Определить тип и решить дифференциальное уравнение. Дифференциальные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным

Виды дифференциальных уравнений:

▫ Обыкновенные дифференциальные уравнения - уравнения, в которых одна независимая переменная

▫ Дифференциальные уравнения в частных производных - уравнения, в которых независимых переменных две и более

Виды дифференциальных уравнений представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Название		Вид			Способ решения
С разделяющимися переменными		P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 если P(x,y) и Q(x,y) разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной. f(x)g(y)dx+(x)q(y)dy=0			1.разделить переменные 2.проинтегрировать 3.привести к стандартному виду y=(x)+c – общее решение
Однородные		P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 где P(x,y), Q(x,y) – однородные функции одного измерения y’= (если в функции заменить x=tx, y=ty и преобразовать вернемся исходному уравнению)			1. замена y=tx, тогда 2. привести к уравнению с разделяющимися переменными и решить (см. выше). 3. вернуться к замене, подставить 4. привести к стандартному виду y=
Линейные	y’+P(x)y=Q(x) (y’ и у’ входят в первых степенях не перемножаясь между собой) а) линейное однородное б) линейное неоднородное в) уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)y’’				1. замена y=uv,тогда y’=u’v+v’u 2. u’v+v’u+ P(x) uv= Q(x) v(u’+P(x)u)+v’u= Q(x) (*) 3. в уравнении (*) приравнять скобку к нулю u’+P(x)u=0 – c разделенными переменными 4. значение u подставить в уравнение (*) v’P(x)=Q(x) - c разделенными переменными 5. вернуться к замене y=P(x)(F(x)+c) – общее решение
Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.
Допускающие понижения порядка			y’’=f(x)	Решаются двойным интегрированием
Линейные однородные второго порядка с постоянными коэффициентами			y’’+py+qy=0 где p, q – заданные числа Всякое Л.О.У. Второго порядка имеет систему двух линейно независимых частных решений. которая называется фундаментальной системой решений. Общее решение есть линейная комбинация частных решений его фундаментальной системы
				1.Составить характеристическое уравнение
				2.в зависимости от вида корней, фундаментальная система решений имеет вид:
				корни характеристического уравнения		фундаментальная система частных решений	общее решение
				действительные
				Различные

Простейшим д.у.1 является уравнение вида Как известно из курса интегрального исчисления, функцияy находится интегрированием

Определение. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением сразделенными переменными. Его можно записать в виде

Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение).

Пример.

Решение. Запишем уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:

(общий интеграл дифференциального уравнения).

Определение. Уравнение вида называется уравнениемс разделяющимися переменными, если функции можно представить в виде произведения функций

т. е. есть уравнение имеет вид

Чтобы решить такое дифференциальное уравнение, нужно привести его к виду дифференциального уравнения с разделенными переменными, для чего разделим уравнение на произведение
Действительно, разделив все члены уравненияна произведение
,

–дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Для решения его достаточно почленно проинтегрировать

При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных.

Первый шаг. Если дифференциальное уравнение содержит производную , ее следует записать в виде отношения дифференциалов:

Второй шаг. Умножим уравнение на
, затем сгруппируем слагаемые, содержащие дифференциал функции и дифференциал независимой переменной
.

Третий шаг. Выражения, полученные при
, представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых содержит только одну переменную (
). Если после этого уравнение примет видто, разделив его на произведение
, получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Четвертый шаг. Интегрируя почленно уравнение, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл).

Рассмотрим уравнения

№ 2.

№ 3.

Дифференциальное уравнение № 1 является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, по определению. Разделим уравнение на произведение
Получим уравнение

Интегрируя, получим

или

Последнее соотношение есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.

В дифференциальном уравнении № 2 заменим
умножим на
, получим

общее решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение № 3 не является уравнением с разделяющимися переменными, т. к., записав его в виде

или
,

видим, что выражение
в виде произведения двух множителей (один –

только с y, другой – только с х ) представить невозможно. Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными.

Пример № 4 . Дано уравнение Преобразуем уравнение, вынося общий множитель слева
Разделим левую и правую части уравнения на произведение
получим

Проинтегрируем обе части уравнения:

откуда
– общий интеграл данного уравнения. (а)

Заметим, что если постоянную интегрирования записать в виде
, то общий интеграл данного уравнения может иметь другую форму:

или
– общий интеграл. (б)

Таким образом, общий интеграл одного и того же дифференциального уравнения может иметь различную форму. Важно в любом случае доказать, что полученный общий интеграл удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Для этого нужно продифференцировать по х обе части равенства, задающего общий интеграл, учитывая, что y есть функция от х . После исключения с получим одинаковые дифференциальные уравнения (исходное). Если общий интеграл
, (вид (а )), то

Если общий интеграл
(вид (б)), то

Получим то же уравнение, что и в предыдущем случае (а).

Рассмотрим теперь простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Запишем несколько примеров таких ДУ .

Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .

Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0 . Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем


Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:


Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является .

Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Особенности дифференциальных уравнений первого порядка

При решении уравнений первого порядка функцию y и переменную x следует считать равноправными. То есть решение может быть в виде так и в виде .

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Однородные уравнения

Уравнения, приводящиеся к однородным

Обобщенные однородные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения

• Линейное по y
• Линейное по f(y)
• Линейное по x
• Линейное по f(x)

Уравнения Бернулли

Уравнения Риккати

Уравнения Якоби

Уравнения в полных дифференциалах

при условии

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то следует попытаться найти интегрирующий множитель, чтобы свести его к уравнению в полных дифференциалах.

Уравнения, не решенные относительно производной y′

Уравнения, допускающие решение относительно производной y′

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной y′ . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, допускающие разложение на множители

Уравнения, не содержащие x и y

Уравнения, не содержащие x или y

Или

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро

Уравнения Лагранжа

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Уравнения, не содержащие y

Уравнения, не содержащие x

Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

,
где - многочлены степеней и .

