Теоретическая механика динамика реального тела. Общие теоремы динамики. Принцип возможных перемещений

Рассмотрим движение некоторой системы материальных томен относительно неподвижной системы координат Когда система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если отбросить наложенные на систему связи и заменить их действие соответствующими реакциями.

Разобьем все силы, приложенные к системе, на внешние и внутренние; в те и другие могут входить реакции отброшенных

связей. Через и обозначим главный вектор и главный момент внешних сил относительно точки А.

1. Теорема об изменении количества движения. Если - количество движения системы, то (см. )

т. е. справедлива теорема: производная по времени от количества движения системы равняется главному вектору всех внешних сил.

Заменяя вектор через его выражение где - масса-системы, - скорость центра масс, уравнению (4.1) можно придать другую форму:

Это равенство означает, что центр масс системы движется, как материальная точкащ масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, геометрически равная главному вектору всех внешних сил системы. Последнее утверждение называют теоремой о движении центра масс (центра инерции) системы.

Если то из (4.1) следует, что вектор количества движения постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим три скалярных первых интеграла, дифференциальных уравнений двнзкепня системы:

Эти интегралы носят назвапие интегралов количества движения. При скорость центра масс постоянна, т. е. он движется равномерно и прямолинейно.

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо одну ось, например на ось равна нулю, то имеем один первый интеграл или если же равны нулю» две проекции главного вектора, то существует два интеграла количества движения.

2. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть А - некоторая произвольная точка пространства (движущаяся или неподвижная), которая не обязательно совпадает с какой-либо определенной материальной точкой системы во все время движения. Ее скорость в неподвижной спстеме координат обозначим через Теорема об изменении кинетического момента материальной системы относительно точки А имеет вид

Если точка А неподвижна, то и равенство (4.3) принимает более простой вид:

Это равенство выражает теорему об пзмепении кинетического момента системы относительно неподвижной точки: производная по времени от кинетического момента системы, вычисленного относительно некоторой неподвижной точки, равняется главному моменту всех внешних сил относительно этой точки.

Если то согласно (4.4) вектор кинетического момента постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим скалярных первых интеграла дифференциальных уравнений двпжеиия системы:

Эти интегралы посят название интегралов кинетического момента или интегралов площадей.

Если точка А совпадает с центром масс системы, то Тогда первое слагаемое в правой части равенства (4.3) обращается в нуль и теорема об изменении кинетического момента имеет ту же форму записи (4.4), что и в случае неподвижной точки А. Отметим (см. п. 4 § 3), что в рассматриваемом случае абсолютный кинетический момент системы в левой части равенства (4.4) может быть заменен равный ему кинетический момент системы в ее движении относительно центра масс.

Пусть - некоторая неизменная ось пли ось неизменного направления, проходящая через центр масс системы, а - кинетический момент системы относительно этой оси. Из (4.4) следует, что

где - момент внешних сил относительно оси . Если во все время движения то имеем первый интеграл

В работах С. А. Чаплыгина получено несколько обобщений теоремы об изменении кинетического момента, которые применены затем при решении ряда задач о качении шаров. Дальнейшие обобщения теоремы об изменении кпнетпческога момента и их приложения в задачах дннамики твердого тела содержатся в работах . Основные результаты этих работ связаны с теоремой об изменении кинетического момента относительно подвижной , постоянно проходящей через некоторую движущуюся точку А. Пусть - единичный вектор, направленный вдоль этой оси. Умножив скалярно на обе части равенства (4.3) и добавив к его обепм частям слагаемое получим

При выполнении кинематического условия

из (4.7) следует уравнение (4.5). И если во все время движения и выполняется условие (4.8), то существует первый интеграл (4.6).

Если связи системы идеальны и допускают в числе виртуальных перемещений вращения системы как твердого тела вокруг оси и, то главный момент реакций относительно оси и равен нулю , и тогда величина в правой части уравнения (4.5) представляет собой главный момент всех внешних активных сил относительно оси и. Равенство нулю этого момента и выполнимость соотношения (4.8) будут в рассматриваемом случае достаточными условиями для существования интеграла (4.6).

Если направление оси и неизменно то условие (4.8) запишется в виде

Это равенство означает, что проекции скорости центра масс и скорости точки А оси и на плоскость, перпендикулярную этой являются параллельными. В работе С. А. Чаплыгина вместо (4.9) требуется выполнение менее общего условия где X - произвольная постоянная величина.

Заметим, что условие (4.8) не зависит от выбора точки на . Действительно , пусть Р - произвольная точка на оси . Тогда

и, следовательно,

В заключение отметим геометрическую интерпретацию Резаля уравнений (4.1) и (4.4): векторы абсолютных скоростей концов векторов и равны соогвегственно главному вектору и главному моменту всех внешних сил относительно точки А.

ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (в дифференциальной форме) .

1. Для точки: производная от количества движения точки по времени равна равнодействующей приложенных к точке сил :

или в координатной форме:

2. Для системы: производная от количества движения системы по времени равна главному вектору внешних сил системы (векторной сумме внешних сил , приложенных к системе):

или в координатной форме:

ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ (теорема количества движения в конечной форме).

1. Для точки: изменение количества движения точки за конечный промежуток времени равно сумме импульсов, приложенных к точке сил (или импульсу равнодействующей приложенных к точке сил)

или в координатной форме:

2. Для системы: изменение количества движения системы за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил:

или в координатной форме:

Следствия: при отсутствии внешних сил количество движения системы есть величина постоянная; если внешние силы системы перпендикулярны некоторой оси, то проекция количества движения на эту ось есть величина постоянная.

ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

1. Для точки: Производная по времени от момента количества движения точки относительно некоторого центра (оси) равна сумме моментов приложенных к точке сил относительно того же центра (оси):

2. Для системы:

Производная по времени от момента количества движения системы относительно некоторого центра (оси) равна сумме моментов внешних сил системы относительно того же центра (оси):

Следствия: если внешние силы системы не дают момента относительно данного центра (оси), то момент количества движения системы относительно этого центра (оси) есть величина постоянная.

Если силы, приложенные к точке, не дают момента относительно данного центра, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная и точка описывает плоскую траекторию.

ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

1. Для точки: изменение кинетической энергии точки на конечном ее перемещении равно работе приложенных к ней активных сил (касательные составляющие реакций неидеальных связей включаются в число активных сил):

Для случая относительного движения: изменение кинетической энергии точки при относительном движении равно работе приложенных к ней активных сил и переносной силы инерции (см. "Частные случаи интегрирования") :

2. Для системы: изменение кинетической энергии системы на некотором перемещении ее точек равно работе приложенных к ней внешних активных сил и внутренних сил, приложенных к точкам системы, расстояние между которыми меняется:

Если система неизменяема (твердое тело), то ΣA i =0 и изменение кинетической энергии равно работе только внешних активных сил.

ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ . Центр масс механической системы движется как точка, масса которой равна массе всей системы M=Σm i , к которой приложены все внешние силы системы:

или в координатной форме:

где - ускорение центра масс и его проекции на оси декартовых координат; внешняя сила и ее проекции на оси декартовых координат.

ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ ДЛЯ СИСТЕМЫ, ВЫРАЖЕННАЯ ЧЕРЕЗ ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС.

Изменение скорости центра масс системы за конечный промежуток времени равно импульсу внешних сил системы за тот же промежуток времени, деленному на массу всей системы.

Общие теоремы динамики - это теорема о движении центра масс механической системы, теорема об изменении количества движения, теорема об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) и теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема о движении центра масс механической системы

Теорема о движении центра масс.
Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.

Здесь M - масса системы:
;
a C - ускорение центра масс системы:
;
v C - скорость центра масс системы:
;
r C - радиус вектор (координаты) центра масс системы:
;
- координаты (относительно неподвижного центра) и массы точек, из которых состоит система.

Теорема об изменении количества движения (импульса)

Количество движения (импульс) системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс или сумме количества движения (сумме импульсов) отдельных точек или частей, составляющих систему:
.

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме.
Производная по времени от количества движения (импульса) системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме.
Изменение количества движения (импульса) системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:
.

