Fracții, fracții, definiții, notații, exemple, operații cu fracții. Proprietatea principală a unei fracții. Reguli. Proprietatea principală a unei fracții algebrice Fracție ordinară proprietatea principală a unei fracții

În această lecție ne vom uita la principala proprietate a fracțiilor algebrice. Capacitatea de a aplica corect și fără erori această proprietate este una dintre cele mai importante abilități de bază din întregul curs de matematică școlară și va fi întâlnită nu numai pe parcursul studiului acestei teme, ci și în aproape toate secțiunile de matematică studiate în viitor. . Am studiat deja reducerea fracțiilor obișnuite, iar în această lecție ne vom uita la reducerea fracțiilor raționale. În ciuda diferenței externe destul de mari care există între fracțiile raționale și obișnuite, acestea au multe în comun, și anume, atât fracțiile ordinare, cât și cele raționale au aceleași proprietăți de bază și reguli generale pentru efectuarea operațiilor aritmetice. Ca parte a lecției, vom întâlni conceptele de reducere a unei fracții, înmulțire și împărțire a numărătorului și numitorului cu aceeași expresie - și ne uităm la exemple.

Să ne amintim elementele de bază proprietatea unei fracții comune: Valoarea unei fracții nu se va schimba dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți sau împărțiți simultan cu același număr diferit de zero. Amintiți-vă că împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la același număr diferit de zero se numește reducere.

De exemplu: , în acest caz sensul fracțiilor nu se schimbă. Cu toate acestea, atunci când aplică această proprietate, mulți oameni fac adesea greșeli standard:

1) - în exemplul dat s-a făcut o eroare la împărțirea unui singur termen al numărătorului la 2, și nu a întregului numărător. Secvența corectă de acțiuni arată astfel: sau .

2) - aici vedem o eroare asemanatoare, insa, in plus, ca urmare a impartirii, se obtine 0, nu 1, care este o eroare si mai frecventa si mai grava.

Acum trebuie să trecem la considerare fracție algebrică. Să ne amintim acest concept din lecția anterioară.

Definiţie.Fracție rațională (algebrică). este o expresie fracțională de forma , unde sunt polinoame. - numărător, - numitor.

Fracțiile algebrice sunt, într-un sens, o generalizare a fracțiilor obișnuite și pot fi efectuate aceleași operații asupra lor ca și asupra fracțiilor obișnuite.

Atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții pot fi înmulțiți și împărțiți la același polinom (monom) sau un număr diferit de zero. Aceasta va fi transformarea identică a unei fracții algebrice. Reamintim că, ca și mai înainte, împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la aceeași expresie diferită de zero se numește reducere.

Proprietatea principală a unei fracții algebrice vă permite să reduceți fracțiile și să le reduceți la cel mai mic numitor comun.

Pentru a reduce fracțiile obișnuite am apelat teorema fundamentală a aritmeticii, a descompus atât numărătorul cât și numitorul în factori primi.

Definiţie.număr prim- un număr natural care este divizibil doar cu unul și cu el însuși. Toate celelalte numere naturale se numesc numere compuse. 1 nu este nici un număr prim, nici un număr compus.

Exemplul 1. a), unde factorii în care se împart numărătorii și numitorii fracțiilor indicate sunt numere prime.

Răspuns.; .

Prin urmare, pentru fracții reducătoare Mai întâi trebuie să factorizați numărătorul și numitorul fracției și apoi să le împărțiți în factori comuni. Aceste. ar trebui să știți să factorizați polinoamele.

Exemplul 2. Reduceți fracția a) , b), c).

Soluţie. O). Trebuie remarcat faptul că numărătorul este un pătrat perfect, iar numitorul este diferența de pătrate. După abreviere, trebuie să indicați că , pentru a evita împărțirea la zero.

b) . Numitorul este factorul numeric comun, care este util de făcut în aproape orice caz, acolo unde este posibil. Similar cu exemplul anterior, indicăm că .

V) . La numitor scoatem minusul (sau, formal, ). Nu uitați că atunci când reduceți.

Răspuns.;; .

