Способы задания дискретной случайной величины. Ряды распределения св. Дискретная и непрерывная случайные величины

II. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1. Случайная величина, способы ее задания

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Если для какой- либо величины ее измерение повторять многократно в практически одинаковых условиях, то обнаружится, что всякий раз получаются несколько отличные друг от друга результаты. Это складывается влияние причин двух видов: 1) основных, определяющих главное значение результата; 2) второстепенных, обуславливающих их расхождение.

При совместном действии этих причин понятия необходимости и случайности оказываются тесно связанными между собой, но необходимое преобладает над случайным.

Таким образом, возможные значения случайных величин принадлежат некоторым числовым множествам.

Случайным является то, что на этих множествах величины могут принять любое значение, но какое именно, заранее сказать нельзя.

Случайная величина связана со случайным событием.

Если случайное событие - качественная характеристика испытаний, то случайная величина - его количественная характеристика .

Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами а их значение – прописными-
.

Вероятность того, что случайная величина
примет значение обозначают:

и т.д.

Случайные величины задают законами распределения.

Закон распределения случайной величины - это соответствие, установленное между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Законы распределения могут быть заданы тремя способами: табличным, графическим, аналитическим. Способ задания зависит от типа случайной величины.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные случайные величины.

2.2. Дискретная и непрерывная случайные величины

Если значения, которые может принимать данная случайная величина , образует дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел
то и сама случайная величина называется дискретной.

Если же значения, которые может принимать данная случайная величина , заполняют конечный или бесконечный промежуток (а, в) числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.

Каждому значению случайной величины дискретного типа отвечает определенная вероятность ; каждому промежутку (а, в) из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность
того, что значение, принятое случайной величиной, попадает в этот промежуток.

2.3. Закон распределения случайной величины

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

При этом
, где суммирование распространяется на все (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины .

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью функции плотности вероятности
.

Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной , попадет в промежуток (а, в), определяется равенством

График функции называется кривой распределения . Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (а, в) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х=а, х=в.

Задача 1. Даны вероятности значений случайной величины : значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

Возьмем на плоскости хОр точки (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) и (10; 0,3). Соединив последовательные точки прямолинейными отрезками, получим многоугольник (или полигон ) распределения случайной величины

Задача 2. Разыгрываются две вещи стоимостью по 5000 руб и одна вещь стоимостью 30000 руб. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

Решение. Искомая случайная величина представляет собой выигрыш и может принимать три значения: 0, 5000 и 30000 руб. Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату - два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:

; ; .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

В качестве проверки найдем

Задача 3. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью , причем

Требуется: 1) Найти коэффициент а; 2) построить график распределения плотности
; 3) найти вероятность попадания в промежуток (1; 2).

Решение. 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке , то

, откуда

, или

, т.е.
.

2) Графиком функции в интервале является парабола , а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс.

3) Вероятность попадания случайной величины в промежуток (1; 2) найдется из равенства

2.4. Биномиальное распределение

Пусть производится определенное число n независимых опытов, причем в каждом из них с одной и той же вероятностью может наступить некоторое событие Р . Рассмотрим случайную величину , представляющую собой число наступлений событий A в n опытах. Закон ее распределения имеет вид

Где
, вычисляется по формуле Бернулли.

Закон распределения, который характеризуется такой таблицей, называется биноминальным .

Задача. Монету подбрасывают 5 раз. Составить закон распределения случайной величины - числа выпадения герба.

Решение. Возможны следующие значения случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Зная, что вероятность выпадения герба в одном испытании равна , найдем вероятности значений случайной величины по формуле Бернулли:

Закон распределения имеет вид

Сделаем проверку:

III. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например, числом, имеющим смысл «среднего значения» случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не пользуясь законом распределения.

Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины есть математическое ожидание.

Если известна дискретная случайная величина , закон распределения которой имеет вид

то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной величины называется число

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности.

Пример 1 . Найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения

Решение.