Закон сохранения количества движения (импульса).
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Если сумма проекций внешних сил на какую либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось будет постоянной.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)

Главным моментом количества движения системы относительно данного центра O называется величина , равная векторной сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:
.
Здесь квадратные скобки обозначают векторное произведение.

Закрепленные системы

Следующая ниже теорема относится к случаю, когда механическая система имеет неподвижную точку или ось, которая закреплена относительно инерциальной системы отсчета. Например тело, закрепленное сферическим подшипником. Или система тел, совершающая движение вокруг неподвижного центра. Это также может быть неподвижная ось, вокруг которой вращается тело или система тел. В этом случае, под моментами следует понимать моменты импульса и сил относительно закрепленной оси.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра O равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Закон сохранения главного момента количества движения (момента импульса).
Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно данного неподвижного центра O равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то момент количества движения системы относительно этой оси будет постоянным.

Произвольные системы

Следующая далее теорема имеет универсальный характер. Она применима как к закрепленным системам, так и к свободно движущимся. В случае закрепленных систем нужно учитывать реакции связей в закрепленных точках. Она отличается от предыдущей теоремы тем, что вместо закрепленной точки O следует брать центр масс C системы.

Теорема моментов относительно центра масс
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно центра масс C равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Закон сохранения момента импульса.
Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно центра масс C равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Момент инерции тела

Если тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω z , то его момент количества движения (кинетический момент) относительно оси z определяется по формуле:
L z = J z ω z ,
где J z - момент инерции тела относительно оси z .

Момент инерции тела относительно оси z определяется по формуле:
,
где h k - расстояние от точки массой m k до оси z .
Для тонкого кольца массы M и радиуса R или цилиндра, масса которого распределена по его ободу,
J z = M R 2 .
Для сплошного однородного кольца или цилиндра,
.

Теорема Штейнера-Гюйгенса.
Пусть Cz - ось, проходящая через центр масс тела, Oz - параллельная ей ось. Тогда моменты инерции тела относительно этих осей связаны соотношением:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
где M - масса тела; a - расстояние между осями.

В более общем случае :
,
где - тензор инерции тела.
Здесь - вектор, проведенный из центра масс тела в точку с массой m k .

Теорема об изменении кинетической энергии

Пусть тело массы M совершает поступательное и вращательное движение с угловой скоростью ω вокруг некоторой оси z . Тогда кинетическая энергия тела определяется по формуле:
,
где v C - скорость движения центра масс тела;
J Cz - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси вращения. Направление оси вращения может меняться со временем. Указанная формула дает мгновенное значение кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Дифференциал (приращение) кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме дифференциалов работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.

Теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме.
Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.

Работа, которую совершает сила , равна скалярному произведению векторов силы и бесконечно малому перемещению точки ее приложения :
,
то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.

Работа, которую совершает момент сил , равна скалярному произведению векторов момента и бесконечно малого угла поворота :
.

Принцип Даламбера

Суть принципа Даламбера состоит в том, чтобы задачи динамики свести к задачам статики. Для этого предполагают (или это заранее известно), что тела системы имеют определенные (угловые) ускорения. Далее вводят силы инерции и (или) моменты сил инерции, которые равны по величине и обратные по направлению силам и моментам сил, которые по законам механики создавали бы заданные ускорения или угловые ускорения

Рассмотрим пример. Путь тело совершает поступательное движение и на него действуют внешние силы . Далее мы предполагаем, что эти силы создают ускорение центра масс системы . По теореме о движении центра масс, центр масс тела имел бы такое же ускорение, если бы на тело действовала сила . Далее мы вводим силу инерции:
.
После этого задача динамики:
.
;
.

Для вращательного движения поступают аналогичным образом. Пусть тело вращается вокруг оси z и на него действуют внешние моменты сил M e zk . Мы предполагаем, что эти моменты создают угловое ускорение ε z . Далее мы вводим момент сил инерции M И = - J z ε z . После этого задача динамики:
.
Превращается в задачу статики:
;
.

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений применяется для решений задач статики. В некоторых задачах, он дает более короткое решение, чем составление уравнений равновесия. Особенно это касается систем со связями (например, системы тел, соединенные нитями и блоками), состоящих из множества тел

Принцип возможных перемещений .
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Возможное перемещение системы - это малое перемещение, при котором не нарушаются связи, наложенные на систему.

Идеальные связи - это связи, которые не совершают работы при перемещении системы. Точнее, сумма работ, совершаемая самими связями при перемещении системы равна нулю.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа)

Принцип Даламбера - Лагранжа - это объединение принцип Даламбера с принципом возможных перемещений. То есть, при решении задачи динамики, мы вводим силы инерции и сводим задачу к задаче статики, которую решаем с помощью принципа возможных перемещений.

Принцип Даламбера - Лагранжа .
При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:
.
Это уравнение называют общим уравнением динамики .

Уравнения Лагранжа

Обобщенные координаты q 1 , q 2 , ..., q n - это совокупность n величин, которые однозначно определяют положение системы.

Число обобщенных координат n совпадает с числом степеней свободы системы.

Обобщенные скорости - это производные от обобщенных координат по времени t .

Обобщенные силы Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Рассмотрим возможное перемещение системы, при котором координата q k получит перемещение δq k . Остальные координаты остаются неизменными. Пусть δA k - это работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении. Тогда
δA k = Q k δq k , или
.

Если, при возможном перемещении системы, изменяются все координаты, то работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении, имеет вид:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n .
Тогда обобщенные силы являются частными производными от работы по перемещениям:
.

Для потенциальных сил с потенциалом Π ,
.

Уравнения Лагранжа - это уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:

Здесь T - кинетическая энергия. Она является функцией от обобщенных координат, скоростей и, возможно, времени. Поэтому ее частная производная также является функцией от обобщенных координат, скоростей и времени. Далее нужно учесть, что координаты и скорости являются функциями от времени. Поэтому для нахождения полной производной по времени нужно применить правило дифференцирования сложной функции:
.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Динамика:
Динамика материальной системы
§ 35. Теорема о движении центра масс материальной системы

Задачи с решениями

35.1 Определить главный вектор внешних сил, действующих на маховик M, вращающийся вокруг оси AB. Ось AB, укрепленная в круговой раме, в свою очередь вращается вокруг оси DE. Центр масс C маховика находится в точке пересечения осей AB и DE.
РЕШЕНИЕ

35.2 Определить главный вектор внешних сил, приложенных к линейке AB эллипсографа, изображенного на рисунке. Кривошип OC вращается с постоянной угловой скоростью ω; масса линейки AB равна M; OC=AC=BC=l.
РЕШЕНИЕ

35.3 Определить главный вектор внешних сил, действующих на колесо массы M, скатывающееся с наклонной плоскости вниз, если его центр масс C движется по закону xC=at2/2.
РЕШЕНИЕ

35.4 Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием силы F, изображенной на рисунке. Найти закон движения центра масс C колеса, если коэффициент трения скольжения равен f, a F=5fP, где P вес колеса. В начальный момент колесо находилось в покое.
РЕШЕНИЕ

35.5 Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием приложенного к нему вращающего момента. Найти закон движения центра масс C колеса, если коэффициент трения скольжения равен f. В начальный момент колесо находилось в покое.
РЕШЕНИЕ

35.6 Вагон трамвая совершает вертикальные гармонические колебания на рессорах амплитуды 2,5 см и периода T=0,5 c. Масса кузова с нагрузкой 10 т, масса тележки и колес 1 т. Определить силу давления вагона на рельсы.
РЕШЕНИЕ

35.7 Определить силу давления на грунт насоса для откачки воды при его работе вхолостую, если масса неподвижных частей корпуса D и фундамента E равна M1, масса кривошипа OA=a равна M2, масса кулисы B и поршня C равна M3. Кривошип OA, вращающийся равномерно с угловой скоростью ω, считать однородным стержнем.
РЕШЕНИЕ

35.8 Использовав данные предыдущей задачи, считать, что насос установлен на упругом основании, коэффициент упругости которого равен c. Найти закон движения оси O кривошипа OA по вертикали, если в начальный момент ось O находилась в положении статического равновесия и ей была сообщена по вертикали вниз скорость v0. Взять начало отсчета оси x, направленной вертикально вниз, в положении статического равновесия оси O. Силами сопротивления пренебречь.
РЕШЕНИЕ