Acum să dăm un exemplu de reducere la un numitor comun, aceasta se face în același mod cu fracțiile obișnuite.

Exemplul 3.

Soluţie. Pentru a găsi cel mai mic numitor comun, trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun (NOC) doi numitori, i.e. LOC(3;5). Cu alte cuvinte, găsiți cel mai mic număr care este divizibil cu 3 și 5 în același timp. Evident, acesta este numărul 15, se poate scrie astfel: LCM(3;5)=15 - acesta va fi numitorul comun al acestor fracții.

Pentru a converti numitorul de la 3 la 15, acesta trebuie înmulțit cu 5, iar pentru a converti 5 la 15, trebuie înmulțit cu 3. Conform proprietății de bază a unei fracții algebrice, aceasta trebuie înmulțită cu aceleași numere și cu numărători corespunzători fracțiilor indicate.

Răspuns.; .

Exemplul 4. Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Soluţie. Să efectuăm acțiuni similare cu exemplul anterior. Cel mai mic multiplu comun al numitorilor LCM(12;18)=36. Să aducem ambele fracții la acest numitor:

Şi .

Răspuns.; .

Acum să ne uităm la exemple care demonstrează utilizarea tehnicii de reducere a fracțiilor pentru a le simplifica în cazuri mai complexe.

Exemplul 5. Calculați valoarea fracției: a) , b) , c) .

A) . Când abrevierăm, folosim regula împărțirii puterilor.

După ce am repetat folosirea proprietatea principală a unei fracții comune, putem trece la considerarea fracțiilor algebrice.

Exemplul 6. Simplificați fracția și calculați pentru valorile date ale variabilelor: a) ; , b) ;

Soluţie. Când abordați soluția, este posibilă următoarea opțiune - înlocuiți imediat valorile variabilelor și începeți să calculați fracția, dar în acest caz soluția devine mult mai complicată și timpul necesar pentru a o rezolva crește, ca să nu mai vorbim de pericol. de greşeli în calcule complexe. Prin urmare, este convenabil să simplificați mai întâi expresia în formă literală și apoi să înlocuiți valorile variabilelor.

O) . Când se reduce cu un factor, este necesar să se verifice dacă se transformă la zero în valorile variabilei specificate. La înlocuire obținem , ceea ce face posibilă reducerea cu acest factor.

b) . Punem un minus la numitor, așa cum am făcut deja exemplu 2. Când reducem cu, verificăm din nou dacă împărțim la zero: .

Răspuns.; .

Exemplul 7. Reduceți fracțiile a) și , b) și , c) și la un numitor comun.

Soluţie. a) În acest caz, vom aborda soluția în felul următor: nu vom folosi conceptul de LCM, ca în al doilea exemplu, ci pur și simplu înmulțim numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și invers - aceasta ne va permite să aducem fracțiile la același numitor. Desigur, nu uitați să înmulțiți numărătorii fracțiilor cu aceleași expresii.

. Parantezele au fost deschise în numărător, iar formula diferenței de pătrate a fost folosită la numitor.

. Acțiuni similare.

Se poate observa că această metodă vă permite să înmulțiți numitorul și numărătorul unei fracții cu elementul lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții. Acțiuni similare sunt efectuate cu o altă fracție, iar numitorii sunt redusi la o valoare comună.

b) Să facem aceiași pași ca în paragraful anterior:

. Să înmulțim numărătorul și numitorul cu elementul numitorului celei de-a doua fracții care lipsea (în acest caz, cu întregul numitor).

. De asemenea.

V) . În acest caz, am înmulțit cu 3 (un factor care este prezent în numitorul celei de-a doua fracții și absent în prima).

.

Răspuns. A) ; , b) ; , V); .

În această lecție am învățat proprietatea principală a unei fracții algebriceși a trecut în revistă principalele sarcini cu utilizarea acestuia. În lecția următoare, vom arunca o privire mai atentă asupra reducerii fracțiilor la un numitor comun folosind formule de înmulțire abreviate și metoda de grupare pentru factorizare.

Referințe

1. Bashmakov M.I. Algebră clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. si altele Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ general. - M.: Educație, 2006.