Свойства математического ожидания.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Математическое ожидание постоянной величины С равно самой этой величине:

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

3.2. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайных величин и , зная законы их распределения

П

Олучили любопытный результат: законы распределения величин и разные, а их математические ожидания одинаковы.

Из рисунка б видно, что значение величины более сосредоточены около математического ожидания
, чем значения величины , которые разбросаны (рассеяны) относительно ее математического ожидания
(рисунок а ).

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания
является дисперсия, которая обозначается через
.

Определение. Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием , т.е.
.

Отклонение и его квадрат
также являются случайными величинами.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Свойства дисперсии.

Дисперсия постоянной величины С равна 0:

.

.

Для вычисления дисперсий более удобной является формула

Пример 3. Дискретная случайная величина распределена по закону:

Решение. Сначала находим .

а затем
.

По формуле имеем

Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

IV. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Комбинаторика

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?

Решить уравнения

а)
. б)
.

Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.

Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.

Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей

В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

Найти математическое ожидание случайной величины X, если закон ее распределения задан таблицей:

На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения:

«Я вполне могу допустить, что хорошенькая героиня, спасаясь бегством, может оказаться на извилистой и опаской горной тропе. Менее вероятно, но все же возможно, что мост над пропастью рухнет как раз в тот момент, когда она на него ступит. Исключительно маловероятно, что в последний момент она схватится за былинку и повиснет над пропастью, но даже с такой возможностью я могу согласиться. Совсем уж трудно, но все-таки можно поверить в то, что красавец ковбой как раз в это время будет проезжать мимо и выручит несчастную. Но чтобы в этот момент тут же оказался оператор с камерой, готовый заснять все эти волнующие события на пленку, – уж этому, увольте, я не поверю!»

Нильс Бор о ковбойских вестернах

Одно из центральных понятий теории вероятностей — понятие случайной величины:

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины буквами латинского алфавита X , Y , Z

Случайная величина бывает:

дискретной

непрерывной

смешанной (дискретно-
непрерывной)

Пример: игральные кости. Выпадаемый номер — случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений — 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью*.

Пример: рост студентов — рост студента может принимать любое значение из числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число возможных значений — бесконечно.

Закон распределения дискретной случайной величины

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

Рассмотрим случайную величину X , которая принимает значения x 1 , x 2 , x 3 . x n с некоторой вероятностью p i , где i = 1.. n . Сумма вероятностей p i равна 1.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей вида

называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто рядом распределения. Эта таблица является наиболее удобной формой задания дискретной случайной величины.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако, когда невозможно определить закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины:

• Математическое ожидание,
• Дисперсия,
• Среднее квадратичное отклонение

Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Математическое ожидание M дискретной случайной величины — это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Свойства математического ожидания:

Для описания многих практически важных свойств случайной величины необходимо знание не только ее математического ожидания, но и отклонения возможных ее значений от среднего значения.

Дисперсия случайной величины - мера разброса случайной величины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Принимая во внимание свойства математического ожидания, легко показать что

Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания, а просто отклонение. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания, но как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.
3. Если x и y независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий.

Средним квадратическим отклонением случайной величины (иногда применяется термин «стандартное отклонение случайной величины ») называется число равное

Среднее квадратическое отклонение, следовательно, является, как и дисперсия, мерой рассеяния распределения, но измеряется, в отличие от дисперсии, в тех же единицах, которые используют для измерения значений случайной величины.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Вероятность того, что при случайном броске монета ляжет гербом кверху равняется 1/2. Значит, зная вероятность события, мы можем предсказать, что при стократном бросании монеты герб появится 50 раз? Не обязательно точно 50. Но что-нибудь около этого непременно.

