Cum se rezolvă o ecuație diferențială folosind calculul operațional? Calcul operațional

Calculul operațional este folosit pentru a găsi atât cât și solutii generale ecuații diferențiale liniare de orice ordin cu coeficienți constanți, în timp ce partea dreaptă a ecuației la intervale diferite poate fi specificată prin diferite expresii analitice și poate avea, de asemenea, puncte de discontinuitate. Metoda operațională este folosită pentru rezolvarea sistemelor omogene și neomogene de ecuații diferențiale, iar părțile din dreapta ale sistemelor neomogene pot fi, de asemenea, specificate la intervale diferite prin diferite expresii analitice și au puncte de discontinuitate.

Calculul operațional este utilizat pe scară largă pentru a rezolva probleme în inginerie electrică și în special în teoria controlului automat, acesta permite găsirea curentului constant într-un circuit oscilator sub tensiune externă periodică și neperiodică. Metodele operaționale fac posibilă calcularea proceselor în circuite electrice complexe la o tensiune externă arbitrară. Metodele operaționale fac, de asemenea, posibilă găsirea de soluții la ecuațiile diferențiale parțiale care apar în problemele de fizică matematică, de exemplu, atunci când se rezolvă problema mișcării oscilatorii a corzilor și tijelor, a propagării căldurii într-o tijă, plăci plate și corpuri spațiale. , și propagarea oscilațiilor electrice de-a lungul circuitelor lungi.

Calculul operațional se bazează pe transformata Laplace.

Transformarea Laplace sau imaginea Laplace funcţiile unei variabile reale numită funcție
variabilă complexă
, definit de integrala improprie

. (1)

Integrala Laplace se numește integrală din partea dreaptă a lui (1).

Originalul numită funcție a unei variabile reale
, care îndeplinește condițiile:

1)
la
,

2)
continuu pe bucati la
; (2)

3)
la orice , Unde
unele numere constante. Număr numit p indicator de creștere funcții
sau abscisa de convergenta Integrala Laplace.

Funcţie
poate avea pe fiecare segment cu
doar un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel.

Uneori, transformata Laplace este operația de mutare de la original
la imagine
. Meci între
Şi
scris sub forma
.

Dacă funcţia
este originală, atunci integrala Laplace converge absolut și uniform pe semiplanul complex
.

Dovada. Lasă
, Și
. Apoi

.

Rezultă că integrala Laplace converge absolut pentru
, deoarece este majorat de o integrală absolut convergentă. Dacă
, Asta
, unde se obține numărul din partea dreaptă a inegalității. În consecință, integrala Laplace converge uniform pentru
.

Transformarea Laplace stabilește o relație între originale
și imaginile lor. Anumite acțiuni efectuate asupra originalelor corespund anumitor acțiuni efectuate asupra imaginilor acestora, iar acțiunile asupra imaginilor se dovedesc a fi mai simple decât pe originale. În special, o ecuație diferențială față de originalul corespunde unei ecuații algebrice față de imagine. Dacă rezolvați această ecuație algebrică și apoi găsiți originalul soluției rezultate, veți obține astfel o soluție a ecuației diferențiale inițiale.

Prin unitatea Funcția Heaviside numită funcție
. Graficul funcției Heaviside arată ca

Exemplul 1. Găsiți imaginea funcției unității Heaviside.

,

(3)

Să definim în continuare funcția
înțelegeți o funcție care este egală cu zero la
, adică
.

Exemplul 2. Găsiți imaginea funcției exponențiale
.

Pentru
.

(4)

Exemplul 3. Găsiți imaginea unei funcții de putere
,
Şi
,
.

(5)

Cum se rezolvă o ecuație diferențială
metoda de calcul operațional?