1. Examen de stat unificat la matematică ().
2. Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().
3. Matematică la școală: planuri de lecție ().

Teme pentru acasă

Algebră 7 B grad

Subiectul lecției: "Fracția rațională. Proprietatea principală a unei fracții raționale"

Data:

Obiectivele lecției:

1. Educațional:

Introduceți conceptul de fracție rațională și principala sa proprietate;

Exersează abilitățile de reducere a fracțiilor și de a le aduce la un numitor comun;

Consolidați aceste concepte în timp ce rezolvați sarcinile.

2. Dezvoltare:

Dezvoltați inteligența și ingeniozitatea elevilor, dezvoltați cultura vorbirii lor; dezvoltarea activității cognitive și a gândirii logice a elevilor;

3. Educațional:

Cultivați scopul, responsabilitatea, organizarea și dezvoltați interesul pentru studiul matematicii.

Planul de lecție.

1. Moment organizatoric.

2. Verificarea temelor.

3. Actualizarea cunoștințelor (prin repetarea materialului anterior).

4. Explicarea subiectului.

5. Consolidarea prin rezolvarea sarcinilor.

6. Tema pentru acasă.

7. Rezumând.

Progresul lecției

1. Moment organizatoric.

2. Verificarea temei nr 484.

La ce valori ale lui x nu au sens următoarele fracții:

1) ODZ: x≠2

2) ODZ: x≠-1

3) ODZ: x≠3

4) ODZ: x≠2

5) ODZ: x≠1

6) ODZ: x≠3

7) ODZ: x≠a

8) ODZ: x≠-b

9) ODZ: x≠1,-1

10)ODZ:x≠-1,2

3. Repetarea materialului anterior pentru consolidare

1. Cum diferă o expresie numerică de o expresie cu litere?

2. Ce expresii numim numere întregi?

3. Ce expresii numim fractional?

4. Ce sunt expresiile raționale?

5. Ce expresii au sens pentru orice sens?

6. Ce expresii nu au sens pentru unele valori ale variabilelor?

7. Care este valoarea validă a variabilelor?

8. Ce tipuri de fracții există?

Lucrul cu material didactic. Un student lucrează la consiliu. Care dintre aceste expresii sunt fracții și care sunt numere întregi?

a 2 ; (x-y) 2-4xy; ; ; ;(c+3)2+; 7x2-2xy; ; ; ; a(a-b);

Fracții întregi

a 2 , (x-y) 2 - 4xy, , ,

, (c+3) 2 + , , a(a-b),

Completați tabelul

Aflați valoarea fracției, când x este egal cu tabelul de mai jos

4. Explicație

O expresie a formei se numește fracție rațională, unde a, b sunt expresii raționale și b conține în mod necesar variabile.

De exemplu: ,

Proprietățile fracțiilor raționale și ale operațiilor cu acestea sunt foarte asemănătoare cu proprietățile fracțiilor numerice și ale operațiilor cu acestea. Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții obișnuite pe care o cunoașteți: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu același număr natural, atunci se obține o fracție egală, adică egalitatea este adevărată pentru orice valoare naturală a unei fracții. , b și c.

Această egalitate este valabilă nu numai pentru valorile naturale, ci și pentru orice alte valori ale variabilelor a, b și c, pentru care numitorul nu este egal cu zero, adică pentru b ≠ 0 și

c ≠ 0. Să demonstrăm această afirmație.

Fie fracție = m. Atunci, prin definiția unui coeficient, avem a = bm. Să înmulțim ambele părți ale acestei egalități cu numărul c și să obținem ac = (bm) · c. Pe baza proprietăților comutative și asociative ale înmulțirii, scriem ac = (bс) · m. Deoarece b ≠ 0 și c ≠ 0 (adică bс ≠ 0), exprimăm cantitatea din această egalitate În plus față de această egalitate, există egalitatea m = . Să echivalăm părțile drepte ale acestor expresii și să obținem egalitatea necesară.