Якоб Бернулли (1654-1705) строго доказал — вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при проведении независимых n испытаний равна





где p — вероятность наступления события А , q — вероятность наступления противоположного события.

flash-library.narod.ru

Способ задания дискретных случайных величин 736

ЕЩЁ МАТЕРИАЛЫ ПО ТЕМЕ:

Предположим, нас интересует дискретная случайная величина Х . Для того чтобы полностью описать ее, достаточно указать все ее возможные значения х 1 , х 2 , . х n (здесь n — заданное целое число) и вероятности Р Х=х i >= р i , где i = 1, 2, . n , с которыми эти значения принимаются. Обычно все эти значения записываются в виде таблицы (табл. 3.1).

Таблицу называют законом распределения дискретной случайной величины (сравните ее с вариационным рядом дискретного статистического признака, чтобы увидеть связь между статистикой и теорией вероятностей).

Так как при каждой реализации данного комплекса условий случайная величина Х может принять только одно значение из множества возможных значений, то эти значения представляют собой полную группу несовместных событий. Тогда, на основании следствия 2 из правила сложения вероятностей, должно выполняться условие . Его называют нормирующим условием.

Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде ломаной линии — полигона (рис. 3.2) (здесь опять уместно вспомнить вариационные ряды).



Рис. 3.2. Графическое изображение закона распределения
дискретной случайной величины

Если множество возможных значений дискретной случайной величины — бесконечное, но счетное, то закон распределения примет вид (табл. 3.2):

Лекция 1_06: Теория вероятностей. Случайные величины

При реальном использовании теории вероятностей к пространству элементарных событий никогда не обращаются. Это понятие нужно для теоретических обоснований вероятностных схем. Наиболее часто рассматриваются случайные схемы, в которых событием является появление какого-то числа. Для таких схем вводится понятие случайной величины. Этому понятию и будет посвящена наша лекция. Мы рассмотрим случайные величины, способы их задания (так называемые законы распределения), числовые характеристики случайных величин, а также наиболее часто встречающиеся законы распределения.

Случайной величиной называется отображение множества элементарных событий в множество вещественных (или целых) чисел

Предполагается такая схема: в результате случайного эксперимента выбирается одно из элементарных событий, по нему вычисляется значение функции, и это значение наблюдается. Упомянутое отображение определяет вероятности появления тех или иных значений случайной величины.

Например, пусть множество элементарных событий состоит из двухкратных бросаний игральной кости, что дает 36 элементарных исходов. Пусть функция ξ определена как сумма значений, выпавших на костях. Очевидно, такая случайная величина может принимать значения от 2 до 12. При этом значению 2 соответствует одно элементарное событие, а, скажем, значению 9 - четыре: (3,6), (4,5), (5,4) и (6,3).

Обычно наблюдаются и изучаются не элементарные события, множество которых нам совершенно неизвестно, а именно случайные величины. Чтобы задать их вероятностное поведение, нужно задать вероятности того, что случайная величина принимает то или иное значение. Рассмотренный нами пример случайной величины мы сможем опеределить так:

Попробуйте сами составить таблицу вероятностей суммы очков трех бросаний игральной кости.

Определение вероятностей, с которыми случайная величина принимает свои значения называется ее законом распределения.

Функция распределения случайной величины

Одним из важнейших способов задания закона распределения - это задание функции распределения.

Функцией распределения случайной величины ξ называется функция

На рисунке изображена
функция распределения случайной величины, рассмотренной в качестве примера.

Для наглядности область под графиком функции закрашена в серый цвет. Отчетливо видно, что эта функция монотонно неубывает и кусочно-постоян­ная. Она имеет скачки в точках, соответствую­щих значениям, вероятность которых положительна.

Такая функция распределения частно называется интегральной. Когда она непрерывна и у нее есть производная, то эту производную часто называют плотностью распределения. Если функция распределения, как в нашем примере, кусочно-постоянна, но роль плотности может играть набор скачков.

Задавать произвольную функцию распределения дело хлопотное. Для упрощения используются два подхода.

Во-первых, часто можно ограничиться некоторыми очень простыми численными характеристиками случайной величины.