În această lecție, vom examina în detaliu o sarcină tipică și larg răspândită de analiză complexă - găsirea unei anumite soluții la un DE de ordinul 2 cu coeficienți constanți folosind metoda calculului operațional. Din nou și din nou, vă scap de preconcepția că materialul este inimaginabil de complex și inaccesibil. Este amuzant, dar pentru a stăpâni exemplele, este posibil să nu poți să diferențiezi, să integrezi și chiar să nu știi ce este numere complexe. Este necesară abilitățile de aplicare metoda coeficienților nesiguri, despre care se discută în detaliu în articol Integrarea Funcțiilor Fracționale-Raționale. De fapt, piatra de temelie a temei sunt operațiile algebrice simple și sunt încrezător că materialul este accesibil chiar și unui elev de liceu.

În primul rând, informații teoretice concise despre secțiunea de analiză matematică luată în considerare. Punctul principal calcul operațional este după cum urmează: funcţia valabil variabilă folosind așa-numita Transformarea Laplace afisat in funcţie cuprinzător variabilă :

Terminologie și denumiri:
funcția este numită original;
funcția este numită imagine;
litera mare denotă Transformarea Laplace.

Vorbitor într-un limbaj simplu, o funcție reală (originală) după anumite reguli trebuie convertită într-o funcție complexă (imagine). Săgeata indică tocmai această transformare. Și „anumite reguli” în sine sunt Transformarea Laplace, pe care o vom lua în considerare doar formal, ceea ce va fi destul de suficient pentru rezolvarea problemelor.

Transformarea Laplace inversă este de asemenea fezabilă, atunci când imaginea este transformată în original:

De ce este nevoie de toate acestea? Într-un număr de probleme de matematică superioare, poate fi foarte benefic să treceți de la originale la imagini, deoarece în acest caz soluția problemei este simplificată semnificativ (doar glumesc). Și vom lua în considerare doar una dintre aceste probleme. Dacă ați trăit pentru a vedea calculul operațional, atunci formularea ar trebui să vă fie foarte familiară:

Găsiți o anumită soluție pentru o ecuație neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți pentru condiții inițiale date.

Nota: uneori, ecuația diferențială poate fi omogenă: , pentru aceasta în formularea de mai sus este aplicabilă și metoda de calcul operațional. Cu toate acestea, în exemple practice DE omogen de ordinul II este extrem de rar, iar în continuare vom vorbi despre ecuații neomogene.

Și acum va fi discutată a treia metodă - rezolvarea ecuațiilor diferențiale folosind calculul operațional. Încă o dată subliniez faptul că vorbim despre găsirea unei anumite soluții, Pe langa asta, conditiile initiale au strict forma(„X-urile” egale cu zerouri).

Apropo, despre „X”. Ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:
, unde „x” este o variabilă independentă, iar „y” este o funcție. Nu este o coincidență că vorbesc despre asta, deoarece în problema luată în considerare sunt cele mai des folosite alte litere:

Adică, rolul variabilei independente este jucat de variabila „te” (în loc de „x”), iar rolul funcției este jucat de variabila „x” (în loc de „y”)

Înțeleg că este incomod, desigur, dar este mai bine să rămânem la notațiile care se găsesc în majoritatea cărților cu probleme și a manualelor de instruire.

Deci, problema noastră cu alte litere este scrisă după cum urmează:

Găsiți o anumită soluție pentru o ecuație neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți pentru condiții inițiale date .

Sensul sarcinii nu s-a schimbat deloc, ci doar literele s-au schimbat.

Cum se rezolvă această problemă folosind metoda calculului operațional?

În primul rând, vei avea nevoie tabel de originale și imagini. Acesta este un instrument cheie de soluție și nu vă puteți descurca fără el. Prin urmare, dacă este posibil, încercați să imprimați cele indicate material de referință. Permiteți-mi să explic imediat ce înseamnă litera „pe”: o variabilă complexă (în loc de „z”) obișnuit. Deși acest fapt nu este deosebit de important pentru rezolvarea problemelor, „pe” este „pe”.

Folosind tabelul, originalele trebuie transformate în niște imagini. Ceea ce urmează este o serie de acțiuni tipice și este folosită transformarea Laplace inversă (de asemenea, în tabel). Astfel, se va găsi soluția particulară dorită.

Toate problemele, ceea ce este frumos, sunt rezolvate conform unui algoritm destul de strict.

Exemplul 1

, ,

Soluţie:În primul pas, vom trece de la originale la imaginile corespunzătoare. Folosim partea stângă.