Уравнения Эйлера

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Инструкция

Если уравнение представлено в виде: dy/dx = q(x)/n(y), относите их к категории дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Их можно решить, записав условие в дифференциалах по следующей : n(y)dy = q(x)dx. Затем проинтегрируйте обе части. В некоторых случаях решение записывается в виде интегралов, взятых от известных функций. К примеру, в случае dy/dx = x/y, получится q(x) = x, n(y) = y. Запишите его в виде ydy = xdx и проинтегрируйте. Должно получиться y^2 = x^2 + c.

К линейным уравнениям относите уравнения «первой ». Неизвестная функция с ее производными входит в подобное уравнение лишь в первой степени. Линейное имеет вид dy/dx + f(x) = j(x), где f(x) и g(x) – функции, зависящие от x. Решение записывается с помощью интегралов, взятых от известных функций.

Учтите, что многие дифференциальные уравнения - это уравнения второго порядка (содержащие вторые производные) Таким, например, является уравнение простого гармонического движения, записанное в виде общей : md 2x/dt 2 = –kx. Такие уравнения имеют, в , частные решения. Уравнение простого гармонического движения является примером достаточно важного класса: линейных дифференциальных уравнений, у которых имеется постоянный коэффициент.

Рассмотрите более общий пример (второго порядка): уравнение, где у и z – являются заданными постоянными, f(x) – заданная функция. Подобные уравнения можно решить разными способами, к примеру, при помощи интегрального преобразования. Это же самое можно сказать и про линейные уравнения более высоких порядков, имеющих постоянные коэффициенты.

Примите к сведению, что уравнения, которые содержат неизвестные функции, а также их производные, стоящие в степени выше первой, называются нелинейными. Решения нелинейных уравнений достаточно сложны и поэтому, для каждого из них используется свой частный случай.

Источники:

• типы дифференциальных уравнений

Изучение курса дифференциального исчисления всегда начинается с составления дифференциальных уравнений. Прежде всего рассматривают несколько физических задач, при математическом решении которых неизбежно возникают производные различных порядков. Уравнения, которые содержат аргумент, искомую функцию и ее производные называют дифференциальными.

Вам понадобится

• - ручка;
• - бумага.

Инструкция

В исходных физических задачах аргументом, чаще всего, является t. Общий принцип составления дифференциального уравнения (ДУ) состоит в том, что на малых приращениях аргумента функции почти не меняются, что позволяет заменять приращения функции их дифференциалами. Если в постановке задачи речь зайдет о изменения какого-либо параметра, то сразу следует производную параметра (со знаком минус, если некоторый параметр уменьшается).

Если в процессе рассуждений и выкладок возникли интегралы, их можно устранить дифференцированием. И наконец, в физических формулах производных и так более чем достаточно. Самое главное – рассмотреть как можно примеров, которые в процессе необходимо довести до стадии составления ДУ.

Решение. Пусть входное напряжение U(t), а искомое выходное u(t) (см. рис.1).
Входное напряжение состоит из суммы выходного u(t) и падения напряжения на сопротивления R - Ur(t).
U(t)=Ur(t)+Uc(t); по закону Ома Ur(t)=i(t)R, i(t)=C(dUc/dt). С другой стороны Uc(t)=u(t), а i(t) – ток цепи (в том числе и на емкости С). Значит i=C(du/dt), Ur=RC(du/dt). Тогда баланс напряжений в электрической цепи можно переписать в виде: U=RC(du/dt)+u. Разрешая это уравнение относительно первой производной, имеем:
u’(t)=-(1/RC)u(t)+(1/RC)U(t).
Это ДУ первого порядка. Решением задачи будет его общее решение (неоднозначное). Для получения однозначного решения надо задавать начальные условия (краевые) в виде u(0)=u0.

Пример 2. Найти уравнение гармонического осциллятора.

Решение. Гармонический осциллятор (колебательный контур) – основной элемент радиопередающих и радиоприемных устройств. Это замкнутая электрическая цепь, содержащая параллельно соединенные емкость С (конденсатор) и индуктивность L (катушка). Известно, что токи и напряжения на таких реактивных элементах связаны равенствами Iс=C(dUc/dt)=CU’c,
Ul=-L(dIl/dt)=-LI’l . Т.к. в этой задаче все напряжения и все токи одинаковы, то окончательно
I’’+(1/LC)I=0.
Получено ДУ второго порядка.

Видео по теме

Определить вид дифференциального уравнения необходимо для того, чтобы подобрать соответствующий каждому случаю способ решения. Классификация видов довольно большая, а решение основывается на методах интегрирования.

Инструкция

Необходимость в дифференциальных уравнениях возникает тогда, когда известны , а сама она остается неизвестной величиной. Часто такая ситуация возникает при исследовании физических . Свойства функции описываются ее производными или дифференциалом, поэтому единственным способом ее нахождения является интегрирование. Прежде чем приступать к решению, нужно определить вид дифференциального уравнения.

Существует несколько дифференциальных уравнений, простейшим из них является выражение у’ = f(х), где у’ = dу/dх. Кроме того, к этому виду может быть приведено равенство f(х) у’ = g(х), т.е. у’ = g(х)/f(х). Разумеется, это возможно только при условии, что f(х) не обращается в ноль. Пример: 3^х у’ = х² – 1 → у’ = (х² - 1)/3^х.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными называются так потому, что производная у’ в данном случае буквально разделена на две составляющие dу и dх, которые находятся по разные стороны от знака равно. Это уравнения вида f(у) dу = g(х) dх. Пример: (у² – sin у) dу = tg х/(х - 1) dх.