Линейные операции над векторами. Проекции векторов на координатные оси Как обозначается проекция вектора в физике

По физике за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №5
к главе «ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДВИЖЕНИИ ».

1. Что называют проекцией вектора на координатную ось?

1. Проекцией вектора а на координатную ось называют длину отрезка между проекциями начала и конца вектора а (перпендикулярами, опущенными из этих точек на ось) на эту координатную ось.

2. Как связан вектор перемещения тела с его координатами?

2. Проекции вектора перемещения s на оси координат равны изменению соответствующих координат тела.

3. Если координата точки с течением времени увеличивается, то какой знак имеет проекция вектора перемещения на координатную ось? А если она уменьшается?

3. Если координата точки с течением времени увеличивается, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет положительной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора по направлению самой оси.

Если координата точки с течением времени будет уменьшаться, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет отрицательной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора против направляющей самой оси.

4. Если вектор перемещения параллелен оси X, то чему равен модуль проекции вектора на эту ось? А модуль проекции этого же вектора на ось У?

4. Если вектор перемещения параллелен оси Х, то модуль проекции вектора на эту ось равен модулю самого вектора, а его проекция на ось Y равна нулю.

5. Определите знаки проекций на ось X векторов перемещения, изображенных на рисунке 22. Как при этих перемещениях изменяются координаты тела?

5. Во всех нижеследующих случаях координата Y тела не изменяется, а координата Х тела будет изменяться следующим образом:

a) s 1 ;

проекция вектора s 1 , на ось Х отрицательна и по модулю равна длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 1 .

b) s 2 ;

проекция вектора s 2 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 2 .

c) s 3 ;

проекция вектора s 3 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 3 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 3 .

d) s 4 ;

проекция вектора s 4 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 4 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 4 .

e) s 5 ;

проекция вектора s 5 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 5 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 5 .

6. Если значение пройденного пути велико, то может ли модуль перемещения быть малым?

6. Может. Это связано с тем, что перемещение (вектор перемещения) является векторной величиной, т.е. представляет собой направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующими положениями. А конечное положение тела (вне зависимости от величины пройденного пути) может находиться как угодно близко к первоначальному положению тела. В случае совпадения конечного и начального положений тела, модуль перемещения будет равен нулю.

7. Почему в механике более важен вектор перемещения тела, чем пройденный им путь?

7. Основной задачей механики является определение положения тела в любой момент времени. Зная вектор перемещения тела мы можем определить координаты тела, т.е. положение тела в любой момент времени, а зная только пройденный путь мы не можем определить координаты тела, т.к. мы не имеем сведений о направлении движения, а можем только судить о длине пройденного пути на данный момент времени.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или (нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).

Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть
а x = х к − x н.
Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где - координаты вектора.

Скалярное произведение векторов

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ [- в конечномерном векторном пространстве определяется как сумма произведений одинаковых компонент перемножаемых векторов .

Напр., С. п. в. a = (a 1 , ..., a n ) и b = (b 1 , ..., b n ):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

В этой статье мы разберемся с проекцией вектора на ось и научимся находить числовую проекцию вектора. Сначала дадим определение проекции вектора на ось, введем обозначения, а также приведем графическую иллюстрацию. После этого озвучим определение числовой проекции вектора на ось, рассмотрим способы ее нахождения и покажем решения нескольких примеров, в которых требуется найти числовую проекцию вектора на ось.

Навигация по странице.

Проекция вектора на ось – определение, обозначение, иллюстрации, пример.

Начнем с общих сведений.

Под осью понимается прямая, для которой указано направление. Таким образом, проекция вектора на ось и проекция вектора на направленную прямую – это одно и то же.

Проекцию вектора на ось можно рассматривать в двух смыслах: геометрическом и алгебраическом. В геометрическом смысле проекция вектора на ось есть вектор, а в алгебраическом – число. Часто это разграничение явно не указывается, а понимается из контекста. Мы же не станем игнорировать это разграничение: будем использовать термин «», когда речь идет о проекции вектора в геометрическом смысле, и термин «», когда речь идет о проекции вектора в алгебраическом смысле (числовой проекции вектора на ось посвящен следующий пункт этой статьи).

Теперь переходим к определению проекции вектора на ось. Для этого не помешает повторить .

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве нам задана ось L и ненулевой вектор . Обозначим проекции точек А и В на прямую L соответственно как А 1 и В 1 и построим вектор . Забегая вперед скажем, что вектор - это проекция вектора на ось L .

Определение.

Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.

Проекцию вектора на ось L обозначают как .