Mai întâi, să ne uităm la partea stângă a ecuației originale. Pentru transformarea Laplace avem reguli de liniaritate, deci ignorăm toate constantele și lucrăm separat cu funcția și derivatele ei.

Folosind formula tabulară nr. 1, transformăm funcția:

Conform formulei nr.2 , ținând cont de condiția inițială, transformăm derivata:

Folosind formula nr. 3, luând în considerare condițiile inițiale, transformăm derivata a doua:

Nu te confunda cu semnele!

Recunosc că este mai corect să spunem „transformări” decât „formule”, dar pentru simplitate, din când în când voi numi conținutul tabelului formule.

Acum să ne uităm la partea dreaptă, care conține polinomul. Datorita acelorasi reguli de liniaritate Transformarea Laplace, lucrăm cu fiecare termen separat.

Să ne uităm la primul termen: - aceasta este variabila independentă „te” înmulțită cu o constantă. Ignorăm constanta și, folosind punctul nr. 4 din tabel, efectuăm transformarea:

Să ne uităm la al doilea termen: –5. Când o constantă este găsită singură, nu mai poate fi omisă. Cu o singură constantă, ei fac acest lucru: pentru claritate, poate fi reprezentat ca un produs: , iar transformarea poate fi aplicată unității:

Astfel, pentru toate elementele (originalele) ecuației diferențiale, imaginile corespunzătoare au fost găsite folosind tabelul:

Să înlocuim imaginile găsite în ecuația originală:

Următoarea sarcină este de a exprima soluție pentru operator prin orice altceva, și anume printr-o fracție. În acest caz, este recomandabil să urmați următoarea procedură:

Mai întâi, deschideți parantezele din partea stângă:

Prezentăm termeni similari în partea stângă (dacă există). În acest caz, adunăm numerele –2 și –3. Recomand cu tărie ca ceainicele să nu săriți peste acest pas:

În stânga lăsăm termenii care conțin , și mutam termenii rămași la dreapta cu o schimbare de semn:

În partea stângă punem soluția operatorului din paranteze, în partea dreaptă reducem expresia la un numitor comun:

Polinomul din stânga ar trebui factorizat (dacă este posibil). Rezolvarea ecuației pătratice:

Astfel:

Resetăm la numitorul din dreapta:

Scopul a fost atins - soluția operatorului este exprimată în termeni de o fracție.

Actul doi. Folosind metoda coeficienților nesiguri, soluția operatorului a ecuației ar trebui extinsă într-o sumă de fracții elementare:

Să echivalăm coeficienții la puterile corespunzătoare și să rezolvăm sistemul:

Dacă aveți probleme cu vă rog să ajungeți din urmă cu articolele Integrarea unei funcții fracționale-raționaleŞi Cum se rezolvă un sistem de ecuații? Acest lucru este foarte important deoarece fracțiile sunt în esență cea mai importantă parte a problemei.

Deci, se găsesc coeficienții: , iar soluția operatorului ne apare sub formă dezasamblată:

Vă rugăm să rețineți că constantele nu sunt scrise în numărătoare de fracții. Această formă de înregistrare este mai profitabilă decât . Și este mai profitabil, deoarece acțiunea finală va avea loc fără confuzie și erori:

Etapa finală a problemei este de a folosi transformarea Laplace inversă pentru a trece de la imagini la originalele corespunzătoare. Folosind coloana din dreapta tabele cu originale și imagini.

Poate că nu toată lumea înțelege conversia. Formula punctului nr. 5 din tabel se utilizează aici: . Mai detaliat: . De fapt, pentru cazuri similare formula poate fi modificată: . Și toate formulele tabelare de la punctul nr. 5 sunt foarte ușor de rescris într-un mod similar.

După tranziția inversă, soluția parțială dorită a DE este obținută pe un platou de argint:

a fost:

A devenit:

Răspuns: solutie privata:

Dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să efectuați o verificare. Verificarea se efectuează conform schemei standard, care a fost deja discutată la clasă. Ecuații diferențiale neomogene de ordinul 2. Să repetăm:

Să verificăm îndeplinirea condiției inițiale:
– gata.