Во-вторых, имеются часто встречающиеся классы вероятностных распределений, и часто по каким-то «модельным» соображениям можно понять, к какому классу принадлежит данное распределение. В этом случае достаточно только задать параметры этого распределения.

Эти подходы мы сейчас и рассмотрим.

Характеристики случайных величин

Пусть задана случайная величина ξ , принимающая конечное число значений a 1 , a 2 , . a k с вероятностями
p 1 , p 2 , . p k . Математическим ожиданием этой случайной величины называется сумма E ξ = Σ i О 1:k p i a i .

Как определяется математическое ожидание для более общего случая, нужно говорить отдельно: используются интегралы, но вас уже учили, что интеграл определяется через интегральные суммы, и для случайных величин можно вводить близкие к ним дискретные случайные величины, математические ожидания которых будут играть роль интегральных сумм для математического ожидания исходной случайной величины.

Математическое ожидание, как видно из этой формулы, можно трактовать как центр тяжести набора масс p i , сосредоточенных в точках a i . Естественно, что и свойства его нам хорошо знакомы как свойства центра тяжести:

4. a , т. е., если k = 1 , то E ξ = a ,
5. если η = c ξ , где c - постоянная, то E η = c E ξ ,
6. для любых ξ и η выполняется E (ξ + η) = E ξ + E η .

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания.

Это определение сначала вызывает тихий ужас. На самом деле, это очень удобное словесное описание формулы. Слова математическое ожидание означают, что мы должны написать
D ξ = E (.)
квадрата уточняет
D ξ = E (.) 2
отклонения относится уже к выражению в скобках
D ξ = E (. − .) 2
случайной величины от ее математического ожидания завершает написание формулы
D ξ = E (ξ − E ξ) 2

Дисперсию можно трактовать как момент инерции того же набора масс относительно его центра тяжести. Ее свойства нам тоже хорошо знакомы:

7. если случайная величина с вероятностью 1 принимает значение a , то D ξ = 0,
8. если η = c ξ , где c - постоянная, то D η = c 2 D ξ .
9. Хотелось бы иметь и равенство D (ξ + η) = D ξ + D η , но оно верно только для случая независимых случайных величин.

Случайные величины ξ и η называются независимыми, если для любых a и b независимы события

Легко убедиться в том, что если мы суммируем n независимых и одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием a и дисперсией b , то для их суммы математическое ожидание и дисперсия равны соответственно n a и n b , а для среднего арифметического - соответственно a и b/n .

Значит, если мы хотим оценить какое-то число, которое является математическим ожиданием некоторой случайной величины, мы можем устроить случайное испытание - наблюдать много раз эту случайную величину и вычислить среднее арифметическое. Его разброс вокруг истинного значения будет уменьшаться с ростом числа наблюдений: сто раз измеришь - в десять раз уменьшится (так как важна не сама дисперсия, а корень из нее). Этот факт лежит в основе важного вычислительного метода статистического моделирования.

Отметим, что по аналогии со случайными событиями можно различать взаимно независимые и попарно независимые случайные величины. Для упомянутого свойства дисперсий вполне достаточно, чтобы случайные величины были независимы попарно. Используются и другие характеристики, но эти самые важные. Сейчас мы рассмотрим некоторые важные типы распределений и каждый раз будем указвать их математическое ожидание.

Типы распределений

Равномерное распределение

Случайная величина распределена равномерно в промежутке [a ,b ] , где a , если ее функция распределения
F (x ) равна 0 при x , 1 при x > b и меняется линейно от 0 до 1 при a .

(a + b )/2 , а дисперсия - (b − a ) 2 /12 .

На рисунке показан график этой функции распределения для a = 0 и b = 1 .

Этот закон распределения нам очень важен, так как все стандартные компьютерные датчики случайных величин (псевдослучайные числа) моделируют именно такие случайные величины, а из них уже и создаются нужные нам случайные величины.