Egalitatea este adevărată pentru toate valorile variabilelor pentru care părțile sale stânga și dreapta au sens, adică pentru toate valorile admisibile ale variabilelor. Astfel de egalități se mai numesc identități. Două expresii care iau valori egale pentru toate valorile posibile ale variabilelor pentru ele sunt numite identic egale. Se numește înlocuirea unei astfel de expresii cu alta transformare identică a expresiei.

S-a dovedit că egalitatea este adevărată pentru toate valorile admisibile ale variabilelor. Prin urmare, prin definiție, această egalitate este o identitate. Această identitate se numește proprietatea principală a unei fracții.

Identitatea vă permite să înlocuiți o fracție cu o expresie identică cu aceasta, adică. Pe baza acestei formule, putem reduce fracția cu un factor de c.

Exemplu: = =

Proprietatea principală a unei fracții este folosită pentru a o reduce la un numitor dat.

Exemplul 1. Să reducem fracția la numitorul 27b 5 (adică, scrieți această fracție ca o fracție cu numitorul 27b 5).

În numitorul (noul) dat 27b 5, selectăm vechiul numitor 3b 3 ca multiplicator, adică scriem egalitatea 27b 5 = 3b 3 · 9b 2. Prin urmare, pentru a obține o fracție cu un nou numitor 27b 5, conform proprietății de bază a fracției, înmulțim numărătorul și numitorul acestei fracții cu factorul 9b 2. Atunci obținem: În acest caz, factorul 9b 2 se numește factor suplimentar la numărătorul și numitorul acestei fracții.

Să luăm în considerare încă o proprietate a unei fracții.

Dacă schimbați semnul numărătorului (sau numitorului) unei fracții, semnul fracției în sine se va schimba:

5. Rezolvarea exercițiilor de consolidare: Nr.

6. Tema pentru acasă:

7. Rezumând.

- Ce se numește fracție rațională?

- Ce se numește identitate?

- Numiți proprietatea principală a unei fracții.

- Ce se numește o transformare de identitate a unei expresii?

În acest articol vom analiza care este proprietatea principală a unei fracții, o vom formula, vom da o dovadă și un exemplu clar. Apoi ne vom uita la modul de aplicare a proprietății de bază a fracțiilor atunci când efectuăm acțiunile de reducere a fracțiilor și de reducere a fracțiilor la un nou numitor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Toate fracțiile obișnuite au cea mai importantă proprietate, pe care o numim proprietatea de bază a unei fracții și sună astfel:

Definiția 1

Dacă numărătorul și numitorul aceleiași fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, fracția rezultată va fi egală cu cea dată.

Să ne imaginăm proprietatea principală a unei fracții sub forma unei egalități. Pentru numerele naturale a, b și m egalitățile vor fi valabile:

a · m b · m = a b și a: m b: m = a b

Să luăm în considerare demonstrarea proprietății de bază a unei fracții. Pe baza proprietăților de înmulțire a numerelor naturale și a proprietăților de împărțire a numerelor naturale, scriem egalitățile: (a · m) · b = (b · m) · a și (a: m) · b = (b: m) · a. Deci fracțiile a · m b · m și a b , precum și a: m b: m și a b sunt egale prin definiția egalității fracțiilor.

Să ne uităm la un exemplu care va ilustra grafic proprietatea principală a unei fracții.

Exemplul 1

Să presupunem că avem un pătrat împărțit în 9 părți pătrate „mari”. Fiecare pătrat „mare” este împărțit în 4 mai mici. Se poate spune că un pătrat dat este împărțit în 4 9 = 36 pătrate „mici”. Să evidențiem 5 pătrate „mari”. În acest caz, vor fi colorate 4 · 5 = 20 de pătrate „mici”. Să arătăm o imagine care demonstrează acțiunile noastre:

Partea colorată este 5 9 din figura originală sau 20 36, care este aceeași. Astfel, fracțiile 5 9 și 20 36 sunt egale: 5 9 = 20 36 sau 20 36 = 5 9 .

Aceste egalități, precum și egalitățile 20 = 4 5, 36 = 4 9, 20: 4 = 5 și 36: 4 = 9, fac posibilă concluzia că 5 9 = 5 4 9 4 și 20 36 = 20 · 4 36 · 4 .

Pentru a consolida teoria, să ne uităm la soluția exemplului.

Exemplul 2

Se dă că numărătorul și numitorul unei fracții comune au fost înmulțite cu 47, după care acești numărător și numitor au fost împărțiți cu 3. Este fracția rezultată egală cu fracția dată?

Soluţie

Pe baza proprietății de bază a unei fracții, putem spune că înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții date cu numărul natural 47 va rezulta o fracție egală cu cea inițială. Putem spune același lucru împărțind în continuare la 3. În cele din urmă, vom obține o fracție egală cu cea dată.

Răspuns: Da, fracția rezultată va fi egală cu cea inițială.

Aplicarea proprietății de bază a unei fracții

Proprietatea principală este utilizată atunci când trebuie să reduceți fracțiile la un nou numitor și atunci când reduceți fracțiile.

Reducerea unei fracții la un nou numitor este acțiunea de a înlocui o fracție dată cu o fracție egală, dar cu un numărător și un numitor mai mari. Pentru a converti o fracție într-un nou numitor, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu numărul natural necesar. Lucrul cu fracții ar fi imposibil fără o modalitate de a converti fracțiile la un nou numitor.

Definiția 2

Reducerea unei fracții– acțiunea de a trece la o nouă fracție egală cu cea dată, dar cu numărător și numitor mai mici. Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul fracției la același număr natural necesar, care va fi numit divizor comun.

Pot exista cazuri când nu există un astfel de divizor comun, atunci ei spun că fracția inițială este ireductibilă sau nu poate fi redusă. În special, reducerea unei fracții folosind cel mai mare divizor comun va duce la ireductibilă fracției.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Comun(sau simplu) fracție - scrierea unui număr rațional sub forma ± m n (\displaystyle \pm (\frac (m)(n))) sau ± m / n , (\displaystyle \pm m/n,) Unde n ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.) O orizontală sau o bară oblică indică un semn de divizare, rezultând un coeficient. Se cheamă dividendul numărător fracții, iar divizorul este numitor.

  Notație pentru fracții comune

  Există mai multe tipuri de scriere a fracțiilor obișnuite în formă tipărită:

  Fracții proprii și improprii

  Corecta O fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei se numește fracție. O fracție care nu este proprie se numește greşit, și reprezintă un număr rațional cu un modul mai mare sau egal cu unu.

  De exemplu, fracții 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8)))și sunt fracții proprii, în timp ce 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1)))Şi 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- fracții improprii. Orice număr întreg diferit de zero poate fi reprezentat ca o fracție improprie cu numitorul 1.

  Fracții mixte

  Se numește o fracție scrisă ca număr întreg și o fracție proprie fracție mixtăși se înțelege ca suma acestui număr și a unei fracții. Orice număr rațional poate fi scris ca o fracție mixtă. Spre deosebire de o fracție mixtă, se numește o fracție care conține doar un numărător și un numitor simplu.

  De exemplu, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14) )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). În literatura matematică strictă, ei preferă să nu folosească o astfel de notație din cauza asemănării notației pentru o fracție mixtă cu notația pentru produsul unui întreg cu o fracție, precum și din cauza notației mai greoaie și a calculelor mai puțin convenabile. .

  Fracții compuse

  O fracție cu mai multe etaje, sau compusă, este o expresie care conține mai multe linii orizontale (sau, mai puțin frecvent, oblice):

  1 2 / 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(2))/(\frac (1)(3))) sau 1 / 2 1 / 3 (\displaystyle (\frac (1/2)(1/3))) sau 12 3 4 26 (\displaystyle (\frac (12(\frac (3)(4)))(26)))

  zecimale

  O zecimală este o reprezentare pozițională a unei fracții. Arata cam asa:

  ± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … (\displaystyle \pm a_(1)a_(2)\dots a_(n)(,)b_(1)b_(2)\dots )

  Exemplu: 3,141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).

  Partea înregistrării care vine înaintea virgulei zecimale poziționale este partea întreagă a numărului (fracție), iar partea care vine după virgulă zecimală este partea fracțională. Orice fracție obișnuită poate fi convertită într-o zecimală, care în acest caz fie are un număr finit de zecimale, fie este o fracție periodică.