Să găsim prima derivată:

Să verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții inițiale:
– gata.

Să găsim derivata a doua:

Să înlocuim , și în partea stângă a ecuației inițiale:

Se obține partea dreaptă a ecuației inițiale.

Concluzie: sarcina a fost finalizată corect.

Un mic exemplu pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 2

Folosind calculul operațional, găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale în condiții inițiale date.

O mostră aproximativă a temei finale la sfârșitul lecției.

Cel mai obișnuit invitat în ecuațiile diferențiale, așa cum mulți au observat de mult, este exponențiale, așa că să luăm în considerare câteva exemple cu ei, rudele lor:

Exemplul 3

, ,

Soluţie: Folosind tabelul de transformare Laplace (partea stângă a tabelului), trecem de la originale la imaginile corespunzătoare.

Să ne uităm mai întâi la partea stângă a ecuației. Nu există nicio derivată întâi acolo. Şi ce dacă? Mare. Mai puțină muncă. Ținând cont de condițiile inițiale, folosind formulele tabelare Nr. 1, 3 găsim imaginile:

Acum priviți partea dreaptă: – produsul a două funcții. Pentru a profita proprietăți de liniaritate Transformarea Laplace, trebuie să deschideți parantezele: . Deoarece constantele sunt în produse, uităm de ele și folosind grupul nr. 5 de formule tabelare, găsim imaginile:

Să înlocuim imaginile găsite în ecuația originală:

Permiteți-mi să vă reamintesc că următoarea sarcină este de a exprima soluția operatorului în termenii unei singure fracțiuni.

În partea stângă lăsăm termenii care conțin și mutam termenii rămași în partea dreaptă. În același timp, în partea dreaptă începem să reducem încet fracțiile la un numitor comun:

În stânga îl scoatem din paranteze, în dreapta aducem expresia la un numitor comun:

În partea stângă obținem un polinom care nu poate fi factorizat. Dacă polinomul nu poate fi factorizat, atunci bietul trebuie să fie imediat aruncat în partea de jos a laturii drepte, cu picioarele betonate în bazin. Și la numărător deschidem parantezele și prezentăm termeni similari:

A sosit etapa cea mai minuțioasă: metoda coeficienților nedeterminați Să extindem soluția operatorului a ecuației într-o sumă de fracții elementare:


Astfel:

Observați cum se descompune fracția: , voi explica în curând de ce este așa.

Finalizare: să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare, folosiți coloana din dreapta a tabelului:

În cele două transformări inferioare, s-au folosit formulele nr. 6 și 7 din tabel, iar fracția a fost pre-extinsă doar pentru a o „potrivi” la transformările din tabel.

Ca urmare, o soluție specială:

Răspuns: soluția specială necesară:

Un exemplu similar pentru o soluție de bricolaj:

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale folosind metoda calculului operațional.

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În exemplul 4, una dintre condițiile inițiale este zero. Acest lucru simplifică cu siguranță soluția și cel mai mult varianta ideala, când ambele condiții inițiale sunt zero: . În acest caz, derivatele sunt convertite în imagini fără cozi:

După cum sa menționat deja, cel mai dificil aspect tehnic al problemei este extinderea fracției metoda coeficienților nedeterminați, și am la dispoziție exemple destul de intensive în muncă. Cu toate acestea, nu voi intimida pe nimeni cu monștri, să luăm în considerare câteva variante tipice ale ecuației:

Exemplul 5

Folosind metoda calculului operațional, găsiți o soluție particulară a ecuației diferențiale care satisface condițiile inițiale date.
, ,

Soluţie: Folosind tabelul de transformare Laplace, trecem de la originale la imaginile corespunzătoare. Avand in vedere conditiile initiale :

Nici cu partea dreaptă nu există probleme:

(Rețineți că constantele multiplicatorului sunt ignorate)

Să înlocuim imaginile rezultate în ecuația originală și să efectuăm acțiuni standard, pe care, sper, le-ați funcționat deja bine:

Luăm constanta din numitor în afara fracției, principalul lucru este să nu uităm de ea mai târziu:

Mă gândeam dacă să scot încă doi de la numărător, însă, după ce am făcut bilanțul, am ajuns la concluzia că acest pas practic nu va simplifica decizia ulterioară.

