nule se poate dovedi egal cu matricea nulă.

Rezolvarea matricilor– un concept care generalizează operaţiile pe matrice. O matrice matematică este un tabel de elemente. Un tabel similar cu m rânduri și n coloane se spune că este o matrice m cu n.
Vedere generală a matricei

Elementele principale ale matricei:
Diagonala principală. Este format din elementele a 11, a 22.....a mn
Diagonala laterală. Este compus din elementele a 1n, și 2n-1.....a m1.
Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, să luăm în considerare principalele tipuri de matrice:
Pătrat– în care numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane (m=n)
Zero – toate elementele acestei matrice sunt egale cu 0.
Matrice transpusă- matricea B obtinuta din matricea originala A prin inlocuirea randurilor cu coloane.
Singur– toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1, toate celelalte sunt 0.
Matrice inversă- o matrice, înmulțită cu care din matricea originală rezultă matricea de identitate.
Matricea poate fi simetrică în raport cu diagonalele principale și secundare. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Doar matricele pătrate sunt simetrice.
Acum să trecem direct la întrebarea cum să rezolvăm matrice.

Adăugarea matricei.

Matricele pot fi adăugate algebric dacă au aceeași dimensiune. Pentru a adăuga matricea A cu matricea B, trebuie să adăugați elementul din primul rând al primei coloane a matricei A cu primul element al primului rând al matricei B, elementul din a doua coloană a primului rând al matricei A cu elementul coloanei a doua a primului rând al matricei B etc.
Proprietățile adăugării
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Înmulțirea matricei.

Matricele pot fi multiplicate dacă sunt consistente. Matricele A și B sunt considerate consistente dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B.
Dacă A este de dimensiunea m cu n, B este de dimensiunea n cu k, atunci matricea C=A*B va fi de dimensiunea m cu k și va fi compusă din elemente

Unde C 11 este suma produselor perechi ale elementelor unui rând al matricei A și unei coloane a matricei B, adică elementul este suma produsului unui element din prima coloană a primului rând al matricei A cu un element din prima coloană a primului rând al matricei B, un element al celei de-a doua coloane a primului rând al matricei A cu un element al primei coloane a matricelor de al doilea rând B etc.
La înmulțire, ordinea înmulțirii este importantă. A*B nu este egal cu B*A.

Găsirea determinantului.

Orice matrice pătrată poate genera un determinant sau un determinant. Scrie det. Sau | elemente de matrice |
Pentru matrice de dimensiunea 2 cu 2. Determinați că există o diferență între produsul elementelor diagonalei principale și elementele diagonalei secundare.

Pentru matrice cu dimensiuni de 3 cu 3 sau mai mult. Operația de găsire a determinantului este mai complicată.
Să introducem conceptele:
Element minor– este determinantul unei matrice obținute din matricea originală prin tăierea rândului și coloanei matricei originale în care a fost situat acest element.
Complement algebric elementul unei matrice este produsul dintre minorul acestui element cu -1 la puterea sumei rândului și coloanei matricei originale în care a fost situat acest element.
Determinantul oricărei matrice pătrate este egal cu suma produsului elementelor oricărui rând al matricei prin complementele algebrice corespunzătoare.

Inversarea matricei

Inversarea matricei este procesul de găsire a inversului unei matrice, a cărei definiție am dat-o la început. Matricea inversă se notează în același mod ca și cea originală cu adăugarea gradului -1.
Găsiți matricea inversă folosind formula.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Unde A * T este matricea transpusă a complementelor algebrice.

Am realizat exemple de rezolvare a matricelor sub forma unui tutorial video

:

Dacă doriți să vă dați seama, asigurați-vă că îl vizionați.

Acestea sunt operațiile de bază pentru rezolvarea matricelor. Dacă aveți întrebări suplimentare despre cum se rezolvă matrice, nu ezitați să scrieți în comentarii.

Dacă tot nu vă puteți da seama, încercați să contactați un specialist.