35.9 Ножницы для резки металла состоят из кривошипно-ползунного механизма OAB, к ползуну B которого прикреплен подвижный нож. Неподвижный нож укреплен на фундаменте C. Определить давление фундамента на грунт, если длина кривошипа r, масса кривошипа M1, длина шатуна l, масса ползуна B с подвижным ножом M2, масса фундамента C и корпуса D равна M3. Массой шатуна пренебречь. Кривошип OA, равномерно вращающийся с угловой скоростью ω, считать однородным стержнем.
РЕШЕНИЕ

35.10 Электрический мотор массы M1 установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте; на валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длины 2l и массы M2, на другой конец стержня насажен точечный груз массы M3; угловая скорость вала равна ω. Определить: 1) горизонтальное движение мотора; 2) наибольшее горизонтальное усилие R, действующее на болты, если ими будет закреплен кожух электромотора на фундаменте.
РЕШЕНИЕ

35.11 По условиям предыдущей задачи вычислить ту угловую скорость ω вала электромотора, при которой электромотор будет подпрыгивать над фундаментом, не будучи к нему прикреплен болтами.
РЕШЕНИЕ

35.12 При сборке электромотора его ротор B был эксцентрично насажен на ось вращения C1 на расстоянии C1C2=a, где C1 центр масс статора A, а C2 центр масс ротора B. Ротор равномерно вращается с угловой скоростью ω. Электромотор установлен посередине упругой балки, статический прогиб которой равен Δ; M1 масса статора, M2 масса ротора. Найти уравнение движения точки C1 по вертикали, если в начальный момент она находилась в покое в положении статического равновесия. Силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси x взять в положении статического равновесия точки C1.
РЕШЕНИЕ

35.13 Электрический мотор массы M1 установлен на балке, жесткость которой равна c. На вал мотора насажен груз массы M2 на расстоянии l от оси вала. Угловая скорость мотора ω=const. Определить амплитуду вынужденных колебаний мотора и критическое число его оборотов в минуту, пренебрегая массой балки и сопротивлением движению.
РЕШЕНИЕ

35.14 На рисунке изображена крановая тележка A массы M1, которая заторможена посередине балки BD. В центре масс C1 тележки подвешен трос длины l с привязанным к нему грузом C2 массы M2. Трос с грузом совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости. Определить: 1) суммарную вертикальную реакцию балки BD, считая ее жесткой; 2) закон движения точки C1 в вертикальном направлении, считая балку упругой с коэффициентом упругости, равным c. В начальный момент балка, будучи недеформированной, находилась в покое в горизонтальном положении. Считая колебания троса малыми, принять: sin φ≈φ, cos φ≈1. Начало отсчета оси y взять в положении статического равновесия точки C1. Массой троса и размерами тележки по сравнению с длиной балки пренебречь.
РЕШЕНИЕ

35.15 Сохранив данные предыдущей задачи и считая балку BD жесткой, определить: 1) суммарную горизонтальную реакцию рельсов; 2) в предположении, что тележка не заторможена, закон движения центра масс C1 тележки A вдоль оси x. В начальный момент точка C1 находилась в покое в начале отсчета оси x. Трос совершает колебания по закону φ=φ0 cos ωt.
РЕШЕНИЕ

35.16 На средней скамейке лодки, находившейся в покое, сидели два человека. Один из них, массы M1=50 кг, переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен переместиться второй человек массы M2=70 кг для того, чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м. Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.
РЕШЕНИЕ

35.17 На однородную призму A, лежащую на горизонтальной плоскости, положена однородная призма B; поперечные сечения призм прямоугольные треугольники, масса призмы A втрое больше массы призмы B. Предполагая, что призмы и горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину l, на которую передвинется призма A, когда призма B, спускаясь по A, дойдет до горизонтальной плоскости.
РЕШЕНИЕ

35.18 По горизонтальной товарной платформе длины 6 м и массы 2700 кг, находившейся в начальный момент в покое, двое рабочих перекатывают тяжелую отливку из левого конца платформы в правый. В какую сторону и насколько переместится при этом платформа, если общая масса груза и рабочих равна 1800 кг? Силами сопротивления движению платформы пренебречь.
РЕШЕНИЕ

35.19 Два груза M1 и M2, соответственно массы M1 и M2, соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через блок A, скользят по гладким боковым сторонам прямоугольного клина, опирающегося основанием BC на гладкую горизонтальную плоскость. Найти перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза M1 на высоту h=10 см. Масса клина M=4M1=16M2; массой нити и блока пренебречь.
РЕШЕНИЕ

35.20 Три груза массы M1=20 кг, M2=15 кг и M3=10 кг соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижные блоки L и N. При опускании груза M1 вниз груз M2 перемещается по верхнему основанию четырехугольной усеченной пирамиды ABCD массы M=100 кг вправо, а груз M3 поднимается по боковой грани AB вверх. Пренебрегая трением между усеченной пирамидой ABCD и полом, определить перемещение усеченной пирамиды ABCD относительно пола, если груз M1 опустится вниз на 1 м. Массой нити пренебречь.
РЕШЕНИЕ

35.21 Подвижной поворотный кран для ремонта уличной электросети установлен на автомашине массы 1 т. Люлька K крана, укрепленная на стержне L, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. В начальный момент кран, занимавший горизонтальное положение, и автомашина находились в покое. Определить перемещение незаторможенной автомашины, если кран повернулся на 60°. Масса однородного стержня L длины 3 м равна 100 кг, а люльки K 200 кг. Центр масс C люльки K отстоит от оси O на расстоянии OC=3,5 м. Сопротивлением движению пренебречь.

Санкт-Петербургский государственный университет
гражданской авиации
Кафедра № 6 - «Механики»
Раздел III
«ДИНАМИКА»
Санкт-Петербург
- 2016 -1. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс
теоретической механики. Статика, кинематика,
динамика. Учебник. М.: КНОРС. 2011. - 608 с.
2. Мещерский И.В. Задачи по теоретической
механике. Учеб. Пособие. СПб.: Лань. 2011. - 448 с.
3. Тарг М.С. Курс теоретической механики. М.:
Высшая школа. 2012. - 548 с.
4. Чернов К.И. Основы технической механики. М.:
Машиностроение. 1986. - 256 с.
5. Арет В.А. «Дистанционное обучающихся
технология». (электронное пособие www.openmechanics.com), 2016 г.Лекция 1. Введение
в динамику. Законы и аксиомы
динамики материальной точки. Основное уравнение
динамики. Дифференциальные и естественные уравнения
движения. Две основные задачи динамики. Примеры
решения прямой задачи динамики.
Лекция 2. Решение обратной задачи динамики. Общие
указания к решению обратной задачи динамики. Примеры
решения обратной задачи динамики. Движение тела,
брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления
воздуха.
Лекция 3. Прямолинейные колебания материальной точки.
Условие
возникновения
колебаний.
Классификация
колебаний. Свободные колебания без учета сил
сопротивления.
Затухающие
колебания.
Декремент
колебаний.
Лекция 4. Вынужденные колебания материальной точки.
Резонанс.
Влияние
сопротивления
движению
при
вынужденных колебаниях.Лекция 5. . Относительное движение материальной точки.
Силы инерции. Частные случаи движения для различных
видов переносного движения. Влияние вращения Земли на
равновесие и движение тел.
Лекция 6. Динамика механической системы. Механическая
система. Внешние и внутренние силы. Центр масс системы.
Теорема о движении центра масс. Законы сохранения.
Пример решения задачи на использование теоремы о
движении центра масс.
Лекция 7. Импульс силы. Количество движения. Теорема об
изменении количества движения. Законы сохранения.
Теорема Эйлера. Пример решения задачи на использование
теоремы об изменении количества движения. Момент
количества движения. Теорема об изменении момента
количества движения..
Лекция 8. Законы сохранения. Элементы теории моментов
инерции.
Кинетический
момент
твердого
тела.
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела.
Пример решения задачи на использование теоремы об
изменении
момента
количества
движения
системы.
Элементарная теория гироскопа.

ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ

Лекция 1
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
Динамика – раздел теоретической механики,
изучающий механическое движение с самой общей точки
зрения. Движение рассматривается в связи с действующими
на объект силами.
Раздел состоит из трех отделов:
Динамика
Динамика
Динамика
материальной точки
механической системы
Аналитическая механика
Динамика точки – изучает движение материальной точки
с учетом сил, вызывающих это движение.
Основной объект - материальная точка – материальное
тело, обладающей массой, размерами которого можно
пренебречь.

Динамика механической системы – изучает движение
совокупности материальных точек и твердых тел,
объединяемых общими законами взаимодействия, с учетом
сил, вызывающих это движение.
Аналитическая механика – изучает движение несвободных
механических систем с использованием общих
аналитических методов.
Основные допущения:
– существует абсолютное пространство (обладает чисто
геометрическими свойствами, не зависящими от материи и
ее движения);
– существует абсолютное время (не зависит от материи и
ее движения).

Отсюда вытекает:
– существует абсолютно неподвижная система отсчета;
– время не зависит от движения системы отсчета;
– массы движущихся точек не зависят от движения
системы отсчета.
Эти допущения используются в классической механике,
созданной Галилеем и Ньютоном. Она имеет до сих пор
достаточно широкую область применения, поскольку
рассматриваемые в прикладных науках механические
системы не обладают такими большими массами и
скоростями движения, для которых необходим учет их
влияния на геометрию пространства, время, движение, как
это делается в релятивистской механике (теории
относительности).

Сила – величина переменная и зависит от:
а) времени - F f (t),
б) положения точки приложения силы - F f (r),
в) скорости перемещения
точки приложения силы - F f (V).
Материальная точка может быть свободной, если на ее
перемещение не наложены ограничения. В противном случае,
материальная точка называется несвободной
Инертность - это свойство материального тела быстрее или
медленнее изменять скорость своего движения
под действием приложенных к нему сил
Инерциальными системами отсчета являются такие системы,
где выполняется закон инерции; в противном случае, системы
отсчета являются неинерциальными

13. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ СИЛ

Сила тяжести.
F mg
g 9.81 м./c2
ускорение свободного падения
F f N нормальная реакция.
коэффициент трения
f 6,673 10-11 м3/(кг с2).
F f m1m2 r 2
Сила трения скольжения
Сила тяготения.
гравитационная постоянная
Сила упругости
F c
удлинение (сжатие) пружины (м)
коэффициент жесткости пружины (Н/м).
Сила вязкого трения. F v
скорость тела
плотность среды
медленное движение
коэффициент сопротивления
1
F cx Sv 2
2
Сила гидродинамического
площадь
коэффициент сопротивления поперечного
сопротивления.
сечения
быстрое движение

14. Законы и аксиомы динамики мат-ной точки
В основе классической механики лежат законы, впервы
изложенные И. Ньютоном в работе «Математические начал
натуральной философии» (1687г.).
Основные законы динамики – впервые открытые Галилеем и
сформулированные Ньютоном составляют основу всех методов
описания и анализа движения механических систем и их
динамического взаимодействия под действием различных сил.
Закон инерции (закон Галилея-Ньютона) – Изолированная
материальная точка тело сохраняет свое состояние покоя
или равномерного прямолинейного движения до тех пор,
приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.
Отсюда следует эквивалентность состояния покоя и движения
по инерции (закон относительности Галилея). Система отсчета,
по отношению к которой выполняется закон инерции,
называется инерциальной. Свойство материальной точки
стремиться сохранить неизменной скорость своего движения
(свое кинематическое состояние) называется инертностью.

Закон пропорциональности силы и ускорения
(Основное уравнение динамики - II закон Ньютона) –
Ускорение, сообщаемое материальной точке силой,
прямо пропорционально силе и обратно
пропорционально массе этой точки: a 1 F или ma
m
F.
Здесь m – масса точки (мера инертности), измеряется в кг,
численно равна весу, деленному на ускорение свободного
падения:
G
m
g
.
F – действующая сила, измеряется в Н (1 Н сообщает точке
массой 1 кг ускорение 1 м/c2, 1 Н = 1/9.81 кгс).

Закон равенства действия и противодействия (III закон
Ньютона) - Всякому действию соответствует равное по
величине и противоположно направленное
противодействие:
m
F2,1 m
F1,2
F1, 2 F2,1
1
2
Закон справедлив для любого кинематического состояния
тел. Силы взаимодействия, будучи приложенные к разным
точкам (телам) не уравновешиваются.
Закон независимости действия сил – Ускорение
материальной точки под действием нескольких сил
равно геометрической сумме ускорений точки от
действия каждой из сил в отдельности:
a (F1 , F2 ,...) a1 (F1) a2 (F2) ....
или
a (R) a1 (F1) a2 (F2) ....

15. Основное уравнение динамики
Основной закон динамики: произведение массы материальной
точки на ее ускорение, которое она получает под действием
силы, равно модулю этой силы, и направление ускорения
совпадает с направлением вектора силы
ma F
или
ma Fk
n
Основное уравнение динамики: ma Fi (1).
- соответствует векторному способу задания движения точки.

15.1. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки
Подставим ускорение точки при векторном задании
движения
d 2r
a
dt
2
.
2
d
в основное уравнение динамики: m r
Fi
2
dt
(2) - дифференциальное
уравнение движения точки в
векторном виде.
(2).
M
F1
F2
r
O
a

В координатном виде: Используем связь радиуса-вектора с
координатами и вектора силы с проекциями:
r (t) x(t)i y(t) j z (t)k
Fi Fixi Fiy j Fiz k
d2
После группировки
m 2 (xi yj zk) (Fixi Fiy j Fiz k).
векторное соотношение
dt
распадается
d 2x
m x Fix ;
Оx
:
m
F
;
ix
2
на три скалярных
dt
m y Fiy ;
или
2
уравнения:
d y
z
Oy
:
m
Fiy ;
2
az
m z Fiz .
dt
M(x,y,z)
r
O
i
x
k
ay
ax
d 2z
(Oz) : m 2 Fiz . - дифференциальные
dt
уравнения движения
z
j
x
y
y
точки в координатном
виде.
Этот результат может быть получен
формальным проецированием векторного
дифференциального уравнения (1).

Естественные уравнения движения материальной точки
– получаются проецированием векторного
дифференциального уравнения движения на естественные
(подвижные) оси координат:
m s Fiτ ;
() : maτ τ Fiτ ;
(n) : man Fin ; или
s 2
m
Fin .
(b) : m 0 Fib .
s
O1 n
F2
- естественные
уравнения
движения
точки.
b
M
a
F1
- естественные
уравнения движения
точки.

16. Две основные задачи динамики
Прямая задача: Задано движение (уравнения движения,
траектория). Требуется определить силы, под действием
которых происходит заданное движение.
Обратная задача: Заданы силы, под действием которых
происходит движение. Требуется найти параметры
y
движения
(уравнения движения, траекторию движения).
Обе задачи решаются с помощью основного уравнения динамики и
проекции его на координатные оси. Если рассматривается движение
несвободной точки, то как и в статике, используется принцип
освобождаемости от связей. В результате реакции связей включаются
в состав сил, действующих на материальную точку. Решение первой
задачи связано
с операциями дифференцирования. Решение обратной
r
задачиO требует интегрирования соответствующих дифференциальных
уравнений и это значительно сложнее, чем дифференцирование.
Обратная задача сложнее прямой задачи

Решение прямой задачи динамики - рассмотрим на
примерах:
Пример 1. Кабина лифта весом G поднимается тросом с
ускорением a . Определить натяжение троса.
Решение: 1. Выбираем объект (кабина лифта движется поступательно и
ее можно рассматривать как материальную точку).
2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R.
3. Составляем основное уравнение динамики: ma Fi G R
y
4. Проецируем основное уравнение динамики на ось y:
R
(Оy) : may R G .
При равномерном движении кабины ay = 0 и натяжение троса
равно весу: T = G.
a
При обрыве троса T = 0 и ускорение кабины равно ускорению
свободного падения: ay = -g.
G
ay
G
O
R G ma y G a y G(1).
Определяем реакцию троса:
g
g
Определяем натяжение троса:
T R ; T R G(1
ay
g
).