Particularitatea sarcinii este fracția rezultată. Se pare că descompunerea ei va fi lungă și dificilă, dar aparențele sunt înșelătoare. Desigur, există lucruri dificile, dar în orice caz - înainte, fără teamă și îndoială:

Faptul că unele șanse s-au dovedit a fi fracționale nu ar trebui să deranjeze această situație nu este neobișnuită. Dacă tehnologia de calcul nu ar eșua. În plus, există întotdeauna posibilitatea de a verifica răspunsul.

Ca urmare, soluția operatorului:

Să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare:

Astfel, o soluție specială:

Cursul 2.

Aplicarea calculului operațional la rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare și a sistemelor de ecuații cu coeficienți constanți

Să presupunem că trebuie să găsim o anumită soluție la o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți

satisfacerea conditiilor initiale

Unde
- numere date.

Vom presupune că funcția necesară
împreună cu derivatele sale până la – ordinea și funcția
sunt originale.

Să notăm:
Şi
. Folosind proprietatea de diferențiere a originalului și proprietatea de liniaritate, trecem în ecuația diferențială de la originale la imagini:

Ecuația algebrică rezultată, liniară în raport cu imaginea, se numește operator(sau ecuație în imagini). Conform imaginii găsite din el
, puteți găsi originalul
, folosind tabelul și proprietățile transformării Laplace.

Exemplul 1. Utilizarea metodei operaționale pentru rezolvarea problemei Cauchy

,
,
.

Soluţie. Lasă
. Apoi,

Conform tabelului de originale și imagini

.

Înlocuind aceste expresii în ecuația diferențială, obținem ecuația operatorului:

.

Să rezolvăm relativ
, primim

.

Să găsim originalul pentru fiecare termen în partea dreaptă a egalității rezultate.

.

Fracţiune
trebuie reprezentat ca o sumă de fracții simple.

Fracția rațională
se numește corect dacă gradul
polinom
grad mai mic polinom
,aceste.
. Dacă fracția este o fracție improprie, puteți împărți numărătorul la numitor și izolați polinomul și fracția proprie.

;
;

.

Cele mai simple fracții sunt fracții raționale proprii ale formei
Stare
înseamnă că polinomul

are rădăcini complexe. Orice corect fracție rațională .

poate fi reprezentat ca o sumă de fracții simple

Unde Şi Dacă numitorul este reprezentat ca o expansiune

(5)

- multiplicitatea rădăcinilor reale și complexe corespunzătoare, apoi descompunerea unei fracții raționale propriu-zise în unele simple va avea forma
Coeficienți de expansiune

Fracţiune
găsit prin metoda valorilor parțiale sau metoda coeficienților nedeterminați.

.

reprezentați-o ca o sumă de fracții simple
, primim

Înmulțirea ambelor părți ale ultimei egalități cu Pentru a găsi coeficientul necunoscut
. Apoi
, să substituim în această ecuație
.

, sau ,Şi Echivalarea coeficienților la

,

pe ambele părți ale identității, obținem un sistem de ecuații liniare Şi din care se pot găsi coeficienţii rămaşi nedeterminaţi
. Din prima ecuație a acestui sistem
, din a doua ecuație

. Prin urmare,

.

Astfel, Exemplul 2.

,
,
.

Folosind metoda operațională, rezolvați un sistem de ecuații diferențiale cu condiții inițiale date
Lasă
.

.Apoi
Deoarece
.

, atunci sistemul de ecuații operator ia forma
Şi
:

.

Am obținut un sistem de ecuații algebrice liniare pentru imagini
Să găsim o soluție la sistem folosind formulele lui Cramer. Să calculăm determinantul sistemului
,
.

și calificative auxiliare
,
.