Чтобы построить проекцию вектора на ось L , нужно из точек А и В опустить перпендикуляры на направленную прямую L – основания этих перпендикуляров дадут начало и конец искомой проекции .

Приведем пример проекции вектора на ось.

Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и задана некоторая точка . Изобразим радиус-вектор точки М 1 и построим его проекции на координатные оси Ox и Oy . Очевидно, ими являются векторы с координатами и соответственно.

Часто можно слышать о проекции одного вектора на другой ненулевой вектор или о проекции вектора на направление вектора . В этом случае подразумевается проекция вектора на некоторую ось, направление которой совпадает с направлением вектора (вообще существует бесконечно много осей, направления которых совпадают с направлением вектора ). Проекция вектора на прямую, направление которой определяет вектор , обозначается как .

Отметим, что если угол между векторами и острый, то векторы и сонаправлены. Если угол между векторами и тупой, то векторы и противоположно направлены. Если же вектор нулевой или перпендикулярен вектору , то проекция вектора на прямую, направление которой задает вектор , есть нулевой вектор.

Числовая проекция вектора на ось – определение, обозначение, примеры нахождения.

Числовой характеристикой проекции вектора на ось является числовая проекция этого вектора на данную ось.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось – это число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Числовую проекцию вектора на ось L обозначают как (без стрелочки сверху), а числовую проекцию вектора на ось, определяемую вектором , - как .

В этих обозначениях определение числовой проекции вектора на прямую, направленную как вектор , примет вид , где - длина вектора , - угол между векторами и .

Итак, мы имеем первую формулу для вычисления числовой проекции вектора : . Эта формула применяется, когда известны длина вектора и угол между векторами и . Несомненно, эту формулу можно применять и тогда, когда известны координаты векторов и относительно заданной прямоугольной системы координат, однако в этом случае удобнее использовать другую формулу, которую мы получим ниже.

Пример.

Вычислите числовую проекцию вектора на прямую, направленную как вектор , если длина вектора равна 8 , а угол между векторами и равен .

Решение.

Из условия задачи имеем . Осталось лишь применить формулу, позволяющую определить требуемую числовую проекцию вектора:

Ответ:

Нам известно, что , где – скалярное произведение векторов и . Тогда формула , позволяющая найти числовую проекцию вектора на прямую, направленную как вектор , примет вид . То есть, мы можем сформулировать еще одно определение числовой проекции вектора на ось, которое эквивалентно определению, данному в начале этого пункта.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось , направление которой совпадает с направлением вектора , - это отношение скалярного произведения векторов и к длине вектора .

Полученную формулу вида удобно применять для нахождения числовой проекции вектора на прямую, направление которой совпадает с направлением вектора , когда известны координаты векторов и . Покажем это при решении примеров.

Пример.

Известно, что вектор задает направление оси L . Найдите числовую проекцию вектора на ось L .

Решение.

Формула в координатной форме имеет вид , где и . Используем ее для нахождения требуемой числовой проекции вектора на ось L :

Ответ:

Пример.

Относительно прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы два вектора и . Найдите числовую проекцию вектора на ось L , направление которой совпадает с направлением вектора .

Решение.

По координатам векторов и можно вычислить скалярное произведение этих векторов: . Длина вектора по его координатам вычисляется по следующей формуле . Тогда формула для определения числовой проекции вектора на ось L в координатах имеет вид .

Применим ее:

Ответ:

Теперь давайте получим связь между числовой проекцией вектора на ось L , направление которой определяет вектор , и длиной проекции вектора на ось L . Для этого изобразим ось L , отложим векторы и из точки, лежащей на L , опустим перпендикуляр из конца вектора на прямую L и построим проекцию вектора на ось L . В зависимости от меры угла между векторами и возможны следующие пять вариантов:

В первом случае очевидно, что , следовательно, , тогда .

Во втором случае в отмеченном прямоугольном треугольнике из определения косинуса угла имеем , следовательно, .

В третьем случае очевидно, что , а , следовательно, и .

В четвертом случае из определения косинуса угла следует, что , откуда .

В последнем случае , следовательно, , тогда
.

Следующее определение числовой проекции вектора на ось объединяет в себе полученные результаты.

Определение.

Числовая проекция вектора на ось L , направленную как вектор , это

Пример.

Длина проекции вектора на ось L , направление которой задает вектор , равна . Чему равна числовая проекция вектора на ось L , если угол между векторами и равен радиан.

Определение 1. На плоскости параллельной проекцией точки А на ось l называется точка - точка пересечения оси l с прямой, проведенной через точку А параллельно вектору, задающему направление проектирования.

Определение 2. Параллельной проекцией вектора на ось l (на вектор) называется координата вектора, относительно базиса оси l, где точки и - параллельные проекции соответственно точек А и В на ось l (рис. 1).