Решение обратной задачи динамики – В общем случае
движения точки силы, действующие на точку, являются
переменными, зависящими от времени, координат и скорости.
Движение точки описывается системой трех
m x Fix ;
дифференциальных уравнений второго порядка: m y F ;
iy
После интегрирования
каждого из них будет x f1 (t , C1 , C 2 , C3); x f 4 (t , C1 , C 2 ,..., C 6); m z Fiz .
шесть постоянных y f 2 (t , C1 , C 2 , C3); y f (t , C , C ,..., C); x x ; y y ; z z ;
5
1
2
6
0
0
0
C1, C2,…., C6:
z f 3 (t , C1 , C 2 , C3).
z f 6 (t , C1 , C 2 ,..., C 6). x x ; y y ; z z .
0
0
0
Значения постоянных C1, C2,…., C6
находятся из шести начальных
x f1 (t , x 0 , y 0 , z 0); x f 4 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0);
условий при t = 0:
После подстановки найденных y f 2 (t , x 0 , y 0 , z 0); y f 5 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0);
значений постоянных получаем: z f (t , x , y , z). z f 6 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0).
3
0
0
0
Таким
образом, под действием одной и той же системы сил
x
материальная точка может совершать целый класс движений,
определяемых начальными условиями.
Начальные координаты учитывают исходное положение точки. Начальная
скорость, задаваемая проекциями, учитывает влияние на ее движение по
рассматриваемому участку траектории сил, действовавших на точку до
прихода на этот участок, т.е. начальное кинематическое состояние.

17. Общие указания к решению прямой и обратной
задачи. Порядок решения
1. Составление дифференциального уравнения движения:
1.1. Выбрать систему координат – прямоугольную
(неподвижную) при неизвестной траектории движения,
естественную (подвижную) при известной траектории,
например, окружность или прямая линия. В последнем случае
можно использовать одну прямолинейную координату. Начало
отсчета совместить с начальным положением точки (при t = 0)
или с равновесным положением точки, если оно существует,
например, при колебаниях точки.

1.2. Изобразить точку в положении, соответствующем
произвольному моменту времени (при t > 0) так, чтобы
координаты были положительными (s > 0, x > 0). При этом
считаем также, что проекция скорости в этом положении
также положительна. В случае колебаний проекция скорости
меняет знак, например, при возвращении к положению
равновесия. Здесь следует принять, что в рассматриваемый
момент времени точка удаляется от положения равновесия.
Выполнение этой рекомендации важно в дальнейшем при
работе с силами сопротивления, зависящими от скорости.
1.3. Освободить материальную точку от связей, заменить
их действие реакциями, добавить активные силы.
1.4. Записать основной закон динамики в векторном виде,
спроецировать на выбранные оси, выразить задаваемые
или реактивные силы через переменные время, координаты
или скорости, если они от них зависят.

2. Решение дифференциальных уравнений:
2.1. Понизить производную, если уравнение не
приводится к каноническому (стандартному) виду.
например:
dv x или s dv .
x
,
dt
dt
2.2. Разделить переменные, например:
dvx
1
dvx
1
dv
k
kdt или
g v 2 ,
kvx ,
vx
m
dt
m
dt
m
dv
dt.
k 2
g v
m
2.3. Если в уравнении три переменных,
то сделать замену переменных, например:
dv x
1
cx,
dt
m
dv x dx v x dv x
1
cx
dtdx
dx
m
и затем разделить переменные.

2.4. Вычислить неопределенные интегралы в левой и
правой частях уравнения, например:
dv x
1
vx m kdt
1
ln v x kt C1
m
Используя начальные условия, например, t = 0, vx = vx0,
определить постоянную интегрирования:
1
ln v x v k t 0 C1 ; C1 ln v x 0 .
x0
m
Замечание. Вместо вычисления неопределенных интегралов можно
вычислить определенные интегралы с переменным верхним
пределом.
Нижние пределы представляют начальные значения переменных
(начальные условия) .Тогда не требуется отдельного нахождения
постоянной, которая автоматически включается в решение, например:
v
t
dv
1
v
m kdt.
v 0
0
ln v
v
v 0
1 t
kt 0 ;
m
ln v ln v 0
1
1
kt 0; ln v kt ln v 0 .
m
m

2.5. Выразить скорость через производную координаты по
времени, например,
и повторить
1
kt ln v 0
ds
пункты 2.2 -2.4
m
v
dt
e
Замечание. Если уравнение приводится к каноническому
виду, имеющему стандартное решение, то это готовое
решение и используется.
Постоянные интегрирования по прежнему находятся из
начальных условий.

18. Динамика свободной материальной точки
Движение точки, брошенной под углом к горизонту, в
однородном поле силы тяжести без учета
сопротивления воздуха
dv x
0;
Оx
:
m
x
0
;
dt
ma
F G.
i
(Оy) : m y G mg ;
dv y
dt
dv x 0; dv y gdt;
vx
vy
t
vx 0
vy0
0
dv x 0; dv y gdt;
v x v x0 v0 cos ;
y
v0
O
x
G
x
g;
dx
v0 cos ;
dt
x v0 cos t;
v y v y 0 gt v0 sin gt ;
dy
v0 sin gt;
dt
gt 2
y v0 sin t
;
2

19. Виды колебаний материальной точки
1. Свободные колебания (без учета сопротивления
среды).
2. Свободные колебания с учетом сопротивления среды
x
(затухающие колебания).
3. Вынужденные колебания.
4. Вынужденные колебания с учетом сопротивления
среды.
Свободные колебания – происходят под действием
только восстанавливающей силы.
Запишем основной закон динамики: ma G N R .
Выберем систему координат с центром в положении
равновесия (точке O) и спроецируем
уравнение на ось x:
O
m x R cx.
l
y
N
R
x
x
G
Приведём полученное уравнение
c
к стандартному (каноническому) виду: x k 2 x 0, где k 2 .
m

Данное уравнение является однородным линейным
дифференциальным уравнением II порядка, вид
решения которого определяется корнями
характеристического уравнения, получаемое с помощью
универсальной подстановки: x e zt .
x zx2 e zt .
z 2 k 2 0.
Корни характеристического уравнения
мнимые и равные: z1, 2 ki.
Общее решение дифференциального
уравнения имеет вид: x C1 cos kt C2 sin kt.
Скорость точки: x kC sin kt kC cos kt.
1
2
Начальные условия: t 0 x x0 , x x 0 .
Определим
постоянные: x0 C1 cos k 0 C2 sin k 0 C11 C2 0.
x kC1 sin k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21.
C1 x0 .
C2
x 0
.
k

Затухающие колебания материальной точки –
колебательное движение материальной точки происходит
при наличии восстанавливающей силы и силы
сопротивления движению.
Зависимость силы сопротивления движению от смещения
или скорости определяется физической природы среды или
связи, препятствующей движению. Наиболее простой
зависимостью является линейная зависимость от скорости
(вязкое сопротивление).
Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное
влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение
амплитуды колебаний с течением времени.

20. Относительное движение материальной точки
Положим, что подвижная (неинерциальная) система координат Oxyz движется по
некоторому закону относительно неподвижной (инерциальной) системы координат
O1x1y1z1. Движение материальной точки M (x, y, z) относительно подвижной
системы Oxyz– относительное, относительно неподвижной системы O1x1y1z1–
абсолютное. Движение подвижной системы Oxyz относительно неподвижной
системы O1x1y1z1– переносное движение.
Абсолютное
Основное уравнение динамики: ma Fi . ускорение точки:
m(a a a) Fi .
r
e
c
a a a r a e a c.
Перенесем слагаемые с переносным и
r
e
c
кориолисовым ускорением в правую часть: ma Fi ma ma .
Перенесенные слагаемые имеют размерность сил и
рассматриваются как соответствующие силы
e ma e , c ma c .
инерции, равные:
r
В проекциях на оси подвижной системы
ma Fi e c .
координат имеем:
F
F
(Оz) : m z F
Тогда относительное движение точки
(Оx) : m x
можно рассматривать как абсолютное,
если к действующим силам добавить
(Оy) : m y
переносную и кориолисову силы инерции:
ix
ex cx ;
iy
ey cy ;
iz
ez cz .

Спасибо за внимание!

Лекция 2

21. Динамика механической системы
Система материальных точек или механическая система –
Совокупность материальных точек или материальных тел,
объединяемых общими законами взаимодействия (положение
или движение каждой из точек или тела зависит от положения
и движения всех остальных).
Система свободных точек - движение которых не
ограничивается никакими связями (например, планетная
система, в которой планеты рассматриваются как
материальные точки).
Система несвободных точек или несвободная
механическая система – движение материальных точек или
тел ограничиваются наложенными на систему связями
(например, механизм, машина и т.п.).

Лекция 2

22. Силы, действующие на систему
В дополнение к ранее существовавшей классификации сил
(активные и реактивные силы) вводится новая
классификация сил:
1. Внешние силы (e) – действующие на точки и тела
системы со стороны точек или тел, не входящих в состав
данной системы.
2. Внутренние силы (i) – силы взаимодействия между
материальными точками или телами, входящими в данную
систему.
Одна и та же сила может являться как внешней, так и
внутренней силой. Все зависит от того, какая механическая
система рассматривается.
Например: В системе Солнце, Земля и Луна все силы
тяготения между ними являются внутренними. При
рассмотрении системы Земля и Луна силы тяготения,
приложенные со стороны Солнца – внешние.

На основании закона действия и противодействия каждой
внутренней силе Fk соответствует другая внутренняя
сила Fk" , равная по модулю и противоположная по
направлению.
Из этого следуют два замечательных свойства внутренних сил:
1. Главный вектор всех внутренних сил системы равен
i
i
нулю: R Fk 0.
2. Главный момент всех внутренних сил системы
i
i
M
M
kO 0.
относительно любого центра равен нулю: O
А
В
З

X ki 0; Yki 0; Z ki 0.
i
i
i
M
0
;
M
0
;
M
kx
ky
kz 0.
С
Замечание: Хотя эти уравнения похожи на уравнения равновесия, они
таковыми не являются, поскольку внутренние силы приложены к
различным точкам или телам системы и могут вызывать движение этих
точек (тел) относительно друг друга. Из этих уравнений следует,
что внутренние силы не влияют на движение системы, рассматриваемой
как одно целое.

23. Центр масс системы материальных точек
Для описания движения системы в целом вводится
геометрическая точка, называемой центром масс, радиусвектор которой определяется выражением
mk rk
r
,
C
где M – масса всей системы:
M mk .
M
Или в проекциях на координатные оси:
mk xk
xC
,
mk y k
yC
,
M
z m1
r1
rC
m2
O
x
yC
mk
C r
k
zC
r2
M
rn
xС
mn
y
mk z k
zC
.
M
Формулы для центра масс
аналогичны формулам для центра
тяжести. Однако, понятие центра
масс более общее, поскольку оно не
связано с силами тяготения или
силами тяжести.

24. Теорема о движении центра масс системы




mk a k F k F k или mk
e
i
2
d
e
m
r
R
.
2 k k
dt
В проекциях на
координатные оси:
d 2 rk
dt
2
Fke Fki . Просуммируем
эти уравнения
по всем точкам:
MrC mk rk .
d2
e
M
r
R
.
C
2
dt
mk
d 2 rk
dt 2
Fke Fki .
Re
M
d 2 rC
dt 2
Re
Ri 0
MaC R
M x C R ex Fxke ; Теорем: Произведение
M y C R ey
M z C R ez
массы системы на
Fyke ; ускорение ее центра
массе равно главному
e
Fzk . вектору внешних сил.
e

Следствия из теоремы о движении центра масс системы
(законы сохранения)

равен нулю, Re = 0, то скорость центра масс постоянна, vC = const (центр
масс движется равномерно прямолинейно – закон сохранения движения
центра масс).
2. Если в интервале времени проекция главного вектора внешних
сил системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, то скорость центра масс по оси x


равен нулю, Re = 0, и в начальный момент скорость центра масс равна
нулю, vC = 0, то радиус-вектор центра масс остается постоянным, rC =
const (центр масс находится в покое – закон сохранения положения
центра масс).

сил системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, и в начальный момент скорость
центра масс по этой оси равна нулю, vCx = 0, то координата центра масс по
оси x остается постоянной, xC = const (центр масс не движется по этой
оси).

25. Импульс силы
Мера механического взаимодействия, характеризующая
передачу механического движения со стороны действующих
на точку сил за данный промежуток времени:
S F (t 2 t1).
В проекциях на
t
t
t
координатные (Оx) : S x Fx dt ; (Оy) : S y Fy dt ; (Оz) : S z Fz dt .
t
t
t
оси:
2
2
2
1
1
1
t2
В случае постоянной силы: S F dt
t1
S x Fx (t 2 t1);
S y Fy (t 2 t1);
S z Fz (t 2 t1);
Импульс равнодействующей – равен геометрической
сумме импульсов приложенных к точке сил за один и тот
же промежуток времени: R F1 F2 ... Fn .
R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
Проинтегрируем на t2
t2
t2
t2
данном промежутке R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
t1
t1
t1
t1
времени:
S S1 S 2 ... S n .

26. Количество движения точки

равным произведению массы точки на вектор ее
скорости: Q mv .
Количество движения системы материальных точек –
геометрическая сумма количеств движения материальных
точек: Q Q1 Q2 ... Qn Qk .
По определению центра масс:
Q
m
v
Q Qk mk vk mk
drk
d
(mk rk).
dt
dt
MrC mk rk .
Вектор количества движения системы равен
произведению массы всей системы на вектор скорости
центра масс системы.
drC
d
Тогда: Q dt (Mrc) M dt MvC .
В проекциях на
Q Mx C ;
координатные оси: x
Q MvC .
Q y Mx C ;
Q y Mx C .

26. Теорема об изменении количества движения
системы
Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к
каждой точке силы разделим на внешние и внутренние и
заменим их на соответствующие равнодействующие Fke и Fki.
Запишем для каждой точки основное уравнение динамики:
mk a k F ke F ki или mk dvk Fke Fki .
dt
Просуммируем эти
В левой части уравнения внесем
уравнения
массы под знак производной
по всем точкам:
и заменим сумму производных на
dvk
e
i
m
F
F
.
k
k
k
производную суммы: d (m v) R e .
dt
k k
dt
Из определения
e
i
d
Q
e
R
0
R
количества mk v k Q .
R .
Производная вектора количества движения системы по времени
dt равна главному вектору внешних сил системы.
движения системы:
dQx
В проекциях на координатные dQx R e F e ; dQx R e F e ;
R e Fxke .
xk
xk
dt
dt
dt
оси:
x
x
x

26. Следствия из теоремы об изменении количества
движения системы (законы сохранения)
:
1. Если в интервале времени главный вектор внешних
сил системы равен нулю, Re = 0, то вектор количества
движения постоянен, Q = const – закон сохранения
количества движения системы.
2. Если в интервале времени проекция главного вектора
внешних сил системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, то
проекция количества движения системы на ось x
постоянна, Qx = const.
Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z.
dQ
Проецируем на ось: τ m1 g cos m2 g cos 0.
dt
Разделяем
Q
t
переменные
dQτ (m1 g cos m2 g cos)dt 0.
0
и интегрируем: Q0
Отсюда закон Qτ Qτ 0 0 или Qτ 0 Qτ .
сохранения: Mv m v m v .
1 1
2 2
Правый интеграл
практически равен
нулю, т.к. время
взрыва t<<1.
v2
Mv m1v1
v2 .
m2

27. Момент количества движения точки или кинетический
момент движения относительно некоторого центра
Мера механического движения, определяемая вектором,
равным векторному произведению радиуса-вектора
материальной точки на вектор ее количества движения:
Q
v
Кинетический момент системы материальных точек
относительно некоторого центра – геометрическая
сумма моментов количеств движений всех
материальных точек относительно этого же центра:
m
KO
r
O
K O r Q r mv .
K x y (mv z) z (mv y);
K y z (mv x) x (mv z);
K z x (mv y) y (mv x).
Производная вектора момента количества движения
системы относительно некоторого центра по времени
равна главному моменту внешних сил системы
относительно этого же центра.
KO K1O K2O ... KnO KiO ri mi vi .
В проекциях
Kx
на оси:
K
ix
; K y Kiy ;
K z Kiy .

28. Теорема об изменении момента количества
движения системы
Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к
каждой точке силы разделим на внешние и внутренние и
заменим их на соответствующие равнодействующие Fke и Fki.
Запишем для каждой точки основное уравнение динамики:
dvk
e
i
e
i
m
F
F
.
mk a k F k F k
k
или
k
k
dt
Умножим векторно каждое из равенств на радиус-вектор
слева:
dv
rk mk
k
dt
Просуммируем эти
уравнения по всем
точкам:
rk Fke rk Fki .
dvk
e
i
r
m
r
F
r
F
k
k k k k.
k
dt
e
MO
i
MO
0

Посмотрим, можно ли вынести знак производной
за пределы векторного произведения:
drk
dvk
d
(rk mk vk)
mk vk rk mk
dt
dt
dt
vk mk vk 0 (sin(vk , mk vk) 0)
dvk
rk mk
.
dt
d
e
r
m
v
M
k
k k
O.
dt
Таким образом, получили:
Заменим сумму производных
на производную суммы: d
(rk mk v k) M Oe .
dt
Выражение в скобках есть момент количества движения
системы. Отсюда:
dK
O
dt
M Oe .

В проекциях на координатные оси:
dK y
dK x
dK z
e
e
Mx;
M y;
M ze .
dt
dt
dt
Теорема: Производная вектора момента
количества движения системы относительно
некоторого центра по времени равна главному
моменту внешних сил системы относительно
этого же центра.
dK
O
dt
M Oe .
Теорема: Производная момента количества
движения системы относительно некоторой оси
по времени равна главному моменту внешних
сил системы относительно этой же оси.
dK y
dK x
dK z
e
e
Mx;
M y;
M ze .
dt
dt
dt

29. Следствия из теоремы об изменении момента
количества движения системы (законы сохранения)
1. Если в интервале времени вектор главного момента
внешних сил системы относительно некоторого центра
равен нулю, MOe = 0, то вектор момента количества
движения системы относительно этого же центра
постоянен, KO = const – закон сохранения момента
количества движения системы).
2. Если в интервале времени главный момент внешних
сил системы относительно оси x равен нулю, Mxe = 0, то
момент количества движения системы относительно оси x
постоянен, Kx = const.
Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z.

30. Элементы теории моментов инерции
При вращательном движении твердого тела мерой инерции
(сопротивления изменению движения) является момент
инерции относительно оси вращения. Рассмотрим основные
понятия определения и способы вычисления моментов
инерции.
30.1. Момент инерции материальной точки
относительно оси
2
2
2
I z mh m(x y)
z
h
m
z
r
O
h
x
x
y
y
Момент инерции материальной
точки относительно оси равен
произведению массы точки на
квадрат расстояния точки до оси.
Кроме осевого момента инерции твердого тела
существуют другие виды моментов инерции:
I xy xydm
- центробежный момент инерции
твердого тела.

30.2. Момент инерции твердого тела относительно оси
z
I z mk hk2 mk (xk2 yk2)
hk
rk
mk
z
y
O
yk
x
Момент инерции твердого тела
относительно оси равен сумме
произведений массы каждой точки
на квадрат расстояния этой точки
до оси.
При переходе от дискретной
малой массы к бесконечно малой
массе точки предел такой суммы
определяется интегралом:
xk
I z h 2 dm (x 2 y 2)dm
- осевой момент инерции
твердого тела.
I O r dm (x y z)dm
2
2
2
2
- полярный момент
инерции твердого тела.

30.4. Момент инерции однородного стержня постоянного
сечения относительно оси
Выделим элементарный объем dV = Adx на расстоянии x:
zС
z
Элементарная
масса:
dm Adx
L
x
x
C
dx
L
3 L
L
x
I z x 2 dm x 2 Adx A
3
0
0
0
L3 ML2
A
3
3


расположение оси и задать пределы интегрирования (-L/2,
L/2). Здесь продемонстрируем формулу перехода к
параллельным осям:
2
2
ML
L
I zC M .
3
2
I z I zC d M .
2
I zC
2
ML L
ML2
M
.
3
12
2
2

30.5. Момент инерции однородного сплошного цилиндра
относительно оси симметрии
Выделим элементарный объем: dV = 2πrdrH (тонкий цилиндр
радиуса r
Элементарная масса:
dm 2 rdrH
R
R
I z r dm r 2 2 rdrH
2
0
0
4 R
r
2 H
4
0
R 4 MR 2
2 H
4
2
MR 2
Iz
2
Поскольку высота цилиндров в результате не входит в
формулы моментов инерции, то они остаются
справедливыми для тонкого сплошного диска и обода
колеса (тонкого кольца).

31. Кинетический момент твердого тела

ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi h Δmi .
2
z i
K z ΔK zi z h Δmi z I z .
2
i
Или переходя
к бесконечно малым:
dK z hdmv hdm z h z h dm.
2
K z dK z z h 2 dm z I z .
Кинетический момент вращающегося
тела равен произведению угловой
скорости на момент инерции
относительно оси вращения.
z
z
hi
Δmi
vi
x
y

32. Дифференциальное уравнение вращения
твердого тело относительно оси
Запишем теорему об изменении кинетического момента
твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
dK z
M ze .
dt
Кинетический момент вращающегося твердого тела равен:
z
z
z
Mz
x
K z z I z .
Момент внешних сил относительно оси
вращения равен вращающему моменту
(реакции и сила тяжести M e M M
z
z
вращ.
моментов не создают):
Подставляем кинетический момент и
y
вращающий момент в теорему
d (z I z)
M z M вращ.
dt
I z M z M вращ.

33. Элементарная теория гироскопа
Гироскоп – твердое тело, вращающееся вокруг оси
материальной симметрии, одна из точек которой
неподвижна.
Свободный гироскоп – закреплен так, что его центр масс
остается неподвижным, а ось вращения проходит через
центр масс и может принимать любое положение в
пространстве, т.е. ось вращения изменяет своё положение
подобно оси собственного вращения тела при
сферическом движении.
KC
ω

Основное допущение приближенной (элементарной)
теории гироскопа – вектор момента количества
движения (кинетический момент) ротора считается
направленным вдоль собственной оси вращения.
Основное свойство свободного гироскопа – ось ротора
сохраняет неизменное направление в пространстве по
отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета
(демонстрируется маятником Фуко, сохраняющим неизменной
по отношению к звездам плоскость качания, 1852 г.).
Это вытекает из закона сохранения кинетического момента
относительно центра масс ротора при условии
пренебрежения трением в подшипниках осей подвески
ротора, внешней и внутренней рамы:
dK C
M Ce 0;
dt
K C const.

34. Действие силы на ось свободного гироскопа
В случае действия силы, приложенной к оси ротора,
момент внешних сил относительно центра масс не равен
нулю:
dK
M e Fh.
C
dt
M Ce r F ;
C
Производная кинетического момента по времени
равна скорости конца этого вектора (теорема Резаля):
dK C
dr
v K ; (v).
dt
dt
vK
z
M Ce .
Это означает, что ось ротора будет
отклоняться не в сторону действия
силы, а в сторону вектора момента
этой силы, т.е. будет поворачиваться не
относительно оси x (внутренняя
подвеска), а относительно оси y
(внешняя подвеска).
F
h
vK
y
С
M Ce
x
ω
KC

При прекращении действия силы ось ротора останется
в неизменном положении, соответствующем
последнему моменту времени действия силы, т.к.
с этого момента времени момент внешних сил вновь
становится равным нулю.
В случае кратковременного действия силы (удара) ось
гироскопа практически не меняет своего положения.
Таким образом, быстрое вращение ротора сообщает
гироскопу способность противодействовать случайным
воздействиям, стремящимся изменить положение оси
вращения ротора, а при постоянном действии силы
сохраняет положение плоскости, перпендикулярной
действующей силе, в которой лежит ось ротора. Эти свойства
используются в работе инерциальных систем навигации.

Спасибо за внимание!

Пример: Два человека массами m1 и m2 находятся в лодке
массой m3. В начальный момент времени лодка с людьми
находилась в покое. Определить перемещение лодки, если
человек массой m2 пересел к носу лодки на расстояние а.
1. Объект движения
(лодка с людьми):
x2
y
x1
2. Отбрасываем связи (воду):
а
G3
3. Заменяем связь реакцией:
4. Добавляем активные силы:
G1

R
G2
x
O
Проецируем на ось x:
M x C 0.
xC const.
MaC R e G1 G2 G3 N
0 m1b m2 a.
b
m2
a.
m1
x3
x C const 0.
mk xk 0 mk xk .

m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
l
m1 m2 m3

в противоположную сторону.
17

Лекция 6 (продолжение 6.2)

Теорема о движении центра масс системы – Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к каждой точке силы разделим
на внешние и внутренние и заменим их на соответствующие равнодействующие Fke и Fki. Запишем для каждой точки основное уравнение
динамики:
или
d 2 rk
e
i
d 2 rk
Просуммируем эти уравнения
mk a k F ke F ki
mk
F
F
.
m
k 2 Fke Fki .
k
k
по всем точкам:
dt 2
dt
В левой части уравнения внесем массы под знак производной
d2
(m r) R e.
и заменим сумму производных на производную суммы:
2 k k
Из определения центра масс:
После вынесения массы системы
за знак производной получаем
В проекциях на координатные оси:
MrC mk rk .
M
d 2 rC
dt
2
dt
Подставим в полученное уравнение:
R e или:
M x C R ex X ke ;
M y C R ey Yke ;
MaC R e
d2
(MrC) R e .
2
dt
Re
Ri 0
Произведение массы системы на ускорение ее центра массе
равно главному вектору внешних сил.
Центр масс системы движется как материальная точка массой, равной массе
всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Пример: Два человека массами m1 и m2 находятся в лодке массой m3.
В начальный момент времени лодка с людьми находилась в покое.
Определить перемещение лодки, если человек массой m2 пересел к носу
Следствия из теоремы о движении центра масс системы
лодки на расстояние а.
y
(законы сохранения):
x2
а
1. Если в интервале времени главный вектор внешних сил системы
x
1. Объект движения (лодка с людьми):
1
равен нулю, Re = 0, то скорость центра масс постоянна, vC = const
2. Отбрасываем связи (воду):
(центр масс движется равномерно прямолинейно – закон сохранения
3.
Заменяем связь реакцией:
G1
x
движения центра масс).
O
G2
2. Если в интервале времени проекция главного вектора внешних сил 4. Добавляем активные силы:
системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, то скорость центра масс по оси x
5. Записываем теорему о центре масс:
постоянна, vCx = const (центр масс движется по оси равномерно).
G3
R
MaC R e G1 G2 G3 N
Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z.
x3
3. Если в интервале времени главный вектор внешних сил системы
Проецируем на ось x: M x C 0.
x C const 0.
равен нулю, Re = 0, и в начальный момент скорость центра масс равна нулю,
xC const.
vC = 0, то радиус-вектор центра масс остается постоянным, rC = const (центр
mk xk 0 mk xk .
масс находится в покое – закон сохранения положения центра масс).
Определим на какое расстояние надо пересесть человеку массы m1,
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 (x1 l) m2 (x2 l a) m3 (x3 l)
4. Если в интервале времени проекция главного вектора внешних
сил
чтобы лодка осталась на месте:
системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, и в начальный момент скорость центра
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
m1 x1по этой
m2 x2оси
mравна
m1 (x1v Cxb=) 0,
m
(x2 a) mцентра
l
масс
то2 координата
масс по оси x
3 x3 нулю,
3 x3 .
m1 m2 m3
m2
остается постоянной, xC = const (центр масс не движется по этой оси).
Лодка переместится на расстояние l
b
a
.
0
m
b
m
a
.
Аналогичные
справедливы для осей ymи z.
1 утверждения
2
17
в противоположную сторону.
M z C R ez Z ke .
1

Лекция 8 (продолжение 8.2)

4.
Момент инерции однородного стержня постоянного
сечения относительно оси:
Выделим элементарный
zС
объем dV = Adx
z
L
на расстоянии x:
5.
Момент инерции однородного сплошного цилиндра
относительно оси симметрии:
Выделим элементарный
объем dV = 2πrdrH
(тонкий цилиндр радиуса r) :
Элементарная
масса:
dm 2 rdrH
z
R
x
dx
L
Элементарная
масса:
dm
C
x
L
3 L
x
I z x dm x Adx A
3
0
0
2
2
0
Adx
H
R
L3 ML2
A
3
3
y
Для вычисления момента инерции относительно центральной
оси (проходящей через центр тяжести) достаточно изменить
расположение оси и задать пределы интегрирования (-L/2, L/2).
Здесь продемонстрируем формулу перехода к параллельным
осям:
2
2
I z I zC d 2 M .
2
I zC
6.
ML2 L
ML2
M
.
3
12
2
0
0
4 R
x
r
r
2 H
4
dr
0
R 4 MR 2
2 H
4
2
Здесь использована формула объема цилиндра V=πR2H.
Для вычисления момента инерции пустотелого (толстого) цилиндра
достаточно задать пределы интегрирования от R1 до R2 (R2> R1):
ML
L
I zC M .
3
2
r4
I z 2 H
4
R2
R1
2
2
R24 R14 M (R 2 R1)
2 H
.
4
4
2
Момент инерции тонкого цилиндра относительно оси Поскольку высота цилиндров в результате не входит в формулы моментов
инерции, то они остаются справедливыми для тонкого сплошного диска и
симметрии (t < обода колеса (тонкого кольца).
R
z t
В силу малости толщины цилиндра
считаем, что все точки находятся
на одинаковом расстоянии R до оси
и интегрирования не требуется.
Объем V = 2πRtH. (тонкий цилиндр
радиуса R с толщиной стенки t).
H
y
x
R
I z r 2 dm r 2 2 rdrH
■
z
2
M ((R 2 (R t) 2) M (2 R 2 2 Rt t 2) 2R .
Iz
.
2
2
Выделим дискретный малый объем массы mi:
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi z hi2 Δmi .
z
hi
I z R 2 2 RtH MR 2 .
То же самое можно получить с использованием
формулы для толстостенного цилиндра, учитывая
малость t:
Кинетический момент твердого тела
Δmi
x
K z ΔK zi z hi2 Δmi z I z .
vi
Или переходя к бесконечно малым:
y
dK z hdmv hdm z h z h 2 dm.
K z dK z z h 2 dm z I z .
Кинетический момент вращающегося тела равен произведению
угловой скорости на момент инерции относительно оси вращения.
22

Теорема Эйлера
Теорем: Применение теоремы об изменении количества
движения системы к движению сплошной среды (воды) .
(x) : М сек (v2 x v1x) Rxоб Rxпов;
(y) : М сек (v2 y v1 y) R yоб R yпов;
(z) : Мдвижения
Rz находящийся
.
сек (v2 z v1объем
z) Rzводы,
1.Выбираем в качестве объекта
в криволинейном канале турбины:
2. Отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями (Rпов – равнодействующая поверхностных сил)
3. Добавляем активные силы (Rоб – равнодействующая объемных сил):
об
v1
F1
A
A
B
B
Rоб
Количество движения воды в моменты времени t0 и t1
В проекцияхкак
на суммы:
оси:
представим
Q Q Q .
0
C
D
F2
v2
AB
BC
Q1 QBC QCD .
,
Изменение количества движения воды в интервале времени :
Q Q1 Q0 QCD QAB .
Изменение количества
движения
водывекторов секундных количеств движения жидкости на ось равна
Разность
проекций
dQ dQCD dQAB , где dQAB (F1v1dt)v1;
за бесконечно малый
интервал
времени
dt: векторов
сумме проекций главных
объемных и поверхностных сил на ту же ось.
dQCD (F2v2 dt)v2 .
Принимая произведение плотности, площади поперечного сечения и скорости за секундную массу
получаем:
dQ (M dt)v ;
AB
dQ
Rоб Rпов.
dt
4. Записываем теорему об изменении количества движения системы:
Rпов
C
D
пов
сек
1
dQCD (M сек dt)v2 .
dQ М сек (v2 v1)dt.
M сек F1v1 F2v2 ,
Подставляя дифференциал количества движения системы
в теорему об изменении получаем:
М сек (v2 v1) Rоб Rпов.
Геометрическая разность векторов секундных количеств движения жидкости равна
сумме главных векторов объемных и поверхностных сил.