Apoi
Şi
Soluții private
sunt originalele pentru imaginile calculate. Pentru a găsi
, să extindem fracția
.

pentru suma celor mai simple:

De aici rezultă că
. Apoi
, să substituim în această ecuație
În ultima egalitate pe care o punem
:
. La
În ultima egalitate pe care o punem
:
, Înseamnă
, din a doua ecuație

, unde
.

Astfel,

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare cu coeficienți constanți și condiții inițiale zero folosind integrale Duhamel
Dacă

- rezolvarea ecuației

,
, …,
, (7)

la condiţii iniţiale zero

apoi soluția ecuației

în aceleaşi condiţii iniţiale este funcţia

Dovada.

, (10)

Unde
Ecuația (6) cu condiții inițiale zero (7) corespunde ecuației operatorului

, este polinomul caracteristic al ecuației (6).

(11)

Unde
Ecuația (8) cu condiții inițiale zero (7) corespunde ecuației operatorului
.

, A

Din (10) și (11) găsim

(13)

Să folosim rezultatele pentru a descrie integralele Duhamel folosind Laplace
,
Să punem în formula (13)
si tine cont de asta

. Apoi obținem o soluție a ecuației diferențiale (8) în condiții inițiale zero în forma

Formula (14) vă permite să găsiți o soluție la o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți în condiții inițiale zero, fără a găsi o imagine a părții drepte a acestei ecuații.

1. Folosind acest grafic original, găsiți imaginea:

Soluţie. Să găsim o expresie analitică pentru funcția al cărei grafic este prezentat în figură. În primul rând, să scriem ecuația dreptei care trece prin puncte
Şi
, și ecuația dreptei care trece prin puncte
Şi
. După cum se știe, ecuația unei drepte care trece prin puncte cu coordonate
Şi
arata ca
. În acest caz, variabila independentă , deci ecuația dreptei va lua forma
. Inlocuind coordonatele punctelor A si B in aceasta ecuatie, obtinem, dupa simplificare, o ecuatie de forma
, substituind coordonatele punctelor B si C in ecuatie, obtinem, dupa simplificare, o ecuatie de forma
. Apoi funcția
arata ca

(15)

Această funcție poate fi scrisă folosind funcția Heaviside

(16)

Să diagramăm funcția
și asigurați-vă că aceasta coincide cu programul specificat inițial

Trebuie să convertim funcția
într-o asemenea formă încât argumentele termenilor individuali, cu excepția constantelor, coincid cu argumentele funcțiilor Heaviside conținute în acești termeni. Aici trebuie transformat doar ultimul termen.

Vom construi o imagine a acestei funcții folosind un tabel folosind teorema de întârziere

(19)

Să rezolvăm acum această problemă folosind Mathcad. Funcția Heaviside din acest pachet este indicată de litera greacă
, argumentul de imagine complexă este notat cu litera (aceste.
).

Rezultatul obţinut coincide cu (17).

2. Găsiți originalul folosind o imagine dată:

Soluţie. Pentru a rezolva această problemă trebuie să reprezentați fracția
ca sumă de fracții simple.

Expansiunea fracțiilor
arata ca un protozoar

, (20)

din moment ce polinom
are două rădăcini complexe conjugate, deoarece
. Să reducem suma fracțiilor din partea dreaptă a lui (20) la un numitor comun, care coincide cu numitorul fracției din partea stângă a lui (20). Apoi obținem egalitatea numărătorilor

Pentru a determina coeficienții de expansiune din (20), folosim mai întâi metoda valorii parțiale. Să punem (21)
, apoi primim
.

Pentru determinarea coeficienţilor
Şi
, folosim metoda coeficienților nedeterminați: echivalăm coeficienții la aceleași grade Şi pe partea stângă și dreaptă a egalității (21).

. De aici vom găsi
,
.

Prin urmare,
.

Să selectăm un pătrat perfect la numitor
:

(22).

Acum, folosind un tabel pentru o anumită imagine, puteți restaura

original

Pentru imagine
ținând cont de teorema de întârziere, obținem originalul din tabel

Prin urmare,

Să prezentăm soluția acestei probleme folosind Mathcad. Pentru fiecare dintre componentele imaginii obținem originalele