Согласно определению имеем

Определение 3. если и базис оси l декартов, то есть, то проекция вектора на ось l называется ортогональной (рис. 2).

В пространстве определение 2 проекции вектора на ось остается в силе, только направление проектирования задается двумя неколлинеарными векторами (рис. 3).

Из определения проекции вектора на ось вытекает, что каждая координата вектора есть проекция этого вектора на ось, определяемую соответствующим базисным вектором. При этом направление проектирования задается двумя другими базисными векторами, если проектирование ведется (рассматривается) в пространстве, или другим базисным вектором, если проектирование рассматривается на плоскости (рис. 4).

Теорема 1. Ортогональная проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между положительным направлением оси l и, т. е.

С другой стороны

Из находим

Подставив АС в равенство (2), получим

Так как числа x и одного знака в обоих рассматриваемых случаях ((рис. 5, а) ; (рис. 5, б) , то из равенства (4) следует

Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональную проекцию вектора на ось и поэтому слово «орт» (ортогональная) в обозначении будем опускать.

Приведем ряд формул, которые используются в дальнейшем при решении задач.

а)Проекция вектора на ось.

Если, то ортогональная проекция на вектор согласно формуле (5) имеет вид

в) Расстояние от точки до плоскости.

Пусть б - данная плоскость с нормальным вектором, M - данная точка,

d - расстояние от точки М до плоскости б (рис. 6).

Если N- произвольная точка плоскости б, а и - проекции точек Mи Nна ось, то

• г) Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Пусть а и b- данные скрещивающиеся прямые, - перпендикулярный им вектор, А и В - произвольные точки прямых а и b соответственно (рис. 7), и - проекции точек Aи Bна, тогда

д) Расстояние от точки до прямой.

Пусть l - данная прямая с направляющим вектором, M - данная точка,

N - ее проекция на прямую l , тогда - искомое расстояние (рис. 8).

Если А - произвольная точка прямой l , то в прямоугольном треугольнике MNAгипотенуза MAи катет могут быть найдены. Значит,

е) Угол между прямой и плоскостью.

Пусть - направляющий вектор данной прямой l , - нормальный вектор данной плоскости б, - проекция прямой l на плоскость б (рис. 9).

Как известно, угол ц между прямой l и ее проекцией на плоскость б называется углом между прямой и плоскостью. Имеем

Приведем примеры решения метрических задач векторно-координатным методом.

Ответ:

Свойства проекций:

Свойства проекции вектора

Свойство 1.

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось:

Это свойство позволяет заменять проекцию суммы векторов суммой их проекций и наоборот.

Свойство 2. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

Свойство 3.

Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

Орт оси. Разложение вектора по координатным ортам. Координаты вектора. Свойства координат

Ответ:

Орты осей.

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае орты обычно обозначаются

И Могут также применяться обозначения со стрелками и

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Разложение вектора по координатным ортам.

Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1)

Для любого вектора который лежит в плоскости имеет место следующее разложение:

Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:

Координаты вектора:

Чтобы вычислить координаты вектора, зная координаты (x1; y1) его начала A и координаты (x2; y2) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x2 – x1; y2 – y1).

Свойства координат.

Рассмотрим координатную прямую с началом координат в точке О и единичным вектором i. Тогда для любого вектора a на этой прямой: a = axi.

Число ax называется координатой вектора a на координатной оси.

Свойство 1. При сложении векторов на оси их координаты складываются.

Свойство 2. При умножении вектора на число его координата умножается на это число.

Скалярное произведение векторов. Свойства.

Ответ:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число,

равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства:

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=bа

Скалярное произведение координатных ортов. Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.

Ответ:

Скалярное произведение (×) орты

Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.

Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения.

Ответ:

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую., если нет то в противоположном (показать как он показывал с «ручками»)

Векторным произведением вектора а на векторb называется вектор с который:

1. Перпендикулярен векторам а иb

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на a и b векторах

3. Векторы, a ,b , и c образуют правую тройку векторов

Свойства:

1.

3.

4.

Векторное произведение координатных ортов. Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.

Ответ:

Векторное произведение координатных ортов.

Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.

Пусть векторы а = (х1; у1; z1) и b = (х2; у2; z2) заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат О, i, j, k, причем тройка i, j, k является правой.

Разложим а и b по базисным векторам:

а = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Используя свойства векторного произведения, получаем

[а; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

По определению векторного произведения находим

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так:

[а; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[а; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

Полученная формула громоздка.Используя обозначения определителей можно записать ее в другом более удобном для запоминания виде:

Обычно формулу (З) записывают еще короче: