Деформации при изгибе балок сопротивление материалов. Прямой изгиб плоский поперечный изгиб. Внутренние силовые факторы при изгибе балки

Силы, действующие перпендикулярно к оси бруса и располо­женные в плос-кости, проходящей через эту ось, вызывают дефор­мацию, называемую попереч-ным изгибом . Если плоскость действия упомянутых сил – главная плоскость, то имеет место прямой (плоский) поперечный изгиб. В противном случае изгиб называет­ся косым поперечным. Брус, подверженный преимущественно из­гибу, называется балкой 1 .

По существу поперечный изгиб есть сочетание чистого изги­ба и сдвига. В связи с искривлением поперечных сечений из-за неравномерности распределе-ния сдвигов по высоте возникает вопрос о возможности применения формулы нормального напряжения σ х , выведенной для чистого изгиба на основании гипотезы плоских сечений.

1 Однопролетная балка, имеющая по концам соответственно одну цилиндрическую неподвижную опору и одну цилиндрическую подвижную в направлении оси балки, называется простой . Балка с одним защемленным и другим свободным концом называется консолью . Простая балка, имеющая одну или две части, свешивающиеся за опору, называется консольной .

Если, кроме того, сечения взяты далеко от мест приложения нагрузки (на расстоянии, не меньшем половины высоты сечения бруса), то можно, как и в случае чистого изгиба, считать, что волокна не оказывают давления друг на друга. Значит, каждое волокно испытывает одноосное растяжение или сжатие.

При действии распределенной нагрузки поперечные силы в двух смежных сечениях будут отличаться на величину, рав­ную qdx . Поэтому искривления сечений будут также несколько отличаться. Кроме того, волокна будут оказывать давление друг на друга. Тщательное исследование вопроса показывает, что если длина бруса l достаточно велика по сравнению с его высотой h (l / h > 5), то и при распределенной нагрузке указанные факторы не оказывают существенного влияния на нормальные напряжения в поперечном сечении и потому в практических расчетах могут не учитываться.

а б в

Рис. 10.5 Рис. 10.6

В сечениях под сосредоточенными грузами и вблизи них распределение σ х отклоняется от линейного закона. Это отклонение, носящее местный характер и не сопровождающееся увеличением наибольших напряжений (в крайних волокнах), на практике обычно не принимают во внимание.

Таким образом, при поперечном изгибе (в плоскости ху ) нор­мальные напряжения вычисляются по формуле

σ х = – [М z (x )/I z ]y .

Если проведем два смежных сечения на участке бруса, свободном от нагрузки, то поперечная сила в обоих сечениях будет одинакова, а значит, одинаково и искривление сечений. При этом какой-либо отрезок волокна ab (рис.10.5) переместится в новое положение a"b" , не претерпев дополнительного удлинения, и следовательно, не меняя величину нормального напряжения.

Определим касательные напряжения в поперечном сечении через парные им напряжения, действующие в продольном сечении бруса.

Выделим из бруса элемент длиной dx (рис. 10.7 а). Проведём горизонта-льное сечение на расстоянии у от нейтральной оси z , разделившее элемент на две части (рис. 10.7) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основа-

ние шириной b . В соответствии с законом парности касательных напряжений, напряжения действующие в продольном сечении равны напряжениям, действующим в поперечном сечении. С учётом этого в предположении о том, что касательные напряжения в площадке b распределены равномерно ис-пользуем условие ΣХ = 0, получим:

N * - (N * +dN *)+

где: N * - равнодействующая нормальных сил σв левом поперечном сече-нии элемента dx в пределах “отсечённой” площадки А * (рис. 10.7 г):

где: S=- статический момент “отсечённой” части поперечного сече-ния (заштрихованная площадь на рис. 10.7 в). Следовательно, можно записать:

Тогда можно записать:

Эта формула была получена в XIX веке русским ученым и инженером Д.И. Журавским и носит его имя. И хотя эта формула приближенная, так как усредняет напряжение по ширине сечения, но полученные результаты расчета по ней, неплохо согласуются с экспериментальными данными.

Для того, чтобы определить касательные напряжения в произвольной точке сечения отстоящей на расстоянии y от оси z следует:

Определить из эпюры величину поперечной силы Q, действующей в сечении;

Вычислить момент инерции I z всего сечения;

Провести через эту точку плоскость параллельную плоскости xz и определить ширину сечения b ;

Вычислить статический момент отсеченной площади Sотносительно главной центральной оси z и подставить найденные величины в формулу Жура-вского.

Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоуголь-ном поперечном сечении (рис. 10.6, в). Статический момент относительно оси z части сечения выше линии 1-1, на которой определяется напряжения запишем в виде:

Он изменяется по закону квадратной параболы. Ширина сечения в для прямоугольного бруса постоянна, то параболическим будет и закон изменения касательных напряжений в сечении (рис.10.6, в). При y =и у = − каса-тельные напряжения равны нулю, а на нейтральной оси z они достигают наибольшего значения.

Для балки круглого поперечного сечения на нейтральной оси имеем.

Задача. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки. Вычислим балки по формуле:

n = ΣR - Ш — 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один раз статически неопределима, значит одна из реакций является «лишней» неизвестной . За «лишнюю» неизвестную примем реакцию опоры В — R В .

Статически определимая балка, которая получается из заданной путем удаления «лишней» связи называется основной системой (б).

Теперь эту систему следует представить эквивалентной заданной. Для этого загружаем основную систему заданной нагрузкой, а в точке В приложим «лишнюю» реакцию R В (рис.в ).

Однако для эквивалентности этого недостаточно , поскольку в такой балке точка В может перемещаться по вертикали , а в заданной балке (рис.а ) такого произойти не может. Поэтому добавляем условие , что прогиб т. В в основной системе должен быть равен 0 . Прогиб т. В складывается из прогиба от действующей нагрузки Δ F и от прогиба от «лишней» реакции Δ R .

Тогда составляем условие совместности перемещений :

Δ F + Δ R =0 (1)

Теперь остается вычислить эти перемещения (прогибы ).

Загружаем основную систему заданной нагрузкой (рис.г) и построим грузовую эпюру М F (рис. д ).

В т.В приложим и построим эп. (рис.е,ж ).

По формуле Симпсона определим прогиб от действующей нагрузки .

Теперь определим прогиб от действия «лишней» реакции R В , для этого загружаем основную систему R В (рис.з ) и строим эпюру моментов от ее действия М R (рис. и ).

Составляем и решаем уравнение (1) :

Построим эп. Q и М (рис. к,л ).

Строим эпюру Q.

Построим эпюру М методом характерных точек . Расставляем точки на балке — это точки начала и конца балки (D,A ), сосредоточенного момента (B ), а также отметим в качестве характерной точки середину равномерно распределенной нагрузки (K ) — это дополнительная точка для построения параболической кривой.

Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков см. — .

Момент в т. В будем определять следующим образом. Сначала определим:

Точку К возьмем в середине участка с равномерно распределенной нагрузкой.

Строим эпюру M . Участок АВ – параболическая кривая (правило «зонтика»), участок ВD – прямая наклонная линия .

Для балки определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М ) и поперечных сил (Q ).

1. Обозначаем опоры буквами А и В и направляем опорные реакции R А и R В .

Составляем уравнения равновесия .

Проверка

Записываем значения R А и R В на расчетную схему .

2. Построение эпюры поперечных сил методом сечений . Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения .

сеч. 1-1 ход слева .

Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой , отмечаем размер z 1 влево от сечения до начала участка . Длина участка 2 м. Правило знаков для Q — см.

Строим по найденным значением эпюру Q .

сеч. 2-2 ход справа .

Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z 2 вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м.

Строим эпюру Q .

сеч. 3-3 ход справа .

сеч. 4-4 ход справа.

Строим эпюру Q .

3. Построение эпюры М методом характерных точек .

Характерная точка – точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А , В , С , D , а также точка К , в которой Q =0 и изгибающий момент имеет экстремум . Также в середине консоли поставим дополнительную точку Е , поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М описывается кривой линией, а она строится, как минимум, по 3 точкам.

Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них значений изгибающих моментов . Правило знаков — см. .

Участки NA, AD – параболическая кривая (правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных), участки DС, СВ – прямые наклонные линии.