Показательное распределение

Случайная величина распределена показательно или экспоненциально, если она неотрицательна и F (x ) = 1 − exp(−λ x ) , где λ - положительная константа.

Математическое ожидание такой случайной величины равно λ − 1 , а дисперсия - λ − 2 .

На рисунке показан график этой функции распределения для λ = 3 .

Этот закон распределения нам часто встречается в приложениях, особенно в радиотехнических и коммуникационных. В частности, часто предполагается, что время разговора двух абонентов распределено по показательному закону.

Нормальное распределение

Это самое популярное из стандартных распределений вероятности, и на первый взгляд может показаться странным, что наиболее распространена такая сложная формула.

Случайная величина распределена нормально или по Гауссу, если (справа портрет К. Ф. Гаусса (1777-1855))



Эта функция зависит от параметров a и σ . Математическое ожидание такой случайной величины равно a , а дисперсия - σ 2 .



На графике показана стандартная функция с a = 0 и σ = 1 .

Причина частого появления этого закона в приложениях в том, что при сло­жении случайных вели­чин очень часто распределение их суммы, рассматриваемой в качестве случайной величины, приближается к нормальному.

В наших задачах оно встречаться не будет, но не упомянуть о нем было бы неприлично.

Распределение Бернулли

Это простейшее дискретное распределение названо в честь швейцарского математика Якова Бернулли старшего (1654-1705) , (еще был и младший, работавший в Петербурге).

Случайная величина распределена по Бернулли, если она принимает всего два значения. Обычно этими значениями являются 1, вероятность которой равна p ,
и 0, вероятность которого равна q = 1 − p .

Математическое ожидание такой случайной величины равно p , а дисперсия - pq .

Такой график вы, конечно, построите сами.

Закон Бернулли очень удобен для всякого рода модельных построений, он всего чуть сложнее, чем его частный случай - бросание монеты, где p = 1/2 .

Биномиальное распределение

Случайная величина ξ , равная сумме n независимых одинаковых бернуллиевских случайных величин, имеет биномиальное распределение. Для нее

Математическое ожидание такой случайной величины равно np , а дисперсия - npq .

Биномиальное распределение при увеличении числа слагаемых n становится очень похожим на нормальное распределение.

Нужно только подходящим образом нормировать случайную величину: вычесть математическое ожидание и поделить на корень из дисперсии, т. е. вместо ξ рассматривать
η = (ξ — np )(npq ) − 1/2 .

Если же с ростом n вероятность p уменьшается, причем так, что сохраняется или стабилизируется произведение np , получается другое классическое распределение, которое мы сейчас опишем.

Распределение Пуассона

Это распределение предложено французским математиком Симеоном Пуассоном (1781-1840) , почетным членом Петербургской Академии наук.

Случайная величина ξ имеет пуассоновское распределение, если

Математическое ожидание такой случайной величины равно λ , и дисперсия тоже λ .



Пуассоновское распределение характерно для схемы редких событий - в которой складывается очень много случайных величин с распределением Бернулли и очень малой вероятностью положительного исхода у каждого.

Например, отмечалось, что количество писем, опущенных в почтовый ящик с ненадписанным конвертом, имеет пуассоновское распределение.

Упражнения

Случайная величина принимает значения 0 с вероятностью 0.3, 2 с вероятностью 0.2, 4 с вероятностью 0.5. Найдите ее математическое ожидание и дисперсию.

Две случайных величины имеют математическое ожидание 0 и дисперсию 1. В каких пределах может меняться дисперсия их суммы. Постройте пример с наибольшим и наименьшим значением дисперсии суммы.

Экзаменационные вопросы

Случайные величины и их функции распределения.

Математическое ожидание и дисперсия. Их свойства.

www.math.spbu.ru

Образовательный блог - всё для учебы

Повторение опытов

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа проявлений события в результате серии опытов. Они решаются весьма просто в случае, когда опыты являются независимыми.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах одна и та же Р i (А)=const. Во втором случае вероятность события А от опыта к опыту меняется Р i (А)=var. К первому случаю относится частная теорема, а ко второму – общая теорема о повторении опытов.