  În general, pentru a scrie un număr pozițional, puteți folosi nu numai sistemul de numere zecimal, ci și altele (inclusiv unele specifice, cum ar fi Fibonacci).

  Semnificația unei fracții și proprietatea principală a unei fracții

  O fracție este doar o reprezentare a unui număr. Același număr poate corespunde diferitelor fracții, atât ordinare, cât și zecimale.

  0 , 999... = 1 (\displaystyle 0,999...=1)- două fracții diferite corespund aceluiași număr.

  Operații cu fracții

  Această secțiune acoperă operațiunile pe fracții obișnuite. Pentru operații cu fracții zecimale, vezi Fracție zecimală.

  Reducere la un numitor comun

  Pentru a compara, a adăuga și a scădea fracții, acestea trebuie convertite ( aduce) la o formă cu același numitor. Să fie date două fracții: a b (\displaystyle (\frac (a)(b)))Şi c d (\displaystyle (\frac (c)(d))). Procedură:

  După aceasta, numitorii ambelor fracții coincid (egal M). În loc de cel mai mic multiplu comun, în cazuri simple putem lua ca M orice alt multiplu comun, cum ar fi produsul numitorilor. Pentru un exemplu, consultați secțiunea Comparație de mai jos.

  Comparaţie

  Pentru a compara două fracții comune, trebuie să le aduceți la un numitor comun și să comparați numărătorii fracțiilor rezultate. O fracție cu un numărător mai mare va fi mai mare.

  Exemplu. Să comparăm 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4)))Şi 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. Reducem fracțiile la numitorul 20.

  3 4 = 15 20 ;

  4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3)(4))=(\frac (15)(20));\quad (\frac (4)(5))=(\frac (16)( 20))) 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

  Prin urmare,

  Adunarea și scăderea
  

  Pentru a adăuga două fracții obișnuite, trebuie să le reduceți la un numitor comun. Apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat: + = + = 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)))

  5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6))) Pentru a adăuga două fracții obișnuite, trebuie să le reduceți la un numitor comun. Apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat: LCM al numitorilor (aici 2 și 3) este egal cu 6. Dăm fracția
  la numitorul 6, pentru aceasta numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu 3. A funcționat 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))) . Dăm fracția 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))) la același numitor, pentru aceasta numărătorul și numitorul trebuie înmulțite cu 2. S-a dovedit.
  2 6 (\displaystyle (\frac (2)(6)))
  

  Pentru a adăuga două fracții obișnuite, trebuie să le reduceți la un numitor comun. Apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat: - = - Pentru a obține diferența dintre fracții, acestea trebuie, de asemenea, aduse la un numitor comun și apoi scădeți numărătorii, lăsând numitorul neschimbat: = Pentru a obține diferența dintre fracții, acestea trebuie, de asemenea, aduse la un numitor comun și apoi scădeți numărătorii, lăsând numitorul neschimbat:

  1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4))) Pentru a adăuga două fracții obișnuite, trebuie să le reduceți la un numitor comun. Apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat: LCM al numitorilor (aici 2 și 4) este egal cu 4. Prezentăm fracția la numitorul 4, pentru aceasta trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 2. Obținem.

  2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4)))

  Înmulțirea și împărțirea

  Pentru a înmulți două fracții obișnuite, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii:

  a b ⋅ c d = a c b d .

  (\displaystyle (\frac (a)(b))\cdot (\frac (c)(d))=(\frac (ac)(bd)).)

  În special, pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să înmulțiți numărătorul cu număr și să lăsați numitorul același:

  2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)

  Pentru a împărți o fracție obișnuită la alta, trebuie să înmulțiți prima cu reciproca celei de-a doua:

  a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , c ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)(b))\ cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc)),\quad c\neq 0.)

  De exemplu,

  1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2.

  (\displaystyle (\frac (1)(2)):(\frac (1)(3))=(\frac (1)(2))\cdot (\frac (3)(1))=(\ frac (3)(2)).)

  Convertiți între diferite formate de înregistrare