Момент в точке D следует определять как слева, так и справа от точки D . Сам момент в эти выражения не входит . В точке D получим два значения с разницей на величину m – скачок на его величину.

Теперь следует определить момент в точке К (Q =0). Однако сначала определим положение точки К , обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х .

Т. К принадлежит второму характерному участку, его уравнение для поперечной силы (см. выше)

Но поперечная сила в т. К равна 0 , а z 2 равняется неизвестному х .

Получаем уравнение:

Теперь, зная х , определим момент в точке К с правой стороны.

Строим эпюру М . Построение выполним для механических специальностей, откладывая положительные значения вверх от нулевой линии и используя правило «зонтика».

Для заданной схемы консольной балки требуется построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение.

Материал — дерево, расчетное сопротивление материала R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м

Строить эпюры в консольной балке с жесткой заделкой можно двумя способами — обычным, предварительно определив опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать участки, идя от свободного конца балки и отбрасывая левую часть с заделкой. Построим эпюры обычным способом.

1. Определим опорные реакции .

Равномерно распределенную нагрузку q заменим условной силой Q= q·0,84=6,72 кН

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и момент, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0.

Найдем вертикальную реакцию опоры R A и опорный момент М A из уравнений равновесия.

На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q=0 , в заделеке — величине реакции R A.
3. Для построения составим выражения для их определения на участках. Эпюру моментов построим на волокнах, т.е. вниз.

(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта , значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b . В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К . Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х ». Тогда

Строим эпюру М.

Определение касательных напряжений в двутавровом сечении . Рассмотрим сечение двутавра. S x =96,9 см 3 ; Yх=2030 см 4 ; Q=200 кН

Для определения касательного напряжения применяется формула ,где Q — поперечная сила в сечении, S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение

Вычислим максимальное касательное напряжение:

Вычислим статический момент для верхней полки:

Теперь вычислим касательные напряжения:

Строим эпюру касательных напряжений:

Проектный и проверочный расчеты. Для балки с построенными эпюрами внутренних усилий подобрать сечение в виде двух швеллеров из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверить прочность балки, используя условие прочности по касательным напряжениям и энергетический критерий прочности. Дано:

Покажем балку с построенными эпюрами Q и М

Согласно эпюре изгибающих моментов опасным является сечение С, в котором М С =М max =48,3кНм.

Условие прочности по нормальным напряжениям для данной балки имеет вид σ max =M C /W X ≤σ adm . Требуется подобрать сечение из двух швеллеров.

Определим необходимое расчетное значение осевого момента сопротивления сечения:

Для сечения в виде двух швеллеров согласно принимаем два швеллера №20а , момент инерции каждого швеллера I x =1670см 4 , тогда осевой момент сопротивления всего сечения:

Перенапряжение (недонапряжение) в опасных точках посчитаем по формуле: Тогда получим недонапряжение :

Теперь проверим прочность балки, исходя из условия прочности по касательным напряжениям. Согласно эпюре поперечных сил опасными являются сечения на участке ВС и сечение D. Как видно из эпюры, Q max =48,9 кН.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

Для швеллера №20 а: статический момент площади S x 1 =95,9 см 3 , момент инерции сечения I x 1 =1670 см 4 , толщина стенки d 1 =5,2 мм, средняя толщина полки t 1 =9,7 мм, высота швеллера h 1 =20 см, ширина полки b 1 =8 см.

Для поперечного сечения из двух швеллеров:

S x = 2S x 1 =2·95,9=191,8 см 3 ,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 см 4 ,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 см.

Определяем значение максимального касательного напряжения:

τ max =48,9·10 3 ·191,8·10 −6 /3340·10 −8 ·1,04·10 −2 =27МПа.

Как видно, τ max <τ adm (27МПа<75МПа).

Следовательно, условие прочности выполняется.

Проверяем прочность балки по энергетическому критерию .

Из рассмотрения эпюр Q и М следует, что опасным является сечение С, в котором действуют M C =M max =48,3 кНм и Q C =Q max =48,9 кН.

Проведем анализ напряженного состояния в точках сечения С

Определим нормальные и касательные напряжения на нескольких уровнях (отмечены на схеме сечения)

Уровень 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10см.

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Уровень 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Главные напряжения:

Уровень 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 4−4: y 4-4 =0.

(в середине нормальные напряжения равны нулю, касательные максимальны, их находили в проверке прочности по касательным напряжениям)

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 5−5:

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 6−6:

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 7−7:

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

В соответствии с выполненными расчетами эпюры напряжений σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max и τ min представлены на рис.

Анализ этих эпюр показывает , что в сечении балки опасными являются точки на уровне 3-3 (или 5-5 ), в которых:

Используя энергетический критерий прочности, получим

Из сравнения эквивалентного и допускаемого напряжений следует, что условие прочности также выполняется

(135,3 МПа<150 МПа).

Неразрезная балка нагружена во всех пролетах. Построить эпюры Q и M для неразрезной балки.

1. Определяем степень статической неопределимости балки по формуле:

n= Соп -3= 5-3 =2, где Соп – число неизвестных реакций, 3 – число уравнений статики . Для решения данной балки требуется два дополнительных уравнения.

2. Обозначим номера опор с нулевой по порядку (0,1,2,3 )

3. Обозначим номера пролетов с первого по порядку (ι 1, ι 2, ι 3 )

4. Каждый пролет рассматриваем как простую балку и строим для каждой простой балки эпюры Q и M. То, что относится к простой балке , будем обозначать с индексом «0 », то, что относится к неразрезной балке, будем обозначать без этого индекса. Таким образом, — это поперечная сила и изгибающий момент для простой балки.

Мы начнем с простейшего случая, так называемого чистого изгиба.

Чистый изгиб есть частный случай изгиба, при котором в сечениях балки поперечная сила равна нулю. Чистый изгиб может иметь место только в том случае, когда собственный вес балки настолько мал, что его влиянием можно пренебречь. Для балок на двух опорах примеры нагрузок, вызывающих чистый

изгиб, представлены на рис. 88. На участках этих балок, где Q = 0 и, следовательно, М= const; имеет место чистый изгиб.

Усилия в любом сечении балки при чистом изгибе сводятся к паре сил, плоскость действия которой проходит через ось бал-ки, а момент постоянен.

Напряжения могут быть определены на основании следую-щих соображений.

1. Касательные составляющие усилий по элементарным пло-щадкам в поперечном сечении балки не могут быть приведены к паре сил, плоскость действия которой перпендикулярна к пло-скости сечения. Отсюда следует, что изгибающее усилие в сече-нии является результатом действия по элементарным площадкам

лишь нормальных усилий, а потому при чистом изгибе и напряжения сводятся только к нормальным.

2. Чтобы усилия по элементарным площадкам свелись только к паре сил, среди них должны быть как положительные, так и отрицательные. Поэтому должны существовать как растянутые, так и сжатые волокна балки.

3. Ввиду того, что усилия в различных сечениях одинаковы, то и напряжения в соответственных точках сечений одинаковы.

Рассмотрим какой-либо элемент вблизи поверхности (рис. 89, а). Так как по нижней его грани, совпадающей с по-верхностью балки, силы не приложены, то на ней нет и напря-жений. Поэтому и на верхней грани элемента нет напряжений, так как иначе элемент не находился бы и равновесии, Рассмат-ривая соседний с ним по высоте элемент (рис. 89,б), придем к

Такому же заключению и т. д. Отсюда следует, что по горизон-тальным граням любого элемента напряжения отсутствуют. Рас-сматривая элементы, входящие в состав горизонтального слоя, начиная с элемента у поверхности балки (рис. 90), придем к за-ключению, что и по боковым вертикальным граням любого эле-мента напряжения отсутствуют. Таким образом, напряженное состояние любого элемента (рис. 91,а), а в пределе и волокна, должно быть представлено так, как это показано на рис. 91,б, т. е. оно может быть либо осевым растяжением, либо осевым сжатием.

4. В силу симметрии приложения внешних сил сечение по середине длины балки после деформации должно остаться пло-ским и нормальным к оси балки (рис. 92, а). По этой же причине и сечения в четвертях длины балки тоже остаются плоскими и нормальными к оси балки (рис. 92,б), если только крайние се-чения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси балки. Аналогичное заключение справедливо и для сечений в восьмых длины балки (рис. 92, в) и т. д. Следовательно, если при изгибе крайние сечения балки остаются плоскими, то и для любого сечения остается

справедли-вым утверждение, что оно после де-формации остается плоским и нор-мальным к оси изогнутой балки. Но в таком случае очевидно, что изменение удлинений волокон балки по ее высоте должно происходить не только непре-рывно, но и монотонно. Если назвать слоем совокупность волокон, имеющих одинаковые удлинения, то из сказан-ного следует, что растянутые и сжатые волокна балки должны располагаться по разные стороны от слоя, в котором удлинения волокон равны нулю. Бу-дем называть волокна, удлинения ко-торых равны нулю, нейтральными; слой, состоящий из нейтральных воло-кон, - нейтральным слоем; линию пе-ресечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки - нейтральной линией этого сечения. Тогда на основании предыдущих рассуждений можно утверждать, что при чистом изгибе балки в каждом ее сечении имеется нейтральная линия, которая делит это сечение на две части (зоны): зону растяну-тых волокон (растянутую зону) и зону сжатых волокон (сжа-тую зону). Соответственно с этим в точках растянутой зоны се-чения должны действовать нормальные растягивающие напря-жения, в точках сжатой зоны - сжимающие напряжения, а в точках нейтральной линии напряжения равны нулю.

Таким образом, при чистом изгибе балки постоянного се-чения:

1) в сечениях действуют только нормальные напряжения;

2) все сечение может быть разбито на две части (зоны) - растянутую и сжатую; границей зон является нейтральная линия сечения, в точках которой нормальные напряжения равны нулю;

3) любой продольный элемент балки (в пределе любое во-локно) подвергается осевому растяжению или сжатию, так что соседние волокна друг с другом не взаимодействуют;

4) если крайние сечения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси, то и все ее поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси изогнутой балки.

Напряженное состояние балки при чистом изгибе

Рас-смотрим элемент балки, подверженной чистому изгибу, заклю-ченный между сечениями m- m и n - n, которые отстоят одно от дру-гого на бесконечно малом расстоя-нии dx (рис. 93). Вследствие по-ложения (4) предыдущего пункта, сечения m- m и n - n, бывшие до деформации параллельными, после изгиба, оставаясь плоскими, будут составлять угол dQ и пересекаться по прямой, проходящей через точ-ку С, которая является центром кривизны нейтрального волокна NN. Тогда заключенная между ними часть АВ волокна, находящегося на расстоянии z от нейтрального во-локна (положительное направление оси z принимаем в сторону выпук-лости балки при изгибе), превра-тится после деформации в дугу А"В".Отрезок нейтрального волокна О1О2, превратившись в дугу О1О2 не изменит своей длины, тогда как волокно АВ получит удлинение:

до деформации

после деформации

где р - радиус кривизны нейтрального волокна.

Поэтому абсолютное удлинение отрезка АВ равно

и относительное удлинение

Так как согласно положению (3) волокно АВ подвергается осевому растяжению, то при упругой деформации

Отсюда видно, что нормальные напряжения по высоте балки распределяются по линейному закону (рис. 94). Так как равно-действующая всех усилий по всем элементарным площадкам се-чения должна равняться нулю, то

откуда, подставляя значение из (5.8), найдем

Но последний интеграл есть статический момент относительно оси Оу, перпендикулярной к плоскости действия изгибающих уси-лий.

Вследствие равен-ства его нулю эта ось должна проходить через центр тяжести О сечения. Тамим образом,нейтраль-ная линия сечения балки есть прямая уу, перпен-дикулярная к плоскости действия изгибающих усилий. Ее называют ней-тральной осью сечения балки. Тогда из (5.8) следует, что напряжения в точках, лежа-щих на одинаковом расстоянии от нейтральной оси, одинаковы.

Случай чистого изгиба, при котором изгибающие усилия действуют только в одной плоскости, вызывая изгиб только в этой плоскости, является плоским чистым изгибом. Если названная плоскость проходит через ось Oz, то момент элементарных уси-лий относительно этой оси должен быть равен нулю, т. е.

Подставляя сюда значение σ из (5.8), находим

Стоящий в левой части этого равенства интеграл, как изве-стно, является центробежным моментом инерции сеченияотноси-тельно осей у и z, так что

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называют главными осями инерции этого сечения. Если они, кроме того, проходят через центр тяжести сечения, то их можно назвать главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, при плоском чистом изгибе направление плоскости действия изгибающих усилий и нейтраль-ная ось сечения являются главными центральными осями инер-ции последнего. Иными словами, для получения плоского чи-стого изгиба балки нагрузка к ней не может прикладываться произвольно: она должна сводиться к силам, действующим в плоскости, которая проходит через одну из главных центральных осей инерции сечений балки; при этом другая главная централь-ная ось инерции будет являться нейтральной осью сечения.

Как известно, в случае сечения, симметричного относительно какой-либо оси, ось симметрии является одной из главных цент-ральных осей инерции его. Следовательно, в этом частном случае мы заведомо получим чистый изгиб, приложив соответствующие анагрузки в плоскости, проходящей через продольную ось балки я ось симметрии ее сечения. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии и проходящая через центр тяжести сечения, является при этом нейтральной осью этого сечения.

Установив положение нейтральной оси, нетрудно найти и ве-личину напряжения в любой точке сечения. В самом деле, так как сумма моментов элементарных усилий относительно нейт-ральной оси уу должна равняться изгибающему моменту, то

откуда, подставляя значение σ из (5.8), найдем

Так как интеграл является. моментом инерции сечения относительно оси уу, то

и из выражения (5.8) получим

Произведение ЕI У называют жесткостью балки при изгибе.

Наибольшее растягивающее и наибольшее по абсолютной величине сжимающее напряжения действуют в точках сечения, для которых абсолютная величина z наибольшая, т. е. в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. При обозначениях, рис. 95 имеем

Величину Jy/h1 называют моментом сопротивления сечения рас-тяжению и обозначают Wyр; аналогично, Jy/h2называют моментом сопротивления сечения сжатию

и обозначают Wyc,так что

и поэтому

Если нейтральная ось является, осью симметрии сечения, то h1 = h2 = h/2 и, следовательно, Wyp = Wyc, так что их различать нет надобности, и пользуются одним обозначением:

называя W y просто моментом сопротивления сечения.Следова-тельно, в случае сечения, симметричного относительно нейтраль-ной оси,

Все приведенные выше выводы получены на основании допу-щения, что поперечные сечения балки, при изгибе остаются пло-скими и нормальными к ее оси (гипотеза плоских сечений). Как было показано, это допущение справедливо только в том случае, когда крайние (концевые) сечения балки при изгибе остаются плоскими. С другой стороны, из гипотезы плоских сечений сле-дует, что элементарные усилия в таких сечениях должны распре-деляться по линейному закону. Поэтому для справедливости по-лученной теории плоского чистого изгиба необходимо, чтобы из-гибающие моменты на концах балки были приложены в виде элементарных сил, распределенных по высоте сечения по линей-ному закону (рис. 96), совпадающему с законом распределения напряжений по высоте сечения балки. Однако на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что изменение способа приложения изгибающих моментов на концах балки вызовет лишь местные деформации, влияние которых скажется лишь на некотором расстоянии от этих концов (приблизительно равном высоте сечения). Сечения же, находящиеся во всей остальной части длины балки, останутся плоскими. Следовательно, изложенная теория плоского чистого изгиба при любом способе приложения изгибающих моментов справедлива только в пределах средней части длины балки, находящейся от ее концов на расстояниях, при-близительно равных высоте сечения. Отсюда ясно, что эта тео-рия заведомо неприменима, если высота сечения превосходит половину длины или пролета балки.

Общие понятия.

Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1) . Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками .

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.

Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.

Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.

При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

; (6.1)

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а) , то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б) :

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Рис. .

Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называется нейтральной линией (н. л.) сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).

Рис. .

Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной. До деформации сечения, ограничивающие элемент, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на расстоянии от нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги) равна. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Его относительная деформация

Очевидно, что, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором. С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента в поперечном сечении (6.1)

Вспомним, что интеграл представляет собой момент инерции сечения относительно оси

Или

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя) с действующим в сечении моментом. Произведение носит название жесткости сечения при изгибе, Н· м 2 .

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы и изгибающего момента

Поскольку,

то

(6.6)

(6.7)

Равенство (6.6) указывает, что ось – нейтральная ось сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Равенство (6.7) показывает что и - главные центральные оси сечения.

Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии

Отношение представляет собой осевой момент сопротивления сечения относительно его центральной оси, значит

Значение для простейших поперечных сечений следующее:

Для прямоугольного поперечного сечения

, (6.8)

где - сторона сечения перпендикулярная оси;

Сторона сечения параллельная оси;

Для круглого поперечного сечения

, (6.9)

где - диаметр круглого поперечного сечения.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде

(6.10)

Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечении кроме изгибающего момента действует еще продольная сила и поперечная сила, можно пользоваться формулами, приведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается незначительной.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора и.

Перед определением и определяют реакции опор балки (рис. 6.3, а), составляя уравнения равновесия статики.

Для определения и применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии от левой опоры. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части (рис. 6.3, б). Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями и.

Установим следующие правила знаков для и:

• Поперечная сила в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать рассматриваемое сечение по часовой стрелке ;
• Изгибающий момент в сечении положителен, если он вызывает сжатие верхних волокон.

Рис. .

Для определения данных усилий используем два уравнения равновесия:

1. ; ; .

2. ;

Таким образом,

а) поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

б) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

При практическом вычислении руководствуются обычно следующим:

1. Если внешняя нагрузка стремится повернуть балку относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, (рис. 6.4, б) то в выражении для она дает положительное слагаемое.
2. Если внешняя нагрузка создает относительно рассматриваемого сечения момент, вызывающий сжатие верхних волокон балки (рис. 6.4, а), то в выражении для в этом сечении она дает положительное слагаемое.

Рис. .

Построение эпюр и в балках.

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 6.5, а) . На балку действует в точке сосредоточенный момент, в точке - сосредоточенная сила и на участке - равномерно распределенная нагрузка интенсивностью.

Определим опорные реакции и (рис. 6.5, б) . Равнодействующая распределенной нагрузки равна, а линия действия ее проходит через центр участка. Составим уравнения моментов относительно точек и.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки А (рис. 6.5, в) .

(рис. 6.5, г). Расстояние может изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения, следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы одинаковы и эпюра имеет вид прямоугольника. Изгибающий момент

Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Определим ординаты эпюры для границ участка.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки (рис. 6.5, д). Расстояние может изменяться в пределах ().

Поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим для границ участка.

Изгибающий момент

Эпюра изгибающих моментов на этом участке будет параболической.

Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем к нулю производную от изгибающего момента по абсциссе сечения:

Отсюда

Для сечения с координатой значение изгибающего момента будет составлять

В результате получаем эпюры поперечных сил (рис. 6.5, е) и изгибающих моментов (рис. 6.5, ж).

Дифференциальные зависимости при изгибе.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Эти зависимости позволяют установить некоторые особенности эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

Н а участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры ограничены прямыми, параллельными нулевой линии эпюры, а эпюры в общем случае – наклонными прямыми .

Н а участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра ограничена наклонными прямыми, а эпюра - квадратичными параболами с выпуклостью, обращенной в сторону, противоположную направлению действия нагрузки .

В сечениях, где, касательная к эпюре параллельна нулевой линии эпюры .

Н а участках, где, момент возрастает; на участках, где, момент убывает .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре будут переломы .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре будут скачки на величину этих моментов.

Ординаты эпюры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре.

Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой.

Плоский изгиб – такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.

Косой (сложный) изгиб – такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил.

Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.

При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Q у и изгибающий момент М х; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым .

Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения.

Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения.

Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений , а момент М – сумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.

Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость

которая используется при построении и проверке эпюр Q и M.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем . Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линие й или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются.

Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения

1) Выполняется гипотеза плоских сечений.

2) Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.

3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения , определяемые по формуле:

где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х.

Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.

Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений относительно нейтральной линии

Характер эпюр нормальных напряжений для сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии

Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.

Выберем некоторое сечение

Для любой точки сечения,назовем ее точкой К , условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:

, где н.о. — это нейтральная ось

это осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси. Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Условие прочности по нормальным напряжениям:

Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с допускаемым напряжением на растяжение; для зоны сжатия с допускаемым напряжением на сжатие.

При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные , так и касательные напряжения.