Формулировка частной теоремы о повторении опытов:
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А проявляется с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз выражается формулой:

где q = 1 - p, C n m - число всех комбинаций, т.е. число способов которыми можно из n опытов выбрать m в которых произошло событие А.

Формула общей теоремы:

где z – произвольный параметр.

Как в общем, так и в частном случае:

Случайные величины и законы их распределения
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее какое именно.

Случайные величины бывают двух типов:
непрерывные;
прерывные (дискретные).

Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами.
Пример:
Х- число попаданий при трех выстрелах:
х 1 = 0;
х 2 = 1;
х 3 = 2;
х 4 = 3.

Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями x 1 , x 2 , …, x n . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью
Х= х 1 ;
Х= х 2 ;
Х= х 3 ;
Х= х 4 .

∑P m,n = 1, так как несовместные события образуют полную группу. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет задано это распределение, т.е. в точности указано, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим устанавливается так называемый закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения прерывной случайной величины Х может быть задан в следующих формах:
табличной;
аналитической;
графической.

Простейшей формой задания закона распределения прерывной случайной величины Х является таблица.

Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание

Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам , которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:

Случайной называют величину , которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через * , а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .

* Иногда используют , а также греческие буквы

Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей , где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:

– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.

В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем) ; при этом случайная величина может принять одно из следующий значений:

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂

Тем не менее, ваши гипотезы?

Коль скоро, множество действительных чисел бесконечно, то случайная величина может принять бесконечно много значений из некоторого промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.

Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы :

1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно .

…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры !

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

И для :

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности .

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия , о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

Найти , если известно, что . Выполнить проверку.

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины , и по возможности,

Что включает в себя медицинский осмотр (по приказу 302н) При проведении медосмотра в соответствии с приказом № 302н всем в обязательном порядке проводятся: клинический анализ мочи; […]

Государственная программа по оказанию содействия добровольному переселению в Российскую Федерацию соотечественников, проживающих за рубежом Пошаговая памятка для участников Государственной […]

Разбираемся, каким должен быть размер минимальной пенсии инвалида 2 группы Сейчас государство разными способами производит помощь социально незащищенным слоям населения. Отдельную заботу […]

В ситуации риска нам известны исходы той или иной альтернативы и вероятности, с которыми данные исходы могут наступить. То есть нам известно вероятностное распределение исходов, поэтому они могут быть представлены (смоделированы) в виде случайной величины . В этом параграфе мы напомним сведения из теории вероятностей о случайных величинах и способах их определения, которые будут необходимы для дальнейшего изучения материала книги.

Согласно классическому определению, случайной называется величина, значение которой может меняться от опыта к опыту случайным образом. То есть в каждом "испытании" она может принимать одно единственное значение из некоторого множества. При этом нельзя предсказать, какое именно значение она примет.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная СВ может принимать только конечное или счетное множество значений. Непрерывная СВ может принимать любое значение из некоторого замкнутого или открытого интервала, в том числе и бесконечного.

3.2.2. Закон распределения случайной величины

Случайная величина определяется своим законом распределения. Закон распределения считается заданным, если указаны:

• множество возможных значений случайной величины (в т.ч. бесконечное) и
• вероятность попадания случайной величины в произвольную область этого множества, либо закон (формула), позволяющая рассчитать такую вероятность.

По сути, вероятность представляет собой показатель, характеризующий возможность появления случайной величины в данной области.

Наиболее общим и распространенным способом определения вероятностей различных значений случайной величины является задание функции распределения вероятностей , которую сокращенно называют функцией распределения .

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) , задающая вероятность того, что СВ примет значение меньше конкретного значения х , то есть:

F(x) = P(X < x)

Х ("икс большое") - обозначает случайную величину,

х ("икс маленькое") - конкретное значение из множества возможных значений случайной величины.

Функция распределения неубывающая. При х , стремящемся к минус бесконечности, она стремится к нулю, а при х , стремящемся к плюс бесконечности - к единице.

Форма представления закона распределения случайной величины может быть различна и зависит от того, какая это СВ - дискретная или непрерывная.

Из определения функции распределения следуют следующие зависимости:

вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале от а до b :

Р(a ≤ Х < b) = F(b) - F(a)

вероятность того, что случайная величина примет значения не меньше, чем а :

3.2.3. Способы представления распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина может быть полностью задана своей функцией распределения или рядом (таблицей) распределения. Они могут быть представлены в табличной, аналитической или графической формах.

Допустим, случайная величина Х может принять три возможных значения 25 , 45 и 50 с вероятностями 25% , 35% и 40% соответственно. Ряд распределения этой СВ будет выглядеть следующим образом:

Функция распределения этой же случайной величины, которая показывает вероятность непревышения конкретного значения, может быть записана так:

На рис.3.1 представлены графические способы задания закона распределения этой дискретной случайной величины Х .

Рис.3.1.

На графике ряда распределения вероятности p j реализации каждого возможного значения х j представлены столбиками, высота которых равна вероятности. Сумма высот всех М столбиков (т.е. всех вероятностей) равна единице, поскольку они охватывают все возможные значения х :

Иногда вместо столбиков изображают ломанную, соединяющую вероятности реализации значений СВ.

Вероятность того, что дискретная случайная величина примет значение меньше, чем а , равна сумме вероятностей всех исходов, меньших а :

По определению, это равно значению функции распределения в точке х = а . Если мы нанесем на координатную плоскость значения функции распределения, когда х "пробегает" все значения от минус бесконечности до плюс бесконечности, мы получим график функции распределения. Для дискретной СВ он ступенчатый. На интервале от минус бесконечности до первого возможного значения х 1 она равна нулю, поскольку принять какое-либо значение на этом интервале невозможно.

Далее каждое возможное значение х j увеличивает функцию распределения на величину, равную вероятности наступления этого значения p j . Между двумя последовательными значениями х j и x j+1 функция распределения не изменяется, поскольку других возможных значений х там нет, и скачков не происходит. В конечном итоге, в точке последнего возможного значения х М происходит скачок на величину вероятности р М , и функция распределения достигает предельного значения, равного единице. Далее график идет на этом уровне параллельно оси х . Выше он никогда не поднимается, так как вероятность не может быть больше единицы.

3.2.4. Способы представления распределения непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина также задается своей функцией распределения, представленной, как правило, в аналитическом виде. Кроме того, она может быть полностью описана функцией плотности вероятности f(x) , которая представляет собой первую производную от функции распределения F(x) :

Функция плотности вероятности неотрицательна, а ее интеграл в бесконечных пределах равен единице.

Возьмем в качестве примера непрерывную случайную величину, распределенную по нормальному закону.

Ее функция плотности вероятности задается аналитически формулой вида:

Здесь m X и σ X параметры распределения. m X характеризует местоположение центра распределения, а σ X - рассеивание относительно этого "центра".

Определение 4.1. Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y,Z,… ), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x i , y i ,… ).

Определение 4.2. дискретной , если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Определение 4.3. Случайная величина называется непрерывной , если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.

Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения: р (Х = а ) = F (a ) – F (a ) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифферен-циальная функция).

Определение 5.1. Функция f (x ), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

f (x ) = F′ (x ), (5.1)

то есть является производной функции распределения.

Свойства плотности распределения .

1) f (x ) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.

2) , что следует из определения плотности распределения.

3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b ) определяется формулой Действительно,

4) (условие нормировки). Его справедливость следует из того, что а

5) так как при

Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, располо-женную выше оси Ох , причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточе-ны на интервале [a, b ], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b ] f (x ) ≡ 0.

10.Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Дисперсия случайной величины и её свойства.